Meu nome: Minha Instituição:

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1 Meu nome: Minha Instituição:

2 . O Teorema Fundamental da Aritmética enuncia que todo número natural maior que ou é primo ou pode ser escrito de forma única, a menos da ordem dos fatores, como produto de potências de números primos. Assim, considere um número natural n, com n >. a) Determine o número de divisores naturais de n. Satisfazendo o Teorema Fundamental da Aritmética podemos escrever o número natural n da seguinte forma x n = p 0 x 0 p x p x p r r, onde p 0, p, p,, p r são números primos e x 0, x, x,, x r expoentes naturais. Assim, pela contagem simples temos que o número de divisores naturais de n, é dado pelo produto d(n) = (x 0 + )(x + )(x + ) (x r + ). b) Determine o número de divisores naturais pares de n. x Em n = p 0 x 0 p x p px r, r considere p0 =. Então n = x 0 x p x p x p r r. Para que esse número tenha divisores pares é necessário que ele seja um número par e, portanto, x 0 0. Logo, respeitando essa restrição, e pela contagem simples o número de divisores naturais pares é dado pelo produto d P (n) = x 0 (x + )(x + ) (x r + ).

3 c) Determine o número de divisores naturais ímpares de n. Sendo x 0 o expoente do primo p 0 =, basta subtrairmos o número total de divisores naturais pelo número de divisores naturais pares, ou seja, d I (n) = d(n) d P (n) = (x 0 + )(x + )(x + ) (x r + ) x 0 (x + )(x + ) (x r + ) d I (n) = (x + )(x + ) (x r + )(x 0 + x 0 ) d I (n) = (x + )(x + ) (x r + ). d) Sendo y N, encontre o número de divisores naturais pares do número natural n = y 3 5 y 7, sabendo que o número possui 30 divisores ímpares. O número de divisores naturais ímpares é dado por: d I (n) = ( + )(y + )( + ) = 30. Assim, temos ( + )(y + )( + ) = 30 y + = 30 y = 5 y = 4 Já o número de divisores naturais pares é dado por: d P (n) = y( + )(y + )( + ). Então, d P (n) = 4( + )(4 + )( + ) = = 0. TOTAL

4 . Observe a sequência das potências de base : 0 = ; = ; ² = 4; ³ = 8; 4 = ; 5 = 3;. Podemos representar de forma única, a menos da ordem, qualquer número natural como uma potência de base ou como soma de termos dessa sequência. Por exemplo, o número 0 pode ser escrito como 0 = ² + 4 = 4 +, já o número 33 pode ser escrito por 33 = = + 3 = 33. a) Encontre as somas das potências de base que representam os números 44, 447 e = = = b) Com os dez primeiros termos da sequência das potências de base podemos expressar qualquer número natural de a 03 como uma potência de base ou como soma de termos dessa sequência. Desse modo, o número 849 pode ser escrito como 849 = , sendo assim, chamamos de número OMI do 849 o número 9840, ou seja, o número formado pelos expoentes da soma das potências de em ordem decrescente. Nessas condições, determine o número OMI de 44, 447 e OMI = OMI = OMI =

5 c) Dos números naturais de a 03 o número é o que tem o menor número OMI, a saber, o número OMI 0, já o número 03 possui o maior número OMI, O segundo menor número OMI é o do número, o terceiro menor é o do número 4. Já o décimo primeiro número OMI é o do número 3, conforme tabela a seguir. Ordem (posição) Número Natural Número OMI º º 3º 4º 5º º 7º 8º 9º 0º º º 3º 03º Qual é o 50º número natural na sequência apresentada na tabela? E o 5º? Números OMI com dígito: 0 números (0,,, 3, 4, 5,, 7, 8, 9). Números OMI com dígitos: número, números, 3 3 números, 4 4 números, 5 5 números, números, 7 7 números, 8 8 números, 9 9 números 4º: 87 47º: 90 48º: 9 49º: 9 50º: 93 = = = 50. Números OMI com 3 dígitos: número, 3 3 números, 4 números, 5 0 números, 5 números, 7 números, 8 8 números, 9 3 números º: 75 º: 80 3º: 80 4º: 8 5º: 830 = = = 5. 4

6 d) Qual é a posição do número natural 44 na sequência apresentada na tabela? Conforme apresentado no item anterior (item c), temos: Números OMI com dígito: 0 números. Números OMI com dígitos: 45 números. Números OMI com 3 dígitos: número 3 3 números 4 números 5 número 5 números 44 OMI = 53 Portanto, temos até aqui na sequência 8 números. Logo, 530: 9ª posição 53: 70ª posição 53: 7ª posição 44 OMI = 53 ocupa a 7ª posição. TOTAL 5

7 3. Miguel adora Matemática e vive brincando com os números. Nas vésperas do Natal, criou uma árvore natalina numérica formada por números binomiais, conforme mostra a figura abaixo a) Determine a soma da árvore natalina, ou seja, a soma de todos os números que constituem a árvore. Podemos organizar os números binomiais formando o Triângulo de Pascal, da seguinte forma: Assim, as somas das linhas serão dadas por: 0,,,, 0. Portanto, trata-se da soma de uma Progressão Geométrica (PG) de razão com termos. Então S = ( ) = = 048 = 047

8 b) Suponha uma árvore que tenha n linhas, mostre que a soma da linha imediatamente superior à base é dada por s(n) = n n. A linha imediatamente superior a base da árvore é da forma,, 3,, n. Portanto, temos uma Progressão Aritmética (PA) de razão com n termos. Logo, a soma dessa linha é a soma da PA(,, 3,, n ), que é dada por: ( + n )(n ) s(n) = = n(n ) = n n c) Considere ainda uma árvore com n linhas, mostre que a soma da árvore natalina é dada por S(n) = n. Podemos organizar os números binomiais formando o Triângulo de Pascal, da seguinte forma: ( 0 0 ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( n 0 ) (n n ) Assim, as somas das linhas serão dadas por: 0,,,, n Portanto, trata-se da soma de uma Progressão Geométrica (PG) de razão com n termos. Então S(n) = 0 ( n ) = (n ) = n TOTAL 7

9 4. Uma sequência numérica está distribuída na primeira fila da pirâmide abaixo. Para determinar o número que está contido em um bloco, basta realizarmos a média aritmética dos dois blocos que servem de apoio para o bloco em questão. nª fileira (n )ª fileira (n )ª fileira (n 3)ª fileira 4ª fileira 3ª fileira ª fileira 7,5 ª fileira a) Qual é o valor contido no º bloco da esquerda na 4ª fileira? Para determinar o bloco em questão dividiremos o problema em três etapas: º) Determinar os três primeiros blocos da esquerda na ª fileira: + = 05,5 + =, = 7,5 º) Determinar os dois primeiros blocos da esquerda na 3ª fileira: 05,5 +,5,5 + 7,5 3º) Determinar o primeiro bloco da esquerda na 4ª fileira: + = = =,5 Portanto, o valor contido no º bloco da esquerda na 4ª fileira é,5. 8

10 b) Determine o número contido no bloco do topo da pirâmide. É possível notar que a ª fileira é uma progressão aritmética (PA) com 8 termos de razão igual a e primeiro termo igual a. De forma análoga, percebe-se que a ª fileira é uma PA de razão igual a, porém, com 80 termos e primeiro termo igual a 05,5. Na 3ª fileira temos uma PA com a mesma razão, mas com 79 termos. Entretanto, percebe-se que os elementos desta PA são os mesmos da PA da ª fileira com a exclusão do primeiro e do último elemento. A partir de então, gera um padrão de repetição de PA s de forma alternada, onde uma fileira tem elementos da ª fileira e na fileira acima desta temos elementos da ª fileira, ambas com a exclusão dos elementos das extremidades. A cada fileira com um número ímpar de blocos excluímos os elementos das extremidades, implicando que o elemento no bloco do topo da pirâmide é o elemento central da PA da ª fileira, isto é, o 4º bloco da ª fileira. Assim, temos que a 4 = a + (4 ) r a 4 = + 40 a 4 = a 4 = 540 Portanto, o número contido no bloco do topo da pirâmide é 540. c) Qual é a soma de todos os primeiros blocos da esquerda de cada fileira? É fácil ver que a sequência dos números contidos nos primeiros blocos da esquerda de cada fileira formam uma PA de razão 5,5, onde o primeiro termo é e o último termo é 540. Vale ressaltar que ao todo são 8 fileiras, logo, basta calcular a soma dos 8 termos dessa PA: ( + 540) 8 S 8 = = S 8 = (a + a 8 ) = 30 8 = 5.90 Portanto, a soma de todos os primeiros blocos da esquerda de cada fileira é TOTAL 9

11 5. A figura abaixo representa uma sequência de quadrados enfileirados horizontalmente da esquerda para direita. O primeiro quadrado ABHI tem lado igual a, o segundo BCJK tem lado igual a, o terceiro tem lado igual a 3 e assim sucessivamente. a) Encontre as coordenadas dos quatro vértices do centésimo quadrado. Seja A B C D o centésimo quadrado da sequência e A (x, y). Então, B (x +, y), C (x +, y + ) e D (x, y + ), com x = e y = 0, pois A pertence ao eixo X e é vértice do nonagésimo nono quadrado da sequência. Assim, encontrando o valor de x, temos ( + 99) 99 x = = = Portanto, A (4.950, 0), B (5.050, 0), C (5.050, ) e D (4.950, ). 0

12 b) Determine as coordenadas dos quatro vértices do n-ésimo quadrado. Seja A B C D o n-ésimo quadrado da sequência e A (x n, y n ). Então, B (x n + n, y n ), C (x n + n, y n + n) e D (x n, y n + n), com x n = (n ) e y n = 0, pois A pertence ao eixo X e é vértice do (n )-ésimo quadrado da sequência. Assim, encontrando o valor de x n, temos ( + n ) (n ) x = (n ) = = n (n ) = n n Logo, x n = n n + n = n + n Portanto, A ( n n, 0), B ( n +n, 0), C ( n +n, n) e D ( n n, n). c) Calcule a soma das áreas dos cem primeiros quadrados da sequência. Seja S() a soma das áreas dos cem primeiros quadrados da sequência. Assim, S() = = k² k= Considere a sequência com i =,, 3,,. Desse modo, temos P i, = i k= P, = P, = P 3, = P 98, = P 99, = 99 + P, = De fato, P i, = (i+)(+ i), pois trata-se da soma dos termos de uma progressão aritmética (PA) de primeiro termo igual a i, razão igual a e último termo igual a.

13 Por outro lado, note que S() = P i, S() = ( + )( + i) S() = + + i i S() = S() 3 S() = S() = S() = Portanto a soma das áreas dos cem primeiros quadrados da sequência é u. a.. Outra solução: Basta usar a informação fornecida no próximo item (item d) que a soma das áreas dos n primeiros quadrados da sequência é dado por S(n) = n(n+)(n+). Assim, fazendo n =, temos S() = ( + )( + ) = 0 0 =.030. = Portanto a soma das áreas dos cem primeiros quadrados da sequência é u. a..

14 d) Mostre que a soma das áreas dos n primeiros quadrados da sequência é dada por S(n) = n(n+)(n+). Seja S(n) a soma das áreas dos n primeiros quadrados da sequência. Assim, Considere a sequência com i =,, 3,, n. Desse modo, temos S(n) = (n ) + (n ) + n = k² P i,n = i k= P,n = (n ) + (n ) + n P,n = (n ) + (n ) + n P 3,n = (n ) + (n ) + n P n,n = (n ) + (n ) + n P n,n = (n ) + n P n,n = n De fato, P i, = (i+n)(n+ i), pois trata-se da soma dos termos de uma progressão aritmética (PA) de primeiro termo igual a i, razão igual a e último termo igual a n. Por outro lado, note que S(n) = n S(n) = n n S(n) = P i,n n ( + n)(n + i) + n n S(n) = n 3 + n + + n i i ( + n)n S(n) n k= 3 S(n) = n3 + 3n + n = n(n + 3n + ) = n [ (n + ) (n + )] = n(n + ) (n + ) 3

15 3 S(n) = n(n + )(n + ) S(n) = n(n + )(n + ) Outra solução: Como n é natural, a igualdade S(n) = n(n+)(n+) pode ser mostrada por indução em n. TOTAL 4