Meu nome: Minha Instituição:

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Armando Tomé Teixeira
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1 Meu nome: Minha Instituição:

2 1. O Teorema Fundamental da Aritmética enuncia que todo número natural maior que 1 ou é primo ou pode ser escrito de forma única, a menos da ordem dos fatores, como produto de potências de números primos. Assim, considere um número natural n, com n > 1. a) Determine o número de divisores naturais de n. b) Determine o número de divisores naturais pares de n. 1

3 c) Determine o número de divisores naturais ímpares de n. d) Sendo y N, encontre o número de divisores naturais pares do número natural n = 2 y y 7, sabendo que o número possui 30 divisores ímpares. TOTAL 2

4 2. Observe a sequência das potências de base 2: 2 0 = 1; 2 1 = 2; 2² = 4; 2³ = 8; 2 4 = 16; 2 5 = 32;. Podemos representar de forma única, a menos da ordem, qualquer número natural como uma potência de base 2 ou como soma de termos dessa sequência. Por exemplo, o número 20 pode ser escrito como 20 = 2² = , já o número 33 pode ser escrito por 33 = = = 33. a) Encontre as somas das potências de base 2 que representam os números 44, 447 e 897. b) Com os dez primeiros termos da sequência das potências de base 2 podemos expressar qualquer número natural de 1 a 1023 como uma potência de base 2 ou como soma de termos dessa sequência. Desse modo, o número 849 pode ser escrito como 849 = , sendo assim, chamamos de número OMI do 849 o número 98640, ou seja, o número formado pelos expoentes da soma das potências de 2 em ordem decrescente. Nessas condições, determine o número OMI de 44, 447 e

5 c) Dos números naturais de 1 a 1023 o número 1 é o que tem o menor número OMI, a saber, o número OMI 0, já o número 1023 possui o maior número OMI, O segundo menor número OMI é o do número 2, o terceiro menor é o do número 4. Já o décimo primeiro número OMI é o do número 3, conforme tabela a seguir. Ordem (posição) Número Natural Número OMI 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 1023º Qual é o 50º número natural na sequência apresentada na tabela? E o 115º? 4

6 d) Qual é a posição do número natural 44 na sequência apresentada na tabela? TOTAL 5

7 3. Miguel adora Matemática e vive brincando com os números. Nas vésperas do Natal, criou uma árvore natalina numérica formada por números binomiais, conforme mostra a figura abaixo a) Determine a soma da árvore natalina, ou seja, a soma de todos os números que constituem a árvore. 6

8 b) Suponha uma árvore que tenha n linhas, mostre que a soma da linha imediatamente superior à base é dada por s(n) = n2 n 2. c) Considere ainda uma árvore com n linhas, mostre que a soma da árvore natalina é dada por S(n) = 2 n 1. TOTAL 7

9 4. Uma sequência numérica está distribuída na primeira fila da pirâmide abaixo. Para determinar o número que está contido em um bloco, basta realizarmos a média aritmética dos dois blocos que servem de apoio para o bloco em questão. nª fileira (n 1)ª fileira (n 2)ª fileira (n 3)ª fileira 4ª fileira 3ª fileira 2ª fileira 127,5 1ª fileira a) Qual é o valor contido no 1º bloco da esquerda na 4ª fileira? 8

10 b) Determine o número contido no bloco do topo da pirâmide. c) Qual é a soma de todos os primeiros blocos da esquerda de cada fileira? TOTAL 9

11 5. A figura abaixo representa uma sequência de quadrados enfileirados horizontalmente da esquerda para direita. O primeiro quadrado ABHI tem lado igual a 1, o segundo BCJK tem lado igual a 2, o terceiro tem lado igual a 3 e assim sucessivamente. a) Encontre as coordenadas dos quatro vértices do centésimo quadrado. 10

12 b) Determine as coordenadas dos quatro vértices do n-ésimo quadrado. c) Calcule a soma das áreas dos cem primeiros quadrados da sequência. 11

13 d) Mostre que a soma das áreas dos n primeiros quadrados da sequência é dada por S(n) = n(n+1)(2n+1). 6 TOTAL 12

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