MATEMÁTICA MÓDULO 8 DIVISIBILIDADE E CONGRUÊNCIA. Professor Matheus Secco

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2 MATEMÁTICA Professor Matheus Secco MÓDULO 8 DIVISIBILIDADE E CONGRUÊNCIA

3 1. DIVISIBILIDADE Definição: Sejam a, b inteiros com a 0. Diz-se que a divide b (denota-se por a b) se existe c inteiro tal que b = ac. Se a não divide b, escreve-se a b. Quando a b, também dizemos que b é divisível por a, b é múltiplo de a ou ainda que a é divisor de b. Exemplos: 1) 5 15, pois 15 = ) 3 7, pois não existe inteiro n tal que 7 = 3n.

4 2. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 1) Divisibilidade por 2: Um número é múltiplo de 2 se, e somente se, seu último algarismo é par. Resto na divisão por 2: se o último algarismo é par, o resto é 0 e se o último algarismo é ímpar, o resto é 1. Exemplo: , pois 4 é par, mas não é múltiplo de 2, pois 1 é ímpar. O resto de na divisão por 2 é 1.

5 2) Divisibilidade por 3: Um número é múltiplo de 3 se, e somente se, a soma de seus algarismos é múltipla de 3. Resto na divisão por 3: resto da soma dos algarismos do número na divisão por 3. Exemplo: , pois = 21 e = 3, que é múltiplo de 3, mas 121 não é múltiplo de 3, pois = 4 não o é. O resto de 121 na divisão por 3 é 1.

6 3) Divisibilidade por 4: Um número é múltiplo de 4 se, e somente se, o número formado por seus dois últimos algarismos é múltiplo de 4. Resto na divisão por 4: resto do número formado pelos dois últimos algarismos na divisão por 4. Exemplo: , pois 84 é múltiplo de 4, mas não é múltiplo de 4, já que 34 não o é. O resto de na divisão por 4 é 2.

7 4) Divisibilidade por 5: Um número é múltiplo de 5 se, e somente se, seu último algarismo é 0 ou 5. Resto na divisão por 5: resto do último algarismo na divisão por 5. Exemplo: 5 995, pois o último algarismo é 5, mas 1003 não é múltiplo de 5, pois o último algarismo é 3. O resto de 1003 na divisão por 5 é 3.

8 5) Divisibilidade por 6: Um número é múltiplo de 6 se, e somente se, é múltiplo de 2 e de 3. Resto na divisão por 6: resto por 6 da soma do algarismo das unidades com o quádruplo da soma dos algarismos anteriores. Exemplo: 6 120, mas 722 não é múltiplo de 6. O resto de 722 na divisão por 6 é o resto de (7 + 2) = = 38 na divisão por 6, que é 2.

9 6) Divisibilidade por 7: Um número é múltiplo de 7 se, e somente se, a soma das classes ímpares menos a soma das classes pares é múltipla de 7. Resto na divisão por 7: resto da soma das classes ímpares menos a soma das classes pares na divisão por 7. Exemplo: , pois a soma das classes ímpares é = 1820 e a soma das classes pares é = 1358, donde a diferença é 462 = 66 7, que é múltipla de 7.

10 7) Divisibilidade por 8: Um número é múltiplo de 8 se, e somente se, o número formado pelos três últimos algarismos é múltiplo de 8. Resto na divisão por 8: resto do número formado pelos três últimos algarismos na divisão por 8. Exemplo: , pois 824 é múltiplo de 8, mas não é múltiplo de 8, pois 442 = , donde o resto de na divisão por 8 é 2.

11 8) Divisibilidade por 9: Um número é múltiplo de 9 se, e somente se, a soma de seus algarismos é múltipla de 9. Resto na divisão por 9: resto da soma dos algarismos do número na divisão por 9. Exemplo: , pois = 9 é múltiplo de 9, mas 727 não é múltiplo de 9, pois = 16 e 16 = , donde o resto de 727 na divisão por 9 é 7.

12 9) Divisibilidade por 10: Um número é múltiplo de 10 se, e somente se, seu algarismo das unidades é 0. Resto na divisão por 10: o resto de um número na divisão por 10 é o algarismo das unidades. Exemplo: , pois 880 termina em 0, mas 1003 não é múltiplo de 10 e seu resto na divisão por 10 é 3.

13 10) Divisibilidade por 11: Um número é múltiplo de 11 se, e somente se, a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par é múltipla de 11. Resto na divisão por 11: resto da diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par na divisão por 11.

14 11) Divisibilidade por 2 k : Um número é múltiplo de 2 k se, e somente se, o número formado pelos seus k últimos algarismos é múltiplo de 2 k. Resto na divisão por 2 k : resto do número formado pelos k últimos algarismos na divisão por 2 k. 12) Divisibilidade por 5 k : Um número é múltiplo de 5 k se, e somente se, o número formado pelos seus k últimos algarismos é múltiplo de 5 k. Resto na divisão por 5 k : resto do número formado pelos k últimos algarismos na divisão por 5 k.

15 13) Divisibilidade por 10 k : Um número é múltiplo de 10 k se, e somente se, seus k últimos algarismos são zeros. Resto na divisão por 10 k : o resto é o número formado pelos k últimos algarismos.

16 3. ARITMÉTICA MODULAR Definição: Sejam a, b, m inteiros (m > 0). Dizemos que a é congruente a b módulo m se, e somente se, m a b. Denotamos isto por a b (mód m). Exemplo: 11 3 (mód 4), pois 4 (11 3) = 8.

17 PROPRIEDADES 1) a a (mód m) (Reflexiva) 2) Se a b (mód m), então b a (mód m) (Simétrica) 3) Se a b (mód m) e b c (mód m), então a c (mód m) (Transitiva) 4) Se a b (mód m), então a ± c b ± c (mód m) 5) Se a b (mód m), então ac bc (mód m) 6) Se a b (mód m) e c d (mód m), então a ± c b ± d (mód m) 7) Se a b (mód m) e c d (mód m), então ac bd (mód m) 8) Sejam a, b, k, m são números inteiros com k, m > 0 e a b (mód m), então a k b k (mód m).

18 OBSERVAÇÃO Estas propriedades indicam que podemos fazer *quase* qualquer operação com o símbolo de congruência. Uma coisa que não podemos fazer é cortar. Por exemplo, 4 2 (mód 2), mas 2 1 (mód 2)! Quando chegarmos a x r (mód m) e 0 r < m, temos que r é o resto da divisão de x por m. Algumas propriedades sobre quadrados perfeitos: i. Todo quadrado perfeito deixa resto 0 ou 1 na divisão por 3. ii. Todo quadrado perfeito deixa resto 0 ou 1 na divisão por 4. iii. Todo quadrado perfeito termina em 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.

19 5. PEQUENO TEOREMA DE FERMAT Se p é primo e p a, então a p 1 1 (mód p). Vejamos dois exemplos onde a aritmética modular será de grande valia: EXEMPLO 1: Determine o resto da divisão de por 3. SOLUÇÃO: Veja que 4 1 (mód 3), pois 4 1 = 3 é múltiplo de 3. Desta forma, elevando a 1234 ambos os lados, segue que (mód 3). Como = 1, temos que (mód 3) e o resto pedido é igual a 1.

20 EXEMPLO 2: Mostre que é divisível por 13. SOLUÇÃO: Para calcularmos o resto de uma potência de a na divisão por um determinado número m, devemos encontrar um expoente t para o qual a t 1 (mód m) ou a t 1 (mód m). A grande vantagem disto é que é muito fácil elevar 1 ou 1 a qualquer expoente! Vamos então seguir esta ideia neste exemplo: (mód 13) (mód 13) (mód 13) (mód 13) (mód 13) (mód 13)

21 Vimos então que (mód 13) (*). Usaremos isto para chegar até Como 66 é o múltiplo de 6 mais perto de 70, elevaremos ambos os lados de (*) à potência 11: 2 66 ( 1) 11 1 (mód 13) Agora multiplicando por 2 4 ambos os lados e levando em consideração que (mód 13), temos que (mód 13). Faremos a mesma coisa agora para as potências de 3: (mód 13) (mód 13) (mód 13)

22 Desta vez, foi bem mais rápido! Agora, como 69 é o múltiplo de 3 mais perto de 70, elevaremos ambos os lados à potência 23: (mód 13) Multiplicando por 3 ambos os lados, temos que (mód 13). Com isso, segue que (mód 13), isto é, é divisível por 13.

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