GAN Matemática Discreta Professores Renata de Freitas e Petrucio Viana. Lista A

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1 GAN Matemática Discreta Professores Renata de Freitas e Petrucio Viana Lista A 1. Verdadeiro ou falso? Justifique. (a) {3} {3, 4, 5} (b) {3} {{3}, 4, 5} (c) {3} {3, 4, 5} (d) {3} {{3}, 4, 5} 2. Verdadeiro ou falso? Justifique. Para A = {0, 1, 2, {1}}, temos: (a) {0} A (b) 0 A (c) {1, 2} A (d) {1, 2} A (e) {{1}, 2} A (f) {0, {2}} A 3. Considere os seguintes conjuntos: A: O conjunto de todos os inteiros positivos menores que 10. B: O conjunto de todos os números primos menores que 11. C: O conjunto de todos os números ímpares maiores que 1 e menores que 6. D: O conjunto cujos únicos elementos são 1 e 2. E: O conjunto cujo único elemento é 1. F : O conjunto de todos os números primos menores que 8. G: O conjunto dos números primos que ocorrem na fatoração do número (a) Determine as relações de inclusão entre estes conjuntos. (Quais destes conjuntos estão contidos em quais?) (b) Defina estes conjuntos por lista.

2 (c) Defina estes conjuntos por propriedade. 4. Considere dados um conjunto universo U, uma propriedade P sobre elementos de U e algoritmos que resolvem os seguintes problemas de decisão: (i) Dados: Dois objetos x e y do conjunto universo U. Questão: x = y? (ii) Dados: Um objeto x do conjunto universo U. Questão: x possui a propriedade P? Escreva algoritmos que resolvam os problemas a seguir. (a) Dados: Dois conjuntos finitos A U e B U definidos por lista. Questão: A B? (b) Dados: Um conjunto finito A U definido por lista e um conjunto B U definido por propriedade. Questão: A B? 5. Considere os conjuntos: Responda e justifique: (a) A B? (b) B A? (c) A = B? (d) C D? (e) D C? (f) C = D? 6. Verdadeiro ou falso? Justifique. A = {x N : x é múltiplo de 4} B = {x N : x é par} C = {x N : x é divisível por 3 e é par} D = {x N : x é divisível por 6} (a) Os divisores de 24 são números pares. (b) Todo múltiplo de 3 é ímpar. (c) A soma de números pares é um número par. (d) A soma de números ímpares é um número par. (e) A soma de um número par com um número ímpar é um número ímpar. 2

3 (f) Para todos a, b, c N, se a divide b e c, então a 2 divide bc. (g) Para todos a, b, c N, se a divide bc, então a divide b e a divide c. 7. Verdadeiro ou falso? Justifique. (a) Se A B e B C, então A C. (b) Se A B e C B, então A C. (c) Se A B, B C e C A, então A = B = C. (d) A B se, e somente se, A B e B A. (e) A B se, e somente se, A B ou A = B. (f) A = B se, e somente se, nem A B nem B A. (g) Se A B, B C, então A C. (h) Se A B e B C, então A C. 8. Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, C = {{1}, {2}} e D = {{1}, {2}, {1, 2}}, determine: (a) A B (b) A B (c) A C (d) B C (e) C D (f) C D (g) (B D) A (h) (A B) D (i) (A B) (C D) 9. Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7}, B = {5, 7, 9} e C = {1, 3, 9}, determine o conjunto X tal que A X = A, B X = B e C X = A B. 10. Determine conjuntos A, B e C que satisfaçam simultaneamente as seguintes condições: A B C = {p, q, r, s, t, u, v, x, z} 3

4 A B = {r, s} B C = {s, x} A C = {s, t} A C = {p, q, r, s, t, u, v, x} A B = {p, q, r, s, t, x, z} 11. Dados os conjuntos A = {1, 5, 7, 8, 9}, B = {1, 8}, C = {1, 5, 8, 9} e D = {1, 7, 9}, determine: (B D) C, (D A) B e (C D) B. 12. Para os conjuntos dados a seguir, temos que A B C? A = {x N : o último algarismo de x é 0} B = {x N : o último algarismo de x é 5} C = {x N : x é múltiplo de 5} 13. Prove que, para todos x, y, z N, se x y ou x z, então x yz. 14. Verdadeiro ou falso? Justifique. Para todos os conjuntos A, B e C, temos: (a) A (A B) = A (b) (A B) C = A (B C) (c) A (B C) = (A B) (C B) (d) A (B C) = (A B) (B C) (e) A B se, e somente se, A B = A. (f) Se A B e A C, então A B C. (g) A B A. (h) A A B. (i) A (B C) (A B) (A C). (j) (A B) (A C) A (B C). (k) A (A B) = A. (l) A (A B) = A. (m) A (B C) = (A B) (A C). 4

5 (n) A (B C) = (A B) (A C). (o) A B se, e somente se, A B ou A = B. (p) se A B, então B A. (q) A A =. (r) A. (s) U A A. (t) A (B C) (A B) C. (u) A (B C) = (A B) (A C). (v) A (B C) = (A B) (C A). (w) A (B C) = (A B) (A C). (x) A B = B A. (y) (A B) C = A (B C). (z) B (B A) = A. 15. Refaça os exercícios anteriores, utilizando provas algébricas e provas por diagramas numerados, quando for adequado. 16. Apresente provas algébricas de que, para todos os conjuntos A, B e C, temos: (a) B A B. (b) A B. (c) A B B. (d) A B A B. (e) A B A B. (f) A B C = (A B) (A C). (g) (A B) B = A B. (h) A B (B C) = A B. (i) Se A B e A C, então A B C. (j) Se A C e B C, então A B C. (k) A B se, e somente se, A B = A. (l) A B se, e somente se, A B = B. (m) A (B C) = (A B) (A C). (n) A (B C) = (A B) (A C). (o) A B A. 5

6 (p) A A =. (q) A = A. (r) A =. (s) (A B) C A (B C). (t) A B = B A se, e somente se, A = B. 17. Prove por indução que, para qualquer natural n: (a) n = n (n + 1)/2. (b) n 2 = n (n + 1) (2n + 1)/6. (c) n = 2 (n+1) 1. (d) n 3 = (n (n + 1)/2) 2. (e) 1/(1 2) + 1/(2 3) + + 1/(n (n + 1)) = n/(n + 1), com n 1. (f) n = (3 n+1 1)/2. (g) n (n + 1) = n (n + 1) (n + 2)/3. (h) n (n + 1) (n + 2) = n (n + 1) (n + 2) (n + 3)/4. (i) n 3 = ( n) 2. (Neste item, você pode usar o resultado do item a). (j) n 3 = n 2 (n + 1) 2 /4, com n 1. (k) n 2 > n + 1, com n 2. (l) 2n + 1 < n 2, com n 3. (m) n 2 < 2 n, com n 5. (Neste item, você pode usar o resultado do item anterior). (n) (n + 1) 2 5n 1, com n 1. (o) n! > n 2, com n 4. (p) n! > 3 n, com n 7. (q) n 2 + n é divisível por 2. (r) n 4 4n 2 é divisível por 3. (s) n 3 n é divisível por 6. (t) 13 n 6 n é divisível por 7, com n 1. (u) 3 2n n+2 é divisível por 7. (v) 2 2n 1 3 n é divisível por 11. (w) 9 n 8n 1 é divisível por 64. 6

7 (x) 4 n + 6n 1 é divisível por 9. (y) 3 divide n 4 4n 2. (z) n (n + 1) (n + 2) é múltiplo de 3, com n > Sejam A = {2n + 2 n N } e B = {2n + 1 n N }. (a) Prove por indução em n que todos os números do conjunto A são pares. (b) Prove por indução em n que todos os números do conjunto B são ímpares. 19. Considere que Q = {p/q : q 0 e p/q é fração irredutível}. Seja f : Q Q uma função tal que ( ) p f = p q. q Prove por indução em n que, para todo n N, temos que f(n) é um número negativo. 20. Dado α R tal que α > 1, prove por indução em n que (Desigualdade de Bernoulli). 21. Prove por indução em n que, n N, α R, α 1. (1 + α) n 1 + nα, n N 1 + α + α 2 + α α n 1 = αn 1 α 1, 22. Prove que todo número natural maior ou igual a 2 pode ser escrito como produto de números primos. 23. Determine o conjunto das partes de cada conjunto a seguir: A = {a, b}, B = {3}, C = {{x}, y, z}, D = e E = { }. 24. Verdadeiro ou falso, justifique. Para A = {, 1, 2, {1}}, temos: (a) { } P (A). (b) {1, {1}} P (A). (c) {1, {1}} P (A). (d) {{ }} P (A). (e) {{ }} P (A). (f) {{, 1}} P (A). 7

8 (g) {, {1}, 2} P (A). (h) {, { }} P (A). (i) {, { }} P (A). 25. Dado o conjunto E = {1, 2, {1, 2}}, determine E P (E). 26. Prove que, para todos os conjuntos A, B e C, temos: (a) P (A). (b) A P (A). (c) P (A B) = P (A) P (B). (d) P (A) P (B) P (A B). 27. Prove que não é verdade que, para todos os conjuntos A e B, temos: (a) P (A B) P (A) P (B). (b) P (A B) = P (A) P (B). 28. Dados A = {1, 2, 5, 7}, B = {1, 3, 4}, C = {2, 3, 9} e D = {1, 3, 7}, determine: (a) (A B) (C D) (b) (A B) (D C) (c) ((B C) D) (A D) 29. Verdadeiro ou falso, justifique. Para todos os conjuntos A, B e C: (a) A (B C) = (A B) (A C) (b) (A B) C = (A C) (B C) (c) A (B C) = (A B) (A C) (d) (A B) (A B) = (A A) (B B) (e) (A B) (A B) = (A B) (B A) (f) A B = B A se, e somente se, A = ou B = ou A = B. (g) A B = se, e somente se, A = ou B =. (h) Se A B, então A C B C e C A C B. (i) Se A e A B A C, então B C. (j) Se A e B A C A, então B C. 30. Prove que, para quaisquer relações R, S, T, T 1 e T 2, temos que: (a) Se R S, então R 1 S 1. 8

9 (b) (R S) 1 = R 1 S 1. (c) (R S) 1 = R 1 S 1. (d) (R S) 1 = R 1 S 1. (e) (R S) 1 = S 1 R 1. (f) Se R T 1 e S T 2, então R S T 1 T 2. (g) (R S) T = R (S T ). (h) R (S T ) = (R S) (R T ). (i) R (S T ) (R S) (R T ). (j) R =. (k) (R S) (R T ) R (S T ). (l) Se A e B são conjuntos, então (A B) 1 = B A. (m) Se A e B são conjuntos, então (A B) (A B) A B. 31. Verdadeiro ou falso? Justifique. Para qualquer conjunto A e quaisquer relações R e S em A, temos que: (a) Se R é simétrica e S é simétrica, então R S é simétrica. (b) Se R é reflexiva, então R S é reflexiva. (c) Se R é reflexiva e S é reflexiva, então R S é reflexiva. (d) Se R é antissimétrica e S é antissimétrica, então R S é anti-simétrica. (e) Se R é antissimétrica e S é antissimétrica, então R S é antissimétrica. (f) Se R é transitiva e S é transitiva, então R S é transitiva. (g) Se R é transitiva e S é transitiva, então R S é transitiva. (h) Se R é simétrica, então R 1 é simétrica. (i) Se R é antissimétrica, então R 1 é antissimétrica. (j) Se R é reflexiva, então R R 1. (k) Se R é simétrica, então R R Refaça os exercícios anteriores, utilizando o cálculo com grafos, quando for adequado. 9