Caderno de Acompanhamento Progressão Aritmética e Função Afim Escola Estadual Judith Vianna. Estudante: Turma:

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Luna Frade Aquino
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1 Estudante: Turma: Sequências A natureza apresenta padrões e regularidades. Dessa forma, muitas teorias matemáticas são desenvolvidas a partir do estudo desses padrões e regularidades. Por exemplo, o estudo de sequências. Em muitas situações da vida diária aparece a ideia de sequência ou sucessão. Em algumas sequências podemos observar um padrão de repetição, tais como: a sequência dos dias da semana; a sequência dos meses do ano; a sequência da fila de um banco; a sequência dos números naturais; a sequência dos anos, a partir de 1990, nos quais a Copa do Mundo de Futebol é realizada. Agora observe a sequência abaixo, descubra seu padrão e continue desenhando: a) Qual é o 1º elemento da sequência? b) Qual é o 3º elemento da sequência? c) E o 54º elemento? d) Como você descreveria a regra de formação desta sequência? Observe a sequência abaixo, descubra seu padrão e continue desenhando: a) Qual é o 1º elemento da sequência? b) Qual é o elemento que ocupa a 18ª posição na sequência? c) E o que ocupa a 1º elemento? d) O que você observa em relação ao losango e às posições ocupadas por ele? e) Como você descreveria a regra de formação desta sequência? 1

2 AGORA É COM VOCÊ! Crie uma sequência de figuras diferentes das estudadas até agora. Sente-se com um colega e troque a sua sequência com a dele. Tente descobrir a regra de formação da sequência de seu colega enquanto ele tenta descobrir a regra de formação da sua sequência. Também podemos representar uma sequência através do diagrama de Venn como, por exemplo, a sequência das letras do alfabeto e a sequência dos números naturais. Sequência das letras do alfabeto: (a, b, c, d,..., z) Sequência dos números naturais: (1,, 3, 4,...) AGORA É COM VOCÊ! Crie uma sequência e represente-a utilizando o diagrama de Venn. Definição de sequência: Chama-se sequência finita toda aplicação f do conjunto em Chama-se sequência infinita toda aplicação f de em. Progressão Aritmética Observe a sequência (7,, 13,, 19,, 5) Note que alguns números estão faltando, complete-a. Qual foi a lógica utilizada por você para completar a sequência? Veja como Pedro completou a mesma sequência.

3 (7, 10, 13, 16, 19,, 5) Qual foi a lógica que Pedro utilizou para completar a sequência? Depois que Pedro completou a sequência fez a seguinte correspondência:,,. Dessa forma, obtemos o seguinte diagrama de Venn. Qual a relação do índice de a com a posição em que o número ocupa na sequência? É conveniente representar cada termo de uma sequência pela letra a, seguida de um índice que indica a sua ordem. Utilizando a notação de Pedro como se obtém o termo a partir de? E o termo? E o termo? Observe que o número 3 é uma constante que se repete. Essa constante denominamos de razão (r). Assim, se substituirmos o número por temos: Seguindo o mesmo raciocínio como poderíamos representar o número que está na última posição da sequência de uma sequência qualquer? Também podemos escrever a sequência de Pedro (7, 10, 13, 16, 19, ) de outra maneira: 3

4 Agora, se não soubéssemos o último termo, como seria a representação para este termo? Portanto, a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é: Desse modo, chamamos de Progressão Aritmética (P.A.) uma sequência dada pela seguinte fórmula: em que e são números reais dados. Exercícios do livro didático: p nº 19, 0 Veja agora outros exemplos de progressões aritméticas e sua classificação: Progressão crescente Progressão decrescente Temos. Então, em uma progressão crescente. Temos. Então, em uma progressão decrescente. Progressão constante ou estacionária Exercícios do livro didático: Temos. p nº 09, 10 Propriedades: P 1 : Três termos consecutivos Em uma P.A., qualquer termo a partir do segundo é a média aritmética entre o seu antecessor e sucessor. Exemplo: Consideremos a P.A. (4, 8, 1, 16, 0, 4, 8) e escolhamos três termos consecutivos quaisquer: 4, 8, 1 ou 8, 1, 16 ou... 0, 4, 8. Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética dos outros dois termos:

P : Termo médio Em uma P.A., de número ímpar de termos, o termo do meio é a média aritmética entre o primeiro termo e o último. Exemplo: Consideremos a P.A. (3, 6, 9, 1, 15, 18, 1).

5 P : Termo médio Em uma P.A., de número ímpar de termos, o termo do meio é a média aritmética entre o primeiro termo e o último. Exemplo: Consideremos a P.A. (3, 6, 9, 1, 15, 18, 1). O termo médio dessa P.A. é 1. Veja que o termo médio é sempre a média aritmética do primeiro e do último P 3 : Termos equidistantes Em uma P.A., a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos. Exemplo: Consideremos a P.A. (3, 7, 11, 15, 19, 3, 7, 31). Exercícios do livro didático: p nº 1,, 6, 9, 37 Soma dos termos de uma progressão aritmética 5

Note que, ao se efetuar a soma dos pontos equidistantes os valores desta relação sempre serão os mesmos. Assim, pela propriedade 3 temos que: Gauss observou que a soma dos termos seria igual a 101.

6 Note que, ao se efetuar a soma dos pontos equidistantes os valores desta relação sempre serão os mesmos. Assim, pela propriedade 3 temos que: Gauss observou que a soma dos termos seria igual a 101. Além disso, o agrupamento realizado resultaria em 50 parcelas iguais a 101. Desta forma, a soma seria igual a: 101 x 50 = A ideia consiste em escrever a sequência formada e depois copiá-la de trás para a frente em seguida efetuando as operações Como os elementos são somados duas vezes, após efetuar o produto 100 x 101 e dividir o resultado por obtém-se 5050, que é a soma geral dos termos da progressão. Mas, o que representa os algarismos 100 e 101? Deste modo, a fórmula utilizada para a soma dos termos iniciais de uma progressão geométrica é: S n n( a1 an) Sn: soma dos termos da P.A. n: número de termos a 1 : primeiro termo a n : último termo Exercícios 1) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura ao lado. Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira. Qual deve ser o comprimento dessa peça de madeira para o marceneiro construir essa escada? Qual o comprimento de todos os degraus? A sequência formada pelo comprimento dos degraus é uma P.A.? ) Na P.A. (68, 6, 56, 50,...), encontre a soma dos seus: a) Seis primeiros termos. b) Quinze últimos termos, admitindo que a sequência tem 40 termos. DESAFIO!!! (1,0 pto extra) Resolva, em uma folha separada, o exercício 47 da página 04. 6

Observe a sequência de figuras abaixo, que define uma progressão aritmética: a) Desenhe as colunas 4 e 5 que representa, respectivamente, os termos a 4 e a 5.

7 Observe a sequência de figuras abaixo, que define uma progressão aritmética: a) Desenhe as colunas 4 e 5 que representa, respectivamente, os termos a 4 e a 5. b) Complete a tabela abaixo que relaciona cada coluna com seu respectivo número de bolinhas. Coluna Número de bolinhas c) Represente a coluna e o número de bolinhas através de um diagrama. d) Determine a lei de formação para essa progressão aritmética. e) Construa um gráfico que relaciona cada coluna com seu respectivo número de bolinhas. 7

8 Teorema: Seja f uma função afim de em dada por uma lei de formação uma P.A de razão r, então xn n, em que a e b são números reais dados e. Seja f x n n é uma P.A. de razão a.r. Será que o resultado acima é válido para o exercício anterior? Vamos aplicar o resultado e verificar o que acontece. 8

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