Estrada em obras PROGRESSÃO GEOMÉTRICA CONTEÚDOS

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1 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA CONTEÚDOS Progressão geométrica (PG) Razão de uma PG Progressão geométrica crescente Progressão geométrica decrescente Progressão geométrica oscilante Progressão geométrica constante Progressão geométrica nula Soma dos n termos de uma progressão geométrica AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Identificamos as progressões geométricas (PG) como uma seuência numérica em ue cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o termo anterior por uma constante. Essa constante é identificada como razão Para ue possamos compreender melhor essa seuência, vamos discutir uma determinada situação. Uma construtora está executando as obras em uma determinada estrada. De acordo com o cronograma, na primeira semana serão asfaltados 3 km. Isso porue a primeira parte apresenta um solo ue necessita de um tratamento mais específico para ue possa receber o asfalto. Nas demais semanas, a construtora espera, progressivamente, aumentar a uilometragem de pavimentação asfáltica. Estrada em obras Figura Estrada Fonte: Fundação Bradesco

2 Acompanhe o cronograma de trabalho ue apresenta a uilometragem ue será construída em cada uma das 4 primeiras semanas. ª semana ª semana 3ª semana 4ª semana 3 km 6 km km 4 km Segundo a empresa, ao longo da estrada, há trechos ue serão mais fáceis de trabalhar, por isso, haverá a possibilidade de aumentar a uilometragem de pavimentação. Se a empresa pretende terminar a construção em 6 semanas, considerando o aumento apresentado semanalmente, ual uilometragem será asfaltada na última semana? Observe ue a cada semana a uilometragem dobra em relação a semana anterior. Acompanhando essa crescente, na 5ª semana serão pavimentados 48 km e na última semana serão pavimentados 96 km. Na situação apresentada, podemos verificar ue cada termo, a partir do segundo, é obtido ao multiplicar o termo anterior por. Assim, identificamos nessa seuência uma progressão geométrica. Nessa PG, o número é identificado como razão. Na seuência ue representa a uilometragem construída semanalmente, temos os seguintes valores: 3 km, 6 km, km, 4 km, 48 km, 96 km Ao dividir cada um desses termos pelo termo anterior, encontramos a razão da PG Cada termo de uma PG recebe uma determinada identificação, na seuência apresentada, temos: º termo º termo 3º termo 4º termo 5º termo 6º termo a a a 3 a 4 a 5 a 6 3 km 6 km km 4 km 48 km 96 km

3 No caso da pavimentação asfáltica da estrada, inicialmente eram conhecidos apenas os termos a, a, a 3 e a 4. Para determinar os outros termos, pode-se fazer uso da seguinte expressão: a n = a. n- é a razão da PG Essa expressão é chamada de fórmula do termo geral da PG Utilizaremos essa expressão para calcular o 5º e o 6º termos, da PG discutida. Os uais, inicialmente não eram conhecidos. Vamos calcular primeiramente o termo a 5. a = 3 = n = 5 an = a. (n-) a 5 = 3. (5-) a 5 = 3. 4 a 5 = 3.6 a 5 = 48 Observe ue utilizando a expressão, chegamos no mesmo valor ue foi obtido ao multiplicar o a 4 por. Vamos agora calcular o termo a 6. Novamente temos: a = 3 = n = 6 an = a. (n-) a 6= 3. (6-) a 6= 3. 5 a 6= 3.3 a 6= 96 Uma aplicação muito comum das progressões geométricas, refere-se as situações financeiras. Por exemplo, suponha ue você colocou R$.000,00 na poupança. Considerando ue mensalmente a poupança proporcione um rendimento de %, ual valor terá em conta após 4 meses?

4 Vamos lá, acompanhe o seguinte raciocínio. Valor no º mês: %..000 Figura Dinheiro Fonte: Microsoft Office =.00 Observe ue %.000 é igual a 00% + %. Ou ainda,, % = 00 % = + 0,0 =,0 0, 0 00 Valor no º mês:,0..00 =.00,0 Valor no 3º mês:,0..00,0 =.030,30 O valor inicial de aplicação, junto aos valores mensais, podem representar uma PG. Neste caso, uma PG de razão,0. a a a 3 a 4 a ,0.030,30.040,60 Valor no 4º mês:,0..030,30 =.040,60 Se temos uma PG e conhecemos seu º termo e sua razão, não é necessário ue seja realizado o cálculo mês a mês. Em situações como essa, podemos aplicar a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica. Assim, tem-se: an = a. (n-) a 5 =.000.(,0) (5-) a 5 =.000.(,0) 4 a 5 =.000.,0406 a 5 =.040,60

5 Portanto, após 4 meses haverá na poupança o valor de R$.040,60. Veja ue interpretando a situação como uma PG, foi possível calcular o valor da poupança após 4 meses. Classificação de uma PG A progressão geométrica ue representa a uilometragem asfáltica concluída semanalmente, é uma PG crescente. Além dessa classificação, uma PG pode ser ainda decrescente, constante, oscilante ou nula. Exemplo : ( 3, 6,, 4,...) Observe ue a > 0 e > Exemplo : ( - 3, - 3,...) Vejamos alguns casos PG crescente Cada termo, a partir do segundo, é maior ue o termo anterior. Observe ue a < e 0< < PG decrescente Exemplo : (60, 30, 5,...) Observe ue a > 0 e 0< < Cada termo, a partir do segundo, é Neste caso, a razão será sempre maior menor ue seu anterior. ue zero e menor ue. Exemplo : ( -6, -,- 4,...) Observe ue a < 0 e > PG constante Exemplo : ( 5,5,5,...) Exemplo : ( 0,0,0,...) Neste caso, todos os termos são iguais. Neste caso, dizemos ue a razão é Observe ue =. indeterminada. PG oscilante ( 3, - 6,, - 4,...) Observe ue a 0 e < 0 Termos consecutivos têm sinais opostos. PG nula ( 3,0,0,0,...) Observe ue a 0 e = 0

6 Relações entre os termos de uma PG Em uma PG de três termos, sendo 0, é possível estabelecer a seguinte relação: x,x, x Por exemplo, dada a PG 5,5,45, sabendo ue a razão é igual a 3, temos: 5,5, Essa relação torna-se essencial, uando deseja-se determinar os termos de uma PG, conhecendo o resultado da soma e o produto entre eles, por exemplo: Vamos determinar os três termos de uma PG crescente, sendo 3 a soma deles e 5 o produto. Temos: x x.x.x 5 e x x 3 x³ = 5 x = 5 Lembre-se: x.x.x =x³ e Logo, x.x.x x³ 5 Se x = ² 3 5² Resolvendo a euação do º grau temos: = ou = Considerando = 5 e x = 5, tem-se: x 5 x 5 x 5. 5 / 5 x. = 5. 5 x. =

7 Os três termos formam a PG (5, 5, ). Identificamos uma progressão geométrica decrescente. Portanto, a razão não pode ser. 5 Considerando = 5 e x = 5, tem-se: x 5 x 5 x. = 5.5 x. = 5 Os três termos formam a PG (, 5, 5). Identificamos uma progressão geométrica crescente, portanto é igual a 5. Vejamos mais uma relação existente entre os termos de uma PG: Observe a PG (,6,8) Temos uma PG de apenas três termos, e ao relacioná-los podemos verificar ue: a.a 3 = (a )².8 =6² 36 = 36 Toda seuência de apenas três termos poderá ser classificada como uma PG somente se essa relação for observada. Isto é, sendo o primeiro termo diferente de zero, o produto dos extremos deverá ser igual ao termo médio ao uadrado. Outra relação também observada, refere-se à PG ue apresenta um número ímpar de termos. Acompanhe: (5, 0, 0, 40, 80, 60, 30) 5.30 = 40².600 =.600 Veja ue o produto dos extremos é igual ao uadrado do termo médio. Essa relação ocorrerá em toda PG ue tiver um número ímpar de termos.

8 Soma dos termos Para ue possamos falar da soma dos termos de uma PG, vamos retomar parte do ue discutimos sobre a pavimentação asfáltica da estrada. De acordo com os dados estudados anteriormente, ao longo de seis semanas, ocorreu toda a pavimentação da via. Vimos, ue a cada semana era finalizada a pavimentação de uma certa uilometragem. Considerando todas as semanas de trabalho, uantos uilômetros, no total,foram pavimentados? Para pensarmos sobre esse assunto, é interessante resgatar todo o trabalho realizado. Acompanhe a planilha ue apresenta os dados. ª semana ª semana 3ª semana 4ª semana 5ª semana 6ª semana 3 km 6 km km 4 km 48 km 96 km Para saber o total de uilômetros ue foram asfaltados ao longo dessas 6 semanas, podemos somar todos os termos. Porém, nestes casos, outra maneira de resolver essa PG finita, é fazer uso da seguinte expressão: S n = a.( n ) sendo S n representa a soma dos n primeiros termos da PG. Acompanhe o cálculo: S 6 = 6 3.( ) S 6 = 3.( 64) S 6 = 3.( 63) S 6 = 3.( 63) S 6 = 3.63 S 6 = 89 Portanto, durante as seis semanas foram asfaltados 89 km de estrada. Em uma PG infinita, pode-se fazer uso dessa expressão, para calcular a soma dos n primeiros termos, por exemplo: Dada a PG (,4, 8,6, 3, 64, 8,...) vamos calcular a soma dos seus 7 primeiros termos. S 7 = 7.( ).( 7) S 7 = 54

9 Soma dos termos de uma PG infinita Para realizar o cálculo da soma dos termos de um PG infinita, utilizaremos a seguinte progressão geométrica:, 6, 4 Observe ue a razão é menor ue.,.... Para progressões ue apresentam a razão menor ue e maior ue -, o cálculo da soma de seus termos pode ser realizado por meio da seguinte expressão: S a Acompanhe: S 6 - = S 6 : S = 3 ATIVIDADES. Dada a PG (, 3, 9,...) determine sua razão..após descobrir a razão da PG do exercício, determine o 6º termo 3. Classifiue como crescente, decrescente, constante ou oscilante, cada uma das progressões geométricas a seguir, e determine a razão. a) (, 4, 8, 6,..) b) (-, - 36, - 08,...) c) ( - 45, - 5, - 5,...) d) ( - 3, 6, - 5,..)

10 4.(Saresp 007) Amadeu comprou um notebook e vai pagá-lo em seis prestações crescentes de modo ue a primeira prestação é de R$ 0,00, e cada uma das seguintes é o dobro da anterior. As prestações ue Amadeu vai pagar, constituem os termos de uma progressão a) geométrica de razão 4. b) aritmética de razão 4. c) geométrica de razão. d) aritmética de razão. 5. (UEL 008) Thomas Malthus ( ) assegurava ue, se a população não fosse de algum modo contida, dobraria de 5 em 5 anos, crescendo em progressão geométrica, ao passo ue, dadas as condições médias da terra disponíveis em seu tempo, os meios de subsistência só poderiam aumentar, no máximo, em progressão aritmética A lei de Malthus cita progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG). Se os dois primeiros termos de uma seuência são x = 6 e x =, o uinto termo será a) x 5= 6 se for uma PA e x 5= 4 se for uma PG. b) x 5= 4 se for uma PA e x 5= 96 se for uma PG. c) x 5= 30 se for uma PA e x 5= 30 se for uma PG. d) x 5= 30 se for uma PA e x 5= 96 se for uma PG. e) x 5 = 48 se for uma PA e x 5 = 7 se for uma PG. 6.Em uma rodada de um campeonato de futebol, os pontos obtidos pelos 5 times, ue estão participando, representam uma PG. A menor uantidade de pontos obtidos nessa rodada foi do time Garotos.com, o ual fez apenas pontos. Já o time com a maior pontuação, foi o time Brothers.br, o ual fez 3 pontos. Considerando a PG formada pela pontuação desses times, ual foi a uantidade de pontos do time ue representa o terceiro termo?,...,?,..., 3

11 7.Uma estimativa prevê crescimento anual de 3% na população de uma cidade. Se hoje essa cidade tem habitantes, e supondo ue essa estimativa esteja correta, ual será a uantidade de habitantes daui há 5 anos? Considere (,03) 5 =,6 a) b) c) 5.50 d) INDICAÇÕES Para estudar um pouco mais as progressões geométricas, consulte os links indicados a seguir. Podcast Progressões geométricas Disponível em: pform.aspx?id=0&source=http%3a%f%fwww%eeja%eeducacao%eorg%e br%fbibliotecadigital%fmatematica%fpodcasts%fpaginas%fpodcastem%ea spx Atividade podcast: Progressões geométricas Disponível em: pform.aspx?id=0&source=http%3a%f%fwww%eeja%eeducacao%eorg%e br%fbibliotecadigital%fmatematica%fpodcasts%fpaginas%fpodcastem%ea spx Pensando em Progressão Geométrica Disponível em:

12 REFERÊNCIAS BARRETO FILHO, Benigno. BARRETO, Cláudio Xavier. Matemática aula por aula. São Paulo: FTD, 000. CECIERJ, Fundação. Matemática e suas Tecnologias Módulo III/ Matemática. Rio de Janeiro, 03. Disponível em: < Acesso em: 9 mar h. SARESP 007 Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do estado de São Paulo. SEE/SP. Disponível em:< M%03%C%AA%0s%C3%A9rie/_Manh%C3%A3/Prova-MAT-3EM- Manha.pdf>Acesso em: 8 mar. 06. h. SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio, v. : livro do professor. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 00. p UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA. Coordenadoria de Processos Seletivos. Vestibular, 009. Disponível em:< Acesso em: 30 mar h. GABARITO. Para conhecer a razão, basta dividir um termo ualuer pelo seu anterior. 3 9 = 3 e 3 3 Portanto, a razão é igual a 3.. Sendo a razão igual a 3, temos: an = a. (n-) a 6 =.3 (6-) a 6 =.3 5 a 6 =.43 a 6 = 43 O 6º termo é 43.

13 3. a) A progressão geométrica é crescente. Temos =. b) A progressão é decrescente. Temos = 3 c) A progressão é crescente. Temos = 3 d) A progressão é oscilante. Temos = - 4. A alternativa correta é a letra C. As prestações ue Amadeu vai pagar constituem uma progressão geométrica de razão. 5. A alternativa correta é a letra D. Considerando uma PA, temos: x x = 6 Portanto a razão dessa PA é igual a. x 5= 6 + ( 5-).6 x 5 = x 5 = x 5 = 30 Considerando uma PG, temos: x : x = x 5 = 6. (5-) x 5 = 6. 4 x 5 = 6.6 x 5 = 96

14 6. Em uma PG ímpar, o produto dos extremos é igual ao termo do meio ao uadrado. Identificando o termo desconhecido como x, temos: x² =.3 x² = 64 x = 64 x = 8 A pontuação do time ue representa o terceiro termo foi de 8 pontos. 7. A alternativa correta é a letra D. Para saber a uantidade de habitantes após 5 anos, considerando o crescimento anual de 3%, podemos interpretar ue esse crescimento representa uma PG de razão,03. Acompanhe: a = =,03 n = 6 a 6 = (,03) 6- a 6 = (,03) 5 a 6 = ,6 a 6 = Após 5 anos, a população será de habitantes.