Emerson Marcos Furtado

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1 Emerson Marcos Furtado Mestre em Métodos Numéricos pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catarina desde Professor do Curso Positivo de Curitiba desde Professor da Universidade Positivo de 2000 a Autor de livros didáticos destinados a concursos públicos nas áreas de matemática, matemática financeira, raciocínio lógico e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pesquisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a Professor sócio do Colégio Positivo de Joinville desde Sócio-diretor da Empresa Teorema Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde Autor de material didático para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 2005 a Professor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocínio lógico, estatística, matemática e matemática financeira. Consultor da Empresa Result Consultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a Consultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômica, qualidade, educacional, industrial e eleições desde Membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde Autor de questões para concursos públicos no estado do Paraná desde 2003.

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3 Termo geral de uma sequência Observe a sequência: Qual é o próximo termo? (1, 3, 5,..., ) A sequência apresentada é a de números ímpares positivos. O próximo termo é igual a 7, em seguida, vem o 9, e assim por diante: (1, 3, 5, 7, 9,..., ) É costume se representar os termos de uma sequência pela letra a provida de um índice que indica a posição do termo na correspondente sequência. Por exemplo, na sequência mostrada anteriormente, podemos escrever: a 1 = 1 o 1.º termo é igual a 1. a 2 = 3 o 2.º termo é igual. = 5 o 3.º termo é igual a 5. a 4 = 7 o 4.º termo é igual a 7. a 5 = 9 o 5.º termo é igual a 9. Como poderíamos descobrir, por exemplo, o décimo termo dessa sequência? Poderíamos continuar escrevendo os números ímpares consecutivamente até atingirmos o 10.º termo. Talvez não seja uma tarefa tão trabalhosa. Mas, e se quiséssemos o centésimo termo, valeria a pena construir a sequência até se obter o centésimo número ímpar positivo? Nessas situações, não compensa escrever tantos números e fazer tantas contas. 107

4 O ideal é se compreender a lei de formação dos termos da sequência. Se a sequência é de números ímpares, um novo número é o anterior adicionado a duas unidades. Assim, começando com o número 1, o termo geral da sequência é dado por: Termo geral da sequência: = 2. n 1 Par = 1 a 1 = = 1 Par = 2 a 2 = = 3 Par = 3 = = 5 Par = 4 a 4 = = 7 O centésimo termo da sequência seria obtido substituindo-se n = 100 na expressão do termo geral: = 2. n 1 Par = 100 a 100 = = 199 Fica claro que para respondermos questões sobre sequências numéricas, tudo fica muito mais fácil quando conhecemos o termo geral da sequência. Existem sequências que têm características importantes e, por isso, ocupam lugar de destaque na Matemática. As principais são a progressão aritmética e a progressão geométrica. Progressão aritmética Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante. Essa constante é denominada razão da PA e será representada pela letra r. Exemplo 1: A sequência (1, 4, 7, 10,...) é uma PA cuja razão é r = 3 (r > 0). 108

5 a 1 = 1 a = = 4 = a = = 7 a 4 = + 3 = = 10 Cada termo é igual ao anterior mais 3. Exemplo 2: A sequência (10, 8, 6, 4,...) é uma PA cuja razão é r = 2 (r < 0). a 1 = 10 a 2 2 = 10 2 = 8 = a 2 2 = 8 2 = 6 a 4 = 2 = 6 2 = 4 Cada termo é igual ao anterior menos 2. Exemplo 3: A sequência (5, 5, 5, 5,...) é uma PA cuja razão é r = 0. a 1 = 5 a = = 5 = a = = 5 a 4 = + 0 = = 5 Cada termo é igual ao anterior. De acordo com a razão, existem três tipos de PA: r > 0 a PA é crescente. r < 0 a PA é decrescente. r = 0 a PA é constante. Exemplo: Vamos verificar se a sequência definida pela fórmula +1 = + 4 e a 1 = 1 é uma Progressão Aritmética. a 1 = 1 +1 =

6 n = 1 a a 2 = = 5 n = 2 a 2+1 = a = = 9 n = 3 +1 = + 4 a 4 = = 13 Cada termo é igual ao anterior adicionado à constante 4. Logo, podemos afirmar que a sequência (1, 5, 9, 13,...) é uma PA. Termo geral da PA Para descobrir um termo qualquer de uma PA, não é necessário escrever todos os termos precedentes para encontrá-lo. Com a fórmula do termo geral, podemos obter qualquer termo de uma sequência conhecendo a sua posição. Considere uma progressão aritmética (a 1, a 2,, a 4,...,,...) de razão r. A partir do segundo, qualquer termo é igual ao anterior adicionado à razão, logo: a 2 + r = a 2 + r a 4 = + r a 5 = a 4 + r = -1 + r Essa última fórmula permite obter um termo qualquer de ordem n em função do termo anterior, de ordem n 1. Para relacionar um termo de ordem n em função do 1.º termo a 1, temos: a 2 + r = a 2 + r = (a 1 + r) + r + 2r a 4 = + r = (a 1 + 2r) + r + 3r a 5 = a 4 + r = (a 1 + 3r) + r + 4r = -1 + r = [a 1 + (n 2).r] + r + (n 1). r 110

7 A fórmula do termo geral da PA é dada por: + (n 1). r Quando conhecemos a fórmula do termo geral, podemos representar qualquer termo de uma sequência em função do primeiro termo e da razão. Exemplos: 8.º termo : n = 8 a 8 + 7r 16.º termo : n = 16 a r 30.º termo : n = r Soma dos termos de uma PA Há uma história curiosa ocorrida em uma pequena escola de uma cidade do interior da Alemanha, no século XVIII, que passou a fazer parte da história do desenvolvimento da Matemática. Um professor de Matemática solicitou aos próprios alunos que somassem os cem primeiros números inteiros positivos. O professor imaginava que os alunos levariam um bom tempo para encontrar a soma dos elementos dessa sequência. Passados alguns instantes, um aluno levanta-se e crava a resposta: O professor, acreditando que se tratava de uma brincadeira, repreende-o e pede para que tentasse realmente fazer as contas. O precoce aluno explica ao professor que a soma é igual a 50 vezes a soma do primeiro com o último termo, ou seja, = Acompanhe um possível raciocínio do aluno: S = reescrevendo em ordem contrária: S = Adicionando membro a membro as igualdades: 2S = ( ) + (2 + 99) + (3 + 98) (99 + 2) + ( ) 111

8 2S = S = S = S = O espantado professor, que nem sequer havia feito a conta, compreende a explicação e parabeniza o aluno pelo raciocínio magistral. Alguns anos depois, inclusive, presenteia-o com um livro sobre cálculos. O humilde aluno, que na época tinha cerca de oito anos, era filho de jardineiros e chamava-se Carl Friedrich Gauss ( ). Anos mais tarde, dedicou-se à Matemática e à Física, desenvolvendo trabalhos nos campos da teoria dos números, geometria diferencial, magnetismo, astronomia, geodésia e ótica. Para muitos é considerado, incontestavelmente, o maior matemático de toda a história, sendo conhecido como o Príncipe dos Matemáticos. O desenvolvimento utilizado por Gauss pode ser generalizado da seguinte maneira: Se (a 1, a 2,,..., -1, ) é uma progressão aritmética, então: + a (I) = a 2 + a 1 (II) Fazendo (I) + (II), temos: 2 = (a 1 + ) + (a ) + ( + -2 ) (-1 + a 2 ) + ( + a 1 ) A soma dos dois termos extremos é igual à soma de dois termos equidistantes dos extremos, de modo que é possível escrever: 2 = (a 1 + ) + (a 1 + ) + (a 1 + ) (a 1 + ) + (a 1 + ) 2 = (a 1 + ). n a = Exemplo 1. n 112 Obtenha a soma dos termos da PA ( 10, 5, 0, 5, 10, 15, 20), formada por sete termos.

9 = a n = a 1 + a S 7 = S 7 = 35 Exemplo 2 Calcule a soma dos 20 primeiros termos da PA (1, 3, 5,...). + (n 1). r a 20 = r a 20 = = S 20 = a a 1 + a n. 20 a 20 = 39 S 20 = S 20 = 400 Progressão geométrica Imagine que você tem duas propostas para um novo emprego. Em uma delas, seu salário inicial será de R$3.500,00, mas sofrerá aumentos anuais de 10% em relação ao salário do ano anterior. Na outra proposta, seu salário inicial será de R$4.000,00 e será aumentado a uma taxa de 8% ao ano, em relação ao ano anterior. Considerando-se apenas o valor do salário ao final do quarto ano, qual é a melhor proposta de emprego? Vamos verificar qual proposta é a mais vantajosa calculando os valores salariais ano a ano, até o quarto ano: 113

10 Salários da proposta 1 Salários da proposta 2 Ano 0: R$3.500,00 Ano 1: R$3.500,00. 1,10 = R$3.850,00 Ano 2: R$3.850,00. 1,10 = R$4.235,00 Ano 3: R$4.235,00. 1,10 = R$4.658,50 Ano 4: R$4.658,50. 1,10 = R$5.124,35 Ano 0: R$4.000,00 Ano 1: R$4.000,00. 1,08 = R$4.320,00 Ano 2: R$4.320,00. 1,08 = R$4.665,60 Ano 3: R$4.665,60. 1,08 = R$5.038,85 Ano 4: R$5.038,85. 1,08 = R$5.441,31 Os valores dos salários de cada proposta aumentam o mesmo percentual em relação ao valor anterior, ou seja, aumentam à uma taxa constante. Por isso, ao longo do tempo, tais valores constituem uma progressão geométrica. Progressão Geométrica (PG) é uma sequência de números ou expressões em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante. Essa constante é denominada razão da PG e será representada pela letra q. Exemplos: Uma PG pode ser classificada em crescente, decrescente, oscilante ou constante. (5, 5, 5, 5,...) PG constante cuja razão é q = 1 (ou uma PA de razão igual a 0). (1, 2, 4, 8,...) PG crescente cuja razão é q = 2. (27, 9, 3, 1,...) PG decrescente cuja razão é q = (1, 3, 9, 27,...) PG oscilante cuja razão é q = Termo geral de uma PG Numa PG, por meio da fórmula do termo geral, é possível encontrar qualquer termo da sequência sem ecessidade de se calcular todos os termos que o precedem. Considere uma progressão geométrica (a 1, a 2,, a 4,...,,...) de razão q. A partir do segundo termo, qualquer outro termo é igual ao anterior multiplicado pela razão, então: 114

11 a 2. q = a 2. q a 4 =. q a 5 = a 4. q = -1. q Essa última fórmula permite obter um termo qualquer de ordem n em função do termo anterior, de ordem n 1. Podemos relacionar um termo qualquer (de ordem n) com o 1.º termo de uma PG. Essa relação pode ser representada do seguinte modo: a 2. q = a 2. q = (a 1. q). q.q 2 a 4 =. q = (a 1. q 2 ). q.q 3 a 5 = a 4. q = (a 1. q 3 ). q.q 4 = -1. q = (a 1. q n 2 ). q. q n 1 Assim, podemos escrever:. q n 1 Conhecendo a fórmula do termo geral, podemos representar qualquer termo de uma PG em função do primeiro termo e da razão. Observe alguns exemplos: 7.º termo: n = 7 a 7. q 6 13.º termo: n = 13 a 13. q º termo: n = 48 a 48. q 47 Soma dos termos de uma PG finita Considere a PG finita cuja razão é q = 5, formada pelos seis seguintes números: 115

12 (8, 40, 200, 1 000, 5 000, ) Representando por S 6 a soma dos seis primeiros termos dessa PG, podemos escrever: S 6 = Efetuando as adições necessárias, obtemos o valor da soma correspondente: S 6 = Entretanto, em vez de calcularmos o valor da soma adicionando termo a termo, é possível obtê-la por meio de um procedimento simples. Retornando à soma, observe: S 6 = (I) Multiplicando a equação (I), membro a membro, pela razão q = 5, obtemos: 5. S 6 = Como os termos estão em PG, o produto de um termo qualquer pela razão resulto termo posterior, ou seja: 5. S 6 = (II) Subtraindo uma equação da outra, isto é, fazendo (II) (I), obtemos: 5. S 6 S 6 = S 6 = S 6 = 4 S 6 = Esse procedimento pode ser utilizado em qualquer PG, observe: Se (a 1, a 2,,..., -1, ) é uma progressão geométrica de razão q 1 e é a soma destes n termos, então: + a (I) Multiplicando membro a membro por q, temos:. q. q + a 2. q +. q q +. q 116

13 . q = a a q (II) Fazendo (II) (I), temos:. q =. q a 1. (q 1) =. q a 1 a = n. q a 1 q 1 Essa última fórmula é utilizada para calcular a soma dos n primeiros termos de uma PG finita em função do primeiro termo, do último termo e da razão da PG. Limite da soma dos termos de uma PG infinita Para encontrar a expressão do valor do limite da soma dos termos de qualquer PG infinita, podemos partir de uma soma finita e considerarmos que o n-ésimo termo tende a zero: =. q a 1 q 1 = 0 S = 0. q a 1 q 1 = a 1 q 1 Multiplicando por 1 o numerador e o denominador da última fração, obtemos: S = a 1 1 q, sendo q < 1 Dica de estudo O estudo das progressões matemáticas inicia-se com o conceito de termo geral. É necessário, antes de qualquer coisa, compreender-se a relação que permite obter qualquer termo de uma sequência. Isso vale para progressões aritméticas e progressões geométricas. A partir daí, as demais fórmulas podem ser desenvolvidas com êxito. Pratique a resolução de muitos exercícios para ganhar agilidade e eficiência nesse assunto. 117

14 Resolução de questões 1. (Cesgranrio) Em uma PA de 41 termos e de razão 9, a soma do termo central com o seu antecedente é igual ao último termo. Então, o termo central é: a) 369 b) 189 c) 201 d) 171 e) (FCC) Dispõe-se de uma caixa com 100 palitos de fósforos, todos inteiros, com os quais pretende-se construir quadrados da seguinte forma: no primeiro, o lado deverá medir 1 palito; no segundo, 2 palitos; no terceiro, 3 palitos, e assim sucessivamente. Seguindo esse padrão, ao construir-se o maior número possível de quadrados a) serão usados exatamente 92 palitos da caixa. b) sobrarão 8 palitos da caixa. c) serão usados todos os palitos da caixa. d) sobrarão 16 palitos da caixa. e) serão usados exatamente 96 palitos da caixa. 3. (FCC) Os termos da sucessão seguinte foram obtidos considerando uma lei de formação. (0, 1, 3, 4, 12, 13,...) Segundo essa lei, o décimo terceiro termo dessa sequência é um número: a) menor que 200. b) compreendido entre 200 e 400. c) compreendido entre 500 e 700. d) compreendido entre 700 e e) maior que

15 4. (Cesgranrio) Uma sequência de números (a 1, a 2,,..., ) é tal que a soma dos n primeiros termos é dada pela expressão = 3n 2 + n. O valor do 51.º termo é: a) 300 b) 301 c) 302 d) 303 e) (Cesgranrio) Quantos números múltiplos de 7 ou de 11 há entre 1 e 1 000? a) 90 b) 142 c) 220 d) 229 e) (FGV) A sequência (3m; m + 1; 5) é uma PA. Sua razão é: a) 3 b) 3 c) 7 d) 7 e) impossível de se determinar. 7. (Cesgranrio) Se S 3 = 0 e S 4 = 6 são, respectivamente, as somas dos três e quatro primeiros termos de uma progressão aritmética, então a soma S 5 dos cinco primeiros termos vale: a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e)

16 8. (Esaf) Uma progressão aritmética é uma sequência de números a 1, a 2,,...,, cuja lei de formação de cada um dos termos dessa sequência é dada por uma soma, conforme representação a seguir: a 2 + r, = a 2 + r, a 4 = + r,... = 1 + r, onde r é uma constante, denominada razão da progressão aritmética. Uma progressão geométrica é uma sequência de números g 1, g 2, g 3,..., g n, cuja lei de formação de cada um dos termos dessa sequência é dada por um produto, conforme representação a seguir: g 2 = g 1. q, g 3 = g 2. q, g 4 = g 3. q,...g n = g n 1. q, onde q é uma constante, denominada razão da progressão geométrica. Os números A, B e 10 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Os números 1, A e B formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. Com essas informações, pode-se afirmar que um possível valor para o produto entre r e q é igual a: a) 12 b) 15 c) 10 d) 12 e) 8 9. (FCC) Considere todos os números inteiros dispostos sucessivamente, em linhas e colunas, da forma como é mostrado a seguir. 1.ª coluna 2.ª coluna 3.ª coluna 4.ª coluna 5.ª coluna 6.ª coluna 7.ª coluna 1.ª linha ª linha Se fosse possível completar essa tabela, então, na terceira coluna e na tricentésima quadragésima sexta linha apareceria o número: a) b)

17 c) d) e) (FCC) Se a é um número inteiro positivo, define-se uma operação & como a & = 3a 2. Considere a sequência (a 1, a 2,,...,,...) cujo termo geral é = (n & ) &, para todo n = 1, 2, 3,.... A soma do terceiro e quinto termos dessa sequência é igual a: a) 42 b) 46 c) 48 d) 52 e) 56 Referências ASIMOV, Isaac. Antologia Volume 1 ( ). 2. ed. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, Antologia Volume 2 ( ). 2. ed. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., DANTE, Luiz Roberto. Matemática contexto e aplicações. São Paulo: Ática, v. 1. Edição reformulada. EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, GAERTNER, Rosinete (Org.). Tópicos de Matemática para o Ensino Médio. Blumenau: FURB. (Coleção Aritthmos 2.) GARBI, G. Gilberto. O Romance das Equações Algébricas. São Paulo: Makron Books,

18 . A Rainha das Ciências um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. São Paulo: Livraria de Física, IEZZI, Gelson et al. Matemática ciência e aplicações. 4. ed. São Paulo: Atual, LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SociedadeBrasileira de Matemática, v. 1, 2 e 3.. Temas e Problemas Elementares. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, v. 1. MORGADO, Augusto C.; CESAR, Benjamin. Matemática Financeira. Rio de Janeiro: Campus, MORGADO, Augusto C. et. al. Progressões e Matemática Financeira. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, Análise Combinatória e Probabilidade. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, Gabarito 1. Se a PA possui 41 termos, o termo central é o vigésimo primeiro e, consequentemente, o seu antecedente é o vigésimo termo. Se a soma do termo central com o seu antecedente é igual ao último, então: a 21 + a 20 = a 41 Vamos escrever tudo em função de a 21, ou seja: a 20 = a r e a 41 = a r 122

19 Logo, substituindo as expressões de a 20 e a 41, temos: a 21 + a 20 = a 41 a 21 + (a r) = (a r) 2a 21 r = a r 2a 21 a 21 = 20r + r a 21 = 21r Substituindo r = 9, temos: a 21 = a 21 = 189 Portanto, o termo central é igual a 189. Resposta: B 2. Qualquer quadrado possui quatro lados iguais. Logo, para a construção de um quadrado cujo lado mede 1 palito são necessários: 4. 1 = 4 palitos Para o quadrado cujo lado mede 2 palitos são necessários: 4. 2 = 8 palitos Para o quadrado cujo lado mede 3 palitos são necessários: 4. 3 = 12 palitos Observe que a quantidade de palitos necessária para a construção de cada quadrado segue uma progressão aritmética cuja razão é igual a 4: (4, 8, 12,...) PA Dispondo-se de 100 palitos, deseja-se descobrir quantos palitos serão efetivamente utilizados para a construção dos quadrados. A quantidade de palitos utilizada é igual à soma dos termos de uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 4 e razão também igual a 4. O termo geral dessa PA é dado por: 123

20 + (n 1). r = 4 + (n 1). 4 = 4 + 4n 4 = 4n A soma dos n primeiros termos dessa PA é dada por: = a n = 4 + 4n 2 = (2 + 2n). n = 2n. (n + 1). n Para que sejam utilizados, no máximo, 100 palitos, deve-se ter < 100, ou seja: 2n. (n + 1) < 100 Dividindo ambos os membros por 2, temos: n. (n + 1) < 50 Já que n é um número inteiro, pois representa a quantidade de quadrados, vamos analisar as possíveis soluções da inequação por verificação: n = 7 7. (7 + 1) = 7. 8 = 56 > 50 Logo, sete quadrados ou mais não podem ser construídos com os 100 palitos. n = 6 6. (6 + 1) = 6. 7 = 42 < 50 Portanto, seis é o número máximo de quadrados que podem ser construídos com os 100 palitos disponíveis. Assim, substituindo-se n = 6 na expressão da soma dos n primeiros termos da PA, temos: 124

21 = 2n. (n + 1) S 6 = (6 + 1) S 6 = S 6 = 84 Como serão utilizados 84 palitos para a construção de seis quadrados, necessariamente sobrarão = 16 palitos na caixa. Resposta: D 3. A sequência é construída de modo que, a partir do primeiro termo, adiciona-se 1 unidade para obter o próximo termo e, em seguida, multiplica-se por 3 para obter o próximo. Ou seja, são apenas duas operações distintas para se construir a sucessão de termos: adicionar 1 unidade e multiplicar por 3. Para encontrar o décimo terceiro termo, não vamos utilizar o termo geral de uma progressão aritmética, nem o termo geral de uma progressão geométrica, pois a sucessão não satisfaz as definições de PA ou PG. Logo, vamos obter os termos progressivamente por meio das duas operações mencionadas: a 1 = 0 a = = 1 = a 2. 3 = 1. 3 = 3 a 4 = + 1 = = 4 a 5 = a 4. 3 = 4. 3 = 12 a 6 = a = = 13 a 7 = a 6. 3 = = 39 a 8 = a = = 40 a 9 = a 8. 3 = = 120 a 10 = a = = 121 a = = 363 a = = 364 a = = >

22 Logo, o décimo terceiro termo da sucessão é maior que Resposta: E 4. Em qualquer sequência, a soma dos 51 primeiros termos é igual à soma dos 50 primeiros termos adicionada ao quinquagésimo primeiro termo, ou seja: S 51 = S 50 + a 51 Assim, o termo a 51 é igual à diferença entre a soma dos 51 primeiros termos e a soma dos 50 primeiros termos: a 51 = S 51 S 50 Se a soma dos n primeiros termos da sequência é dada por = 3n 2 + n, par natural não nulo, então, para se calcular a soma dos 51 primeiros termos, basta substituir n = 51: n = 51 S 51 = E para se calcular a soma dos 50 primeiros termos, basta substituir n = 50: n = 50 S 50 = Logo, temos: a 51 = S 51 S 50 Substituindo as expressões para S 51 e S 50, temos: a 51 = ( ) ( ) a 51 = 3. ( ) + (51 50) Utilizando o produto notável a 2 b 2 = (a + b). (a b), podemos escrever: a 51 = 3. ( ). (51 50) + 1 a 51 = 3. (101). (1) + 1 a 51 = a 51 = 304 Resposta: E 126

23 5. O primeiro múltiplo de 7 entre 1 e é igual a 7, o segundo é 14, o terceiro é 21. Os múltiplos de 7 entre 1 e constituem uma progressão aritmética em que o primeiro termo é igual a 7, cuja razão também é igual a 7. Observe que, ao dividir por 7, obtemos = Logo, não é divisível por 7, pois o resto é igual a 6. Porém, = 994 = , ou seja, 994 é múltiplo de 7 e é também o último múltiplo de 7 menor que Vamos utilizar o termo geral de uma PA para calcular a quantidade de múltiplos de 7 entre 1 e 1 000: + (n 1). r 994 = 7 + (n 1) = 7 + 7n = 7n n = 142 Assim, existem, exatamente, 142 múltiplos de 7 entre 1 e O raciocínio é análogo para os múltiplos de 11, que formam uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 11 cuja razão é igual a 11. O último múltiplo de 11 até é o número 990. Logo, temos: + (n 1). r 990 = 11 + (n 1) = n = 11n n = 90 Logo, existem exatamente 90 múltiplos de 11 entre 1 e Porém, no conjunto dos múltiplos de 7 e no conjunto dos múltiplos de 11 existem múltiplos comuns. Tais números são múltiplos de 77. Assim, é preciso calcular os múltiplos de 77 entre 1 e O primeiro é igual a 77 e o último é igual a 924. Utilizando novamente a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética, temos: 127

24 + (n 1). r 924 = 77 + (n 1) = n = 77n n = 12 Portanto, para se determinar a quantidade de múltiplos de 7 ou 11 entre 1 e 1 000, podemos adicionar a quantidade de múltiplos de 7 à quantidade de múltiplos de 11 e, da soma obtida, subtrair a quantidade de múltiplos de 77, pois essa quantidade já foi contabilizada uma vez entre os múltiplos de 7 e outra vez entre os múltiplos de 11. Assim, temos: = 220 Portanto, existem exatamente 220 números que são múltiplos de 7 ou de 11 entre 1 e Resposta: C 6. Se (a, b, c) formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então: b a = c b De forma análoga, se (3m; m + 1; 5) forma uma PA, então: (m + 1) 3m = 5 (m + 1) m + 1 3m = 5 m 1 1 2m = 4 m 1 4 = 2m m m = 3 Substituindo m = 3 na sequência, temos: ( 9; 2; 5) Logo, a razão é igual à diferença entre dois termos consecutivos, ou seja: r = 5 ( 2) = = 7 Resposta: C 128

25 7. A diferença entre a soma dos quatro primeiros termos e a soma dos três primeiros termos é igual ao quarto termo, ou seja: a 4 = S 4 S 3 a 4 = 6 0 a 4 = 6 Observando que a 2 + r, que = a 2 + r e que a soma dos três primeiros termos é igual a zero, temos: S 3 = 0 a 1 + a 2 + = 0 (a 2 r) + a 2 + (a 2 + r) = 0 3a 2 = 0 a 2 = 0 Além disso, podemos também escrever: a 4 = a 2 + 2r 6 = 0 + 2r r = 3 Por outro lado: a 5 = a 4 + r a 5 = 6 + ( 3) a 5 = 9 Se a soma dos cinco primeiros termos é igual à soma dos quatro primeiros termos mais o quinto termo, então: S 5 = S 4 + a 5 S 5 = 6 + ( 9) S 5 = 15 Resposta: D 129

26 8. Se (A, B, 10) formam, nessa ordem, uma PA, então: B A = 10 B A = 2B 10 (I) Se (1, A, B) formam, nessa ordem, uma PG, então: A 1 = B A A 2 = B (II) Substituindo (I) em (II), temos: (2B 10) 2 = B (2B) B = B 4B 2 40B B = 0 4B 2 41B = 0 B = ( 41) ± ( 41) ± 81 B = 8 B = 41 ± 9 8 B 1 = = B 2 = = 32 8 = 6,25 = 4 Por (I), se B = 6,25, então A = 2,50. Nesse caso, as possíveis sequências são: (2,50; 6,25; 10) PA cuja razão é igual a r = 6,25 2,50 = 3,75 e (1; 2,50; 6,25) PG cuja razão é igual a q = 2,50 / 1 = 2,50 Um valor possível para o produto entre r e q é igual a r. q = 3,75. 2,50 = 9,

27 Por (I), se B = 4, então A = 2. Então: ( 2; 4; 10) PA cuja razão é igual a r = 10 4 = 6 e (1; 2; 4) PG cuja razão é igual a q = 2 / 1 = 2 Um valor possível para o produto entre r e q é igual a: r. q = 6. ( 2) = 12 Portanto, um dos valores possíveis para o produto entre r e q é igual a 12. Resposta: A 9. Observe que os números de qualquer coluna constituem uma progressão aritmética cuja razão é igual a 7, pois a tabela é composta por 7 colunas cujos números são consecutivos. A diferença substancial entre as progressões aritméticas formadas em cada coluna está no primeiro termo da sequência, que é igual a 1 na 1.ª coluna, igual a 2 na 2.ª coluna, igual n.ª coluna e assim sucessivamente, até ser igual a 7 na 7.ª coluna. A progressão aritmética desenvolvid.ª coluna é dada por: (3, 10, 17, 24, 31,...) A numeração da linha fornece a posição do termo na correspondente progressão aritmética, ou seja, o número da 1.ª linha é o 1.º termo da PA, o número da 2.ª linha é igual ao 2.º termo da PA, o número d.ª linha é igual ao 3.º termo da PA, e assim sucessivamente, até o número da tricentésima quadragésima sexta linha (346.ª linha) ser o termo 346.º da PA. Assim, deseja-se encontrar o 346.º termo da progressão aritmética (3, 10, 17, 24, 31,...). Logo: r 46 = = 2418 Resposta: B 131

28 10. Para se encontrar o terceiro termo da sequência basta considerar n = 3 no termo geral: = (n & ) & = (3 & ) & Como a & = 3a 2, temos: = (3. 3 2) & = (7) & = (3. 7 2) = 19 Para se encontrar o quinto termo da sequência, basta considerar n = 5 no termo geral: = (n & ) & a 5 = (5 & ) & Observando que a & = 3a 2, temos: a 5 = (3. 5 2) & a 5 = (13) & a 5 = ( ) a 5 = 37 Portanto: + a 5 = = 56 Resposta: E 132

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