a n também estão em P.A.

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1 Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Álgebra - Nível 3 Prof Cícero Thiago / Prof Marcelo Aula 16 Sequências I 1 Progressão Aritmética Definição 1: Uma progressão aritmética é uma sequência a 1, a, ou somente (a n ) (finita ou infinita) satisfazendo a a 1 = a 3 a = = r; sendo r chamado de razão da progressão Teorema 1 Se (a n ) é uma progressão aritimética de razão r, então a n = a 1 +(n 1)r, para todo n inteiro e positivo Demonstração Pela definição de progressão aritmética, temos a a 1 = r a 3 a = r a 4 a 3 = r a n a n 1 = r Somando essas n 1 igualdades, obtemos a n a 1 = (n 1)r, isto é, a n = a 1 +(n 1)r Problema 1 Prove que não existem inteiros positivos a e r tais que os números sejam todos quadrados perfeitos a, a+r, a+r, a+3r,, a+nr,

2 POT 01 - Álgebra - Nível 3 - Aula 16 - Prof Cícero Thiago/ Prof Marcelo Solução Suponha que existem a e r como desejado Para k suficientemente grande temos ( ) r 1 a + kr > e a + kr = q, para algum q N Mas neste caso temos q > r 1, donde ( ) r 1 (q +1) = q +q +1 > q + +1 = a+kr +r = a+(k +1)r Logo, a+(k +1)r não será quadrado perfeito Um absurdo! Problema Prove que, aritmética 3 e 5 não podem ser termos de uma mesma progressão Problema 3 Prove que os termos de uma PA qualquer em que 0 não participa verficam a relação: = n 1 a 1 a a a 3 a n 1 a n a 1 a n Problema 4 Prove que se a, b e c são números positivos então a, b e c estão em PA 1 se, e somente se, b+c, 1 a+c e 1 também estão em PA a+b Problema 5 Prove que se uma progressão aritmética de inteiros positivos contém um quadrado, então irá conter infinitos quadrados Problema 6 O conjunto dos inteiros positivos é particionado em várias progressões aritméticas Prove que pelo menos um dos termos iniciais é divisível pela razão de sua progressão Problema 7 Prove que os termos de uma PA qualquer em que 0 não participa verficam a relação: 1 a a an 1 + n 1 = a n a1 + a n Problema 8 (Putnan) Prove que não existem quatro coeficientes binomiais consecutivos ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n,,, k k +1 k+ k+3 (n, k inteiros positivos e 4 k+3 n) que estão em progressão aritmética Problema 9 (OCM) Os lados de um triângulo medem 3, 7 e 8, respectivamente Mostre que os ângulos deste triângulo, medidos em graus, então em progressão aritmética

3 POT 01 - Álgebra - Nível 3 - Aula 16 - Prof Cícero Thiago/ Prof Marcelo Teorema A soma dos n primeiros termos da progressão aritmética (a n ) = (a 1, a,, a n, ) é igual a S n = (a 1 +a n )n Demonstração S n = a 1 +a +a 3 ++a n +a n 1 +a n S n = a n +a n 1 +a n ++a 3 +a +a 1 Saí, S n = (a 1 +a n )+(a +a n 1 )++(a n +a 1 ) Observe que, ao passar de um parênteses para o seguinte, a primeira parcela aumenta de r e a segunda parcela diminui de r, o que não altera a soma Portanto, todos os parênteses são iguais ao primeiro, (a 1 +a n ) Logo, S n = (a 1 +a n )n e S n = (a 1 +a n )n Problema 10 (OCM) Seja S = Expresse S como a soma de 1000 números ímpares, todos eles termos de uma progressão aritmética Solução Usaremos apenas a fatoração da diferença de dois quadrados: Assim, teremos: a b = (a+b)(a b) S = 1 +(3 )+(5 4 )++( ) = 1+(3+)(3 )+(5+4)(5 4)++( )( ) = Esta última expressão contém extamente 1000 números ímpares em PA Problema 11 (China)SejaS n asomadosnprimeirostermos deumaprogressãoaritmética (a n ) Se S 15 > 0 e S 16 < 0, determine o maior entre os números S 1 a 1, S a,, S 15 a 15 Problema 1 Demonstre queem todapa, com númeroímpardetermos, o termomédio é igualàdiferençaentreasomadostermosdeordemímpareasomadostermosdeordempar Problema 13 (Espanha) Calcule a soma dos quadrados dos 100 primeiros termos de uma progressão aritmética, dado que a soma dos 100 primeiros termos é 1 e a soma dos termos de ordem par (a, a 4,, a 100 ) é 1 3

4 POT 01 - Álgebra - Nível 3 - Aula 16 - Prof Cícero Thiago/ Prof Marcelo Problema 14 Suponhaquea 1, a,, a n estão em progressãoaritmética Ache afórmula para a 1 +a ++a n em termos de n, a 1 e a n Problema 15 (ITA) Numa progressão aritmética com n termos, n > 1, sabemos que o primeiro termo é igual a 1+n e a soma deles vale 1+3n Então o produto da razão desta n progressão pelo último termo é igual a: (a) n (b) n (c) 3n (d) 3 (e) 5n n Problema 16 (ITA) Seja a 1, a, uma progressão aritmética infinita tal que n a 3k = n +πn, n N k=1 Determine o primeiro termo e a razão da progressão Problema 17 (IME) Determine as possíveis progressões aritméticas para as quais o resultado da divisão da soma dos seus n primeiro termos pela soma dos seus n primeiros termos seja independente do valor de n Problema 18 (AIME) Seja a 1, a, a 3, uma progressão geométrica com razão 1 tal que S 1 = a 1 +a +a 3 ++a 98, S = a +a 4 +a 6 ++a 9 8 (a) Ache uma equação relacionando S 1 e S (b) Determine o valor de S sabendo que S 1 = 137 Progressão Geométrica Definição : Uma sequência a 1, a,, a n, é uma progressão geométrica se existe um número q tal que para cada k = 1,, 3,, a k+1 = qa k Teorema 3 Se (a n ) é uma progressão geométrica de razão q,então a n = a 1 q n 1, para todo inteiro positivo n 4

5 POT 01 - Álgebra - Nível 3 - Aula 16 - Prof Cícero Thiago/ Prof Marcelo Demonstração Pela definição de progressão geométrica e admitindo conhecidos o primeiro termo (a 1 0), a razão (q 0) e o índice (n) de um termo desejado, temos: Multiplicando essas n 1 igualdades, temos: a = a 1 q a 3 = a q a n = a n 1 q a a 3 a 4 a n = a 1 a a 3 a n 1 q n 1 a n = a 1 q n 1 Teorema 4 Asomadosnprimeirostermosdeumaprogressãogeométrica (a n ) = (a 1, a,, a n, ) é igual a S n = a 1q n a 1 q 1 Demonstração Temos: a 1 +a 1 q +a 1 q ++a 1 q n +a 1 q n 1 (1) Multiplicando ambos os membros por q, obtemos: qs n = a 1 q +a 1 q ++a 1 q n 1 +a 1 q n () Supondo q 1, resulta: () (1) qs n S n = a 1 q n a 1 S n (q 1) = a 1 q n a 1 S n = a 1q n a 1 q 1 Teorema 5 Se (a 1, a,, a n,) é uma PG com razão q tal que 1 < q < 1,então S = a 1 +a +a 3 ++a n + = a 1 1 q A demonstração do teorema 5 ficará como exercício Problema 19 Determine a razão de uma PG de termos não nulos tal que Solução Sabemos que a n = a 1 q n 1 Então a n+ = a n+1 +a n a 1 q n+1 = a 1 q n +a 1 q n 1 q q 1 = 0 q = 1± 5 5

6 POT 01 - Álgebra - Nível 3 - Aula 16 - Prof Cícero Thiago/ Prof Marcelo Problema 0 Prove que podemos eliminar alguns termos de um progressão aritmética de inteiros positivos de tal maneira, que sempre podemos rearranjar os termos formando uma progressão geométrica Problema 1 (OCM) Determine a soma dos n primeiros termos da sequência: 1, 1+, 1++, ,, n 1, Problema Três números reais não nulos x, y, z, nessa ordem, estão em PA Seus quadrados, na mesma ordem, também estão em PA Nessas condições, prove que x,y,z, nessa ordem, também estão em PG Problema 3 Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, cada uma, 00 termos e a 1 = b 1 = 3 e a = b = 1 Determine os valores de i para os quais a i é um divisor de b i Problema 4 (OCM) (a) Sabendo - se que os três lados de um triângulo retângulo, de hipotenusa a, então em progressão geométrica Determine os catetos do triângulo em função apenas de a (b) Mostre que a altura relativa à hipotenusa também faz parte da progressão Problema 5 Suponha que a 1 = e a k+1 = 3a k +1 para todo k 1 Ache uma fórmula geral para a 1 +a ++a n Problema 6 (AIME) A soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica é 005 Uma nova sequência obtida elevando ao quadrado cada termo da sequência original, tem soma dez vezes maior que a soma original Determine a razão da sequência original Bibliografia 1 Fundamentos de matemática elementar 4 Gelson Iezzi e Samuel Hazzan Intermediate Algebra Richard Rusczyk e Mathew Crawford 6