Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 7. Curso de Álgebra - Nível 3. Miscelânea sobre raízes de polinômios II

Transcrição

1 Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Álgebra - Nível 3 Prof. Cícero Thiago / Prof. Marcelo Aula 7 Miscelânea sobre raízes de polinômios II Definição : Seja P(x) = a n x n +a n x n +...+a x+a 0 um polinômio com a n 0 e n > 0. Definiremos P (x) = na n x n +(n )a n x n +...+a como sendo o polinômio que é a derivada do polinômio P(x). As derivadas dos polinômios P(x) e Q(x) satisfazem () P(x) = k, k constante P (x) = 0. () (P +Q) (x) = P (x)+q (x). (3) (P Q) (x) = P (x) Q (x). (4) (P Q) (x) = P (x)q(x)+p(x)q (x). Como consequência de (3) temos que se x, x,..., x n são raízes de, um polinômio de grau n, P(x), então P (x) P(x) = x x x x x x n Em seguida, um teorema bem interessante sobre raízes múltiplas de um polinômio. Teorema. Se r é raiz de multiplicidade m do polinômio P(x), então r é raiz de multiplicidade m do polinômio P (x). Demonstração. Temos que P(x) = (x r) m Q(x) P (x) = m(x r) m Q(x)+(x r) m Q (x) = (x r) m [m Q(x)+(x r) Q (x)]e, comom Q(r)+(r r) Q (r) = m Q(r) 0, ou seja, r é uma raiz de multiplicidade m de P (x).. Determine um polinômio P(x), de grau 5, tal que P(x)+ é divisível por (x ) 3 e P(x) é divisível por (x+) 3. Solução. Se é uma raiz de multiplicidade 3 de P(x) então é raiz de multiplicidade do polinômio P (x). Da mesma forma é uma raiz de multiplicidade de P (x). SeguequeP (x)édivisível pelopolinômio(x ) (x+). Mas, P (x)éumpolinômio de grau 4. Então, P (x) = c(x ) (x+) = c(x 4 x +),

2 POT 0 - Álgebra - Nível 3 - Aula 7 - Prof. Cícero Thiago/ Prof. Marcelo ( para alguma constante c. Agora, P(x) = c 5 x5 ) 3 x3 +x +d, para c e d reais. Como P( ) = e P() =, então c = 5 8 e d = 0 e P(x) = 3 8 x x3 5 8 x. Vamos ver uma outra solução. Note que (x ) 3 divide P(x)+ e P( x), então (x ) 3 divide P(x)+P( x). Além disso, (x+) 3 divide P(x) e P( x)+, então (x ) 3 divide P(x)+P( x). Dessa forma, (x ) 3 (x+) 3 divide P(x)+P( x), que é um polinômio de grau 5, assim P(x)+P( x) = 0, x. Portanto, os coeficientes dos termos de grau par de P(x) são iguais a zero. Agora, P(x)+ = (x ) 3 (Ax +Bx ). Com isso, B 3A = 0 e 3+3B A = 0, ou seja, A = 3 8 e B = 9 8. Finalmente, P(x) = 3 8 x x3 5 8 x.. Sejam x, x,..., x n, as raízes diferentes de do polinômio P(x) = x n, n. Prove que = n. x x x x x x n Solução. Seja R(x) um polinômio de grau n, cujas raízes são x, x,..., x n. Segue que R (x) R(x) = x x x x x x n Por outro lado, R(x) = xn x = xn + x n x +, então R() = n e R () = (n )+(n )+...+ = n(n ). Dessa forma, = R () x x x n R() = n. 3. Prove que o polinômio P(x) = + x + x! xn n! não possui raízes múltiplas. Solução. O polinômio P possui uma raiz múltipla r se P(r) = P (r) = 0. Mas P(x) = P (x)+ xn n!. Dessa forma, se r for uma raiz então P(r) = P (r)+ rn n! r = 0. Por outro lado, P(0) =. Assim, P não possui raízes múltiplas. 4. Determine a para que seja uma raiz múltipla de P(x) = x 5 ax ax+. Solução. Temos que P( ) = a+a+ = 0. Mas, P ( ) = 0 5+a a = 0 a = 5.

3 POT 0 - Álgebra - Nível 3 - Aula 7 - Prof. Cícero Thiago/ Prof. Marcelo 5. Prove que (x ) nx n+ (n+)x n +. Solução. Temos que P() = n (n+)+ = 0 e P () = n(n+) (n+)n = 0. Portanto, é raiz com multiplicidade. Exercícios propostos. Sejam x, x,..., x n as raízes do polinômio x n +x n +...+x+. Prove que x + x x n = n.. Demonstre que, se a equação x 3 ax+b = 0 (ab 0), com a, b reais, tiver uma raiz dupla, então a será sempre positivo. 3. (ITA) Seja k R tal que a equação x 3 +7x +4x+k = 0 possua uma raiz dupla e inteira x e uma raiz x, distinta de x. Então, (k +x )x é igual a (a) 6. (b) 3. (c). (d). (e) Prove que (x+) x 4n+ +x n DeterminetodosospolinômiosP(x), comcoeficientesinteiros, quesatisfazemp(p (x)) = P (P(x)), x R. 6. Se a equação x 3 +ax +3x+ = 0 tem raiz tripla, qual o valor de a? 7. Sejam P(z) e Q(z) polinômios com coeficientes complexos, de grau maior ou igual a, tais que P(z) = 0 se, e somente se, Q(z) = 0 e P(z) = se, e somente se, Q(z) =. Prove que os polinômios são iguais. Soluções/Sugestões. Vamos fazer uma solução com uma idéia diferente das que foram trabalhadas nessa aula. Observe o polinômio com raízes = x k, k =,,...,n. Da igualdade acima temos que x k =, 3

4 POT 0 - Álgebra - Nível 3 - Aula 7 - Prof. Cícero Thiago/ Prof. Marcelo em que x k é uma raiz de x n +x n +...+x+, dessa forma ( ) yk n ( ) yk n = 0. A última igualdade é equivalente a ( ) n + ( ) n +...+y n k ( )+y n k = 0. Segue que é uma raiz do polinômio P(x) = (x ) n +x(x ) n +...+x n (x )+x n. Queremos calcular y +y +...+y n. Observe que P(x) = (n+)x n x n (( n Usando relações de Girard, temos que ) + ( ) n ( )) +... y +y +...+y n = ( n ( ) + n ) ( ) = n(n+) n+ (n+) = n. 4. Seja P(x) = x 4n+ + x n+ +. Então, P( ) = + = 0 e P () = (4n+)+(n+) = Vamos primeiro considerar o caso em que n. Seja P(x) = a n x n +a n x n +...+a 0, a n 0. Então P (x) = na n x n +(n )a n x n +...+a. Fazendo a identidade dos coeficientes de x n(n ) na igualdade P(P (x)) = P (P(x)), obtemos n n = a n n n. a n+ n Isto implica que a n n n =, ou seja, a n = n n. Como a n deve ser inteiro, então n =, o que é uma contradição. Se n =, então P(x) = ax+b. Dessa forma, temos que a + b = a b = a a. A resposta do problema são todos os polinômios da forma P(x) = ax +a a. 4

5 POT 0 - Álgebra - Nível 3 - Aula 7 - Prof. Cícero Thiago/ Prof. Marcelo Bibliografia. Problem - Solving Strategies Arthur Engel. Putnam and Beyond Razvan Gelca e Titu Andreescu 3. Fundamentos de Matemática Elementar, vol.6 Gelson Iezzi 4. 0 Problems in Algebra: Form the training of the USA IMO team. Titu Andreescu e Zuming Feng 5. Mathematical Olympiad Treasures Titu Andreescu e Bogdan Enescu 6. Tópicos de Matemática Elementar, vol. 6 Antonio Caminha Muniz Neto 5