Séries Numéricas 2,10,12,16,17,18,19,? 2,4,6,8,10,? 2,4,8,16,32,?

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Vítor Gabriel Pinhal Freire
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1 SÉRIES NUMÉRICAS

2 Séries Numéricas Uma série numérica é uma sequencia de números que respeita uma regra, uma lei de formação. Sendo assim todos foram produzidos à partir de uma mesma ideia. Exemplos: 2,10,12,16,17,18,19,? 2,4,6,8,10,? 2,4,8,16,32,?

3 Progressão Aritmética Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. O número r é chamado de razão da progressão aritmética. Alguns exemplos de progressões aritméticas: Ø 1, 4, 7, 10, 13,..., é uma P.A em que a razão (a diferença entre os números consecutivos) é igual a 3. Ø -2, -4, -6, -8, -10,..., é uma P.A. em que r = -2. Ø 6, 6, 6, 6, 6,..., é uma P.A. com r = 0.

4 Exemplo Na série (5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49,...) r = a 2 a 1 = 9 5 = 4 ou r = a 3 a 2 = 13 9 = 4 ou r = a 4 a 3 = = 4 e assim por diante. DICA: Observe que a razão é constante e pode ser calculada subtraindo um termo qualquer pelo seu antecessor.

5 Uma P.A. pode ser classificada em crescente, decrescente ou constante dependendo de como é a sua razão (R). Exemplos: I (5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,...) CRESCENTE pois r = + 3 II (26, 18, 10, 2, 6, 14, 22,...) DECRESCENTE pois r = 8 III (7, 7, 7, 7, 7,...) ESTACIONÁRIA OU CONSTANTE pois r = 0

6 TERMO GERAL ou enésimo termo ou último termo Numa P.A. de n termos, chamamos de termo geral ou enésimo termo o ultimo termo ou o termo genérico dessa sequência. Atenção! a 20 = a r ou a 20 = a r ou a 20 = a r

7 1. Sabendo que o 1º termo de uma PA é igual a 2 e que a razão equivale a 5, determine o valor do 18º termo dessa sequência numérica.

8 2.Dada a progressão aritmética (8, 11, 14, 17,...), determine: a) razão b) décimo termo c) a 14

9 3. A razão de uma PA de 10 termos, onde o primeiro termo é 42 e o último é 12 vale: a) -5 b) -9 c) -6 d) -7 e) 0

10 4. Calcule a razão da P.A. em que o terceiro termo vale 16 e o décimo primeiro termo vale 40. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11 TERMO GERAL ou MÉDIO Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é,

12 Progressão Aritmética Exemplos: Na P.A (2, 4, 6, 8, 10,...) veremos que: DICA: Sempre a cada três termos consecutivos de uma P.A, o termo central é a média dos seus dois vizinhos, ou seja, a soma dos extremos é o dobro do termo central. Além disso a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante.

13 5. Determine a razão da P.A. (x+2, 2x, 13). a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

14 6. O tempo de serviço de três funcionários da Secretaria da Fazenda em progressão aritmética. Colocando em ordem crescente tem-se (1 + 3x, 4x + 2, 7x + 1). Assim o funcionaário com menor tempo de serviço está contratado há. a) 1 ano b) 2 anos. c) 3 anos. d) 4 anos. e) 5 anos.

15 SOMA DOS n TERMOS Sendo n o número de termos que se deseja somar, temos: DICA: Essa fórmula pode ser lembrada como a soma do primeiro e do último termos, multiplicada pelo número de casais (n/2).

16 Exemplo Na sequência numérica ( 1, 3, 7, 11, 15,...), determine a soma dos 20 primeiros termos. 1)Cálculo da razão da PA 2)Determinando o 20º termo da PA 3) Calculando a Soma dos termos

17 7. Um funcionário da Secretaria da Fazenda recebeu a tarefa de organizar todos os documentos de um departamento em apenas uma semana. Se ele começou no domingo organizando 15, na segunda-feira 23 e assim por diante até terminar, quantos documentos ele organizou no total? a) 32 b) 237 c) 220 d) 273 e) 63

18 8. Devido à epidemia de gripe do último inverno, foram suspensos alguns concertos em lugares fechados. Uma alternativa foi realizar espetáculos em lugares abertos, como parques ou praças. Para uma apresentação, precisou-se compor uma plateia com oito filas, de tal forma que na primeira fila houvesse 10 cadeiras; na segunda, 14 cadeiras; na terceira, 18 cadeiras; e assim por diante. O total de cadeiras foi: a) 384 b) 192 c) 168 d) 92 e) 80

19 9. A soma dos 12 primeiros termos de uma P.A. é 180. Se o primeiro termo vale 8, calcule o último termo dessa progressão. a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24

20 10. O Professor Dudan adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir. Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas. A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas por Dudan? a) 9 b)45 c)64 d)81 e)285

21 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

22 Progressão Geométrica Uma progressão geométrica (abreviadamente, P. G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q. O número q é chamado de razão da progressão geométrica.

23 Alguns exemplos de progressões geométrica:s Ø1, 2, 4, 8, 16,..., é uma P.G em que a razão é igual a 2. Ø-1, -3, -9, -27, -81,..., é uma P.G. em que q = 3. Ø6, 6, 6, 6, 6,..., é uma P.G. com q = 1. Ø(3, 9, 27, 81, 243,...) é uma P.G Crescente de razão q = 3 Ø(90, 30, 10, 10/3,...) é uma P.G Decrescente de razão q= 1/3

24 Exemplo Na série(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,...) q = a 2 / a 1 = 2/1 = 2 ou q = a 3 /a 2 = 4/2 = 2 ou q = a 4 /a 3 = 8/4= 2 e assim por diante. DICA: Observe que a razão é constante e pode ser calculada dividindo um termo qualquer pelo seu antecessor.

25 Uma P.G. pode ser classificada em crescente, decrescente, constante ou oscilante, dependendo de como é a sua razão (q). Exemplos: I (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,...) CRESCENTE pois a2 > a1, a3 > a2 e assim por diante; II ( 1, 3, 9, 27, 81,...) DECRESCENTE pois a2 < a1, a3 < a2 e assim por diante; III (7, 7, 7, 7, 7,...) CONSTANTE pois q =1 e a2=a1 e assim por diante; IV (3, 6, 12, 24, 48, 96,...) OSCILANTE pois há alternância dos sinais.

26 TERMO GERAL ou enésimo termo ou último termo Numa P.G. de n termos, chamamos de termo geral ou enésimo termo o ultimo termo ou o termo genérico dessa sequência. Atenção! a 20 = a 1 q 19 ou a 20 = a 7. q 13 ou a 20 = a 14. q 6 ou a 20 = a 18.q 2

27 11. Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 6º termo dessa PG.

28 12. Dada a progressão geométrica (5, 10, 20, 40,...), determine: a) razão b) oitavo termo c) a 10

29 13. Calcule a razão da P.G. na qual o primeiro termo vale 2 é o quarto termo vale 54. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

30 TERMO GERAL ou MÉDIO Numa progressão geométrica, a partir do segundo termo, o termo central é a média geométrica do termo antecessor e do sucessor, isto é,

31 Exemplo Na P.G (2,4,8,16,...) veremos que : DICA: Sempre a cada três termos consecutivos de uma P.G, o termo central é a média geométrica dos seus dois vizinhos, ou seja, o produto dos extremos é o quadrado do termo central.

32 14. Sabendo-se que a sucessão (x 1, x + 2, 3x,...) é uma P.G. crescente e representa o numero de filhos de três funcionários da Secretaria da Fazenda determine x.

33 15. As idade de três funcionários do Sefaz são x-10, x e x+ 15 e formam, nessa ordem, uma P.G cuja razão vale a) 1/2. b) 3/2. c) 5/2. d) 2/3. e) 4/5.

34 SOMA DOS FINITOS TERMOS Caso deseja-se a soma de uma quantidade exata de termos, usaremos:

35 16. Considerando a PG ( 1, 3, 9,...), determine a soma dos seus 7 primeiros elementos. a) 234 b) 121 c) 364 d) 1093 e)1245

36 SOMA DOS INFINITOS TERMOS Para calcular a soma de uma quantidade infinita de termos de uma P.G usaremos: DICA: Essa fórmula é usada quando o texto confirma o desejo pela soma de uma quantidade infinita de termos e também quando temos 0 < q < 1.

37 17. A soma dos infinitos termos da progressão a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 æ ç6, è 3, 3 2, 3 4,... ö ø

38 A soma da série infinita é...

39 19. Considere que em julho de 1986 foi constatado que era despejada uma certa quantidade de litros de poluentes em um rio e que, a partir de então, essa quantidade dobrou a cada ano. Se hoje a quantidade de poluentes despejados nesse rio é de 1 milhão de litros, há quantos anos ela era de 500 mil litros? a) Nada se pode concluir, já que não é dada a quantidade despejada em b) Seis. c) Quatro. d) Dois. e) Um.

40 20. A contratação de novos servidores do SEFAZ foi iniciada há exatamente um ano e, durante esse período, o número de servidores duplicou a cada contratação. Elas são feitas a cada três meses e hoje, será feita uma nova contratação de 16 servidores.sendo assim o total de servidores após essa contratação será de a) 26 b) 32 c) 34 d) 40 e) 46

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