PROGRESSÃO ARITMÉTICA
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- Martín Carlos Capistrano
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1 Hewlett-Packard PROGRESSÃO ARITMÉTICA Aulas 01 a 04 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Ano: 016
2 Sumário Progressão Aritmética... 1 PRELIMINAR Definição de progressão aritmética (P.A)... 1 Exemplo Exemplo... 1 Exemplo Termo geral... 1 Exemplo Exemplo Exemplo 6... Classificação... Exemplo Propriedades da P.A... Exemplo Exemplo Representação especial Soma dos n primeiros termos Questões extras... 4 CAIU NO VEST... 4
3 AULA 01 Como obtivemos resultados constantes e iguais a, temos que a sequência é uma P.A de razão 𝑟 =. Progressão Aritmética Exemplo A sequência (, 3, 4, 6) não é uma P.A, pois sendo 𝑎 𝑎1 = 1 𝑎3 𝑎 = 1 𝑎4 𝑎3 = constata-se que a diferença entre um termo e seu antecessor não é constante. PRELIMINAR 1 Identifique, em cada uma das sequências a seguir, o padrão de sua formação e escreva seus dois próximos termos. I. (, 4, 6,,,... ) II. ( 1, 8, 4,,,... ) III. (, 1, 3,,,... ) Exemplo 3 A progressão aritmética (𝑎𝑛 ) cujo primeiro elemento é 1 e a razão é 4 é dada por 𝑎1 = 1 ; 𝑎 = = 5 ; 𝑎3 = = 9; IV. (1, 1, 1, 1,,, ) Assim, (𝑎𝑛 ) = (1; 5; 9; 13; ). 1 7 Definição de progressão aritmética (P.A) Determinação da P.A Uma progressão aritmética é uma sequência onde cada um dos termos, a partir do segundo, é obtido acrescentando-se um valor fixo (chamado razão) ao seu antecessor. Para determinar uma P.A basta conhecer o primeiro termo e a razão. Caso ela seja finita, também precisamos da quantidade de termos. Termo geral O termo geral de uma P.A é dado por: Assim, 𝑎 = 𝑎1 + 𝑟 ; 𝑎3 = 𝑎 + 𝑟 ; Portanto, de modo geral, 𝑎4 = 𝑎3 + 𝑟 ; 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 1 + 𝑟, 𝑛 ℕ 𝑒 𝑛 Ou mais ainda, a razão da PA é dada pela fórmula 𝑟 = 𝑎𝑛 𝑎𝑛 1, 𝑛 ℕ 𝑒 𝑛 Exemplo 1 Dada a sequência (𝑎𝑛 ) = ( 5, 3, 1, 1, 3, 5, 7), podemos afirmar se a mesma é uma P.A ou não, verificando se a diferença entre cada um de seus termos apresentados e seu antecessor é constante. Veja: 𝑎 𝑎1 = 3 ( 5) = 𝑎3 𝑎 = 1 ( 3) = 𝑎4 𝑎3 = 1 ( 1) = 𝑎5 𝑎4 = 3 (1) = 𝑎6 𝑎5 = 5 (3) = 𝑎7 𝑎6 = 7 (5) = Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 1) 𝑟; 𝑛 ℕ Exemplo 4 Sendo (𝑎𝑛 ) uma P.A cujo termo geral é 𝑎𝑛 = + (𝑛 1) 3, temos que 𝑎1 = ; 𝑎 = + ( 1) 3 = 5 ; 𝑎3 = + (3 1) 3 = 8 ; Então (𝑎𝑛 ) = (, 5, 8, 11, 14,.. ) Obs. 1: Note que o termo geral poderia ter sido apresentado como 𝑎𝑛 = 3𝑛 1. Exemplo 5 Dada a P.A (𝑎𝑛 ) = (4,, 8, 14, ), podemos determinar o seu termo geral 𝑎𝑛 da seguinte forma: 1º) Determine a razão da P.A. 𝑟 = 𝑎 𝑎1 = 4 = 6 Assim, 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 1) 𝑟 𝑎𝑛 = 4 + (𝑛 1) ( 6) 𝒂𝒏 = 𝟔𝒏 + 𝟏𝟎 Página 1
4 AULA 0 Determinação do termo geral Para determinar o termo geral de uma P.A é necessário encontrar a razão (𝒓) e o primeiro termo (𝒂𝟏 ). Lembre-se, 𝒓 = 𝒂𝒏 𝒂𝒏 𝟏, 𝑛 ℕ, 𝑛..1. Escreva o termo geral das seguintes progressões aritméticas: a) (0, 5, 10, 15, 0, ) b) ( 4,, 8, 14, ) Nem sempre 𝒂𝟏 e 𝒓 são dados de forma direta. Utilize as informações dadas na situação-problema para buscar esses parâmetros... Em relação a P.A (5, 44, 36, 8,.. ), determine: a) 𝑎19 b) 𝑎10 + 𝑎5 Exemplo 6 Seja (𝑎𝑛 ) = (1, 𝑎, 5, ) uma P.A, determine o seu décimo termo..3. Uma P.A. possui o 4º termo igual a 4 e o 9º termo igual a 79. Determine os 10 primeiros termos da P.A e classifique-a quanto ao seu crescimento. Vamos começar determinando o seu termo geral, 𝑎3 = 5 𝑎1 + 𝑟 = 𝑟 = 5 𝑟 =.4. Dada uma progressão aritmética (𝑎𝑛 ) tal que 𝑎3 + 𝑎8 = 14 e 𝑎5 = 𝑎 , determine 𝑎7. Assim, o termo geral é 𝑎𝑛 = 1 + (𝑛 1).5. Faça a interpolação aritmética de 6 meios entre 6 e 97. Finalmente, com o termo geral em mãos, podemos determinar 𝑎10 : 𝑎10 = 𝑎1 + 9 𝑟 =1+9 = = 19 Obs.: Perceba que podemos determinar a razão utilizando a fórmula do termo geral, o primeiro termo e algum termo já conhecido. Classificação Uma progressão aritmética pode ser classificada quanto ao seu crescimento, veja como: Como entender o funcionamento da versão generalizada do termo geral de uma PA? DICA DO PROFESSOR PRINCÍPIO DO ELEVADOR Encare os termos da fórmula 𝒂𝒋 = 𝒂𝒊 + (𝒋 𝒊) 𝒓 como: 𝒂𝒊 : morador de um andar 𝒊 (inferior); 𝒂𝒋 : morador de um andar 𝒋 (superior). Desse modo, o expoente (𝒋 𝒊) representa o número de andares que o morador do andar 𝑟 > 0 a P.A é crescente. 𝑟 < 0 a P.A é decrescente. 𝑟 = 0 a P.A é constante. Exemplo 7 (; 6; 10; ) possui razão 𝑟 = 4 > 0, logo é crescente. (,, 6, ) possui razão 𝑟 = 4 < 0, logo é decrescente. (,,, ) possui razão 𝑟 = 0, logo é constante. 𝒊 precisa subir para chegar ao andar 𝒋. AULA 03 Propriedades da P.A i. Se (𝑎, 𝑏, 𝑐) forma uma P.A, então o termo do meio é a média aritmética dos extremos, ou seja 𝑏= 𝑎+𝑐 ii. A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos da P.A. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página TAREFA 1 Resolver os exercícios fundamentais.1. a.5.
5 Exemplo 1 Dada a sequência (𝟒, 𝟖, 𝟏𝟐, 𝟏𝟔, 𝟐𝟎), temos que 𝒂𝟐 e 𝒂𝟒 são equidistante dos extremos, e assim, 𝑎 + 𝑎4 = = 4 = = 𝑎1 + 𝑎5 iii. Se 𝑎𝑚 é o termo médio da progressão aritmética, então 𝑎1 + 𝑎𝑛 𝑎𝑚 = Exemplo Dada a sequência (𝟒, 𝟖, 𝟏𝟐, 𝟏𝟔, 𝟐𝟎), temos que o termo médio 𝒂𝟑 é dado por 𝑎3 = Notação especial A notação especial é outro jeito de descrever a mesma P.A. Note que, quando for pedido a soma dos termos, a notação especial é vantajosa, pois os "𝒓" irão se anular. Veja: 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = (𝒙𝟐 𝒓) + 𝒙𝟐 + (𝒙𝟐 + 𝒓) = 𝟑𝒙𝟐 Note que continuaríamos com duas incógnitas caso tivéssemos optado por definir a P.A sem a notação especial, veja: Se (𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑 ) = (𝒙𝟏, 𝒙𝟏 + 𝒓, 𝒙𝟏 + 𝟐𝒓), então 𝑎1 + 𝑎 = = 1 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟑𝒙𝟏 + 𝟑𝒓 Obs.1: Lembre-se que apenas uma sequência finita com quantidade ímpar de termos, possui termo médio A soma dos três números que compõem uma P.A é 7 e o produto dos extremos é 560. Determine a P.A Dada a P.A (3𝑥 5, 3𝑥 + 1, 5), determine x. Soma dos n primeiros termos 3.. Obtenha o termo 𝑎10 do exercício fundamental.. utilizando a propriedade iii). Seja 𝑺𝒏 a soma dos 𝑛 primeiros termos de uma P.A, ou seja, TAREFA Ler os exercícios resolvidos 1,, 4, 5, 6, 8, 9, 11 e 13 e FAZER os PSA 1(a, b), (b), 3, 5, 8(a, b, c), 9, 16, 18 e. 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎 + 𝑎3 + 𝑎4 + + 𝑎𝑛 1 + 𝑎𝑛 Temos que 𝑆𝑛 = AULA 04 Representação especial 4.. Calcule a soma dos quinze primeiros termos da PA ( 45, 41, 37, 33, ). Em situações que envolvem P.A com poucos termos, podemos utilizar algumas notações especiais. (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) 𝑛 4.3. A soma dos 𝑛 primeiros termos de uma progressão aritmética (𝑎𝑛 ) é dada por 𝑆𝑛 = 𝑛 𝑛, 𝑛 ℕ. Determine Para uma P.A de 3 termos A P.A (𝑥1, 𝑥1 + 𝑟, 𝑥1 + 𝑟), pode ser representada por a) 𝑎1 (𝑥 𝑟, 𝑥, 𝑥 + 𝑟) b) 𝑎𝑛 c) 𝑎 (DESAFIO) Calcule o valor de Ler as representações especiais para uma P.A de 4 termos e 5 termos TAREFA 3 Ler os exercícios resolvidos 19, 0 e 1; e FAZER os PSA 6, 3, 37 e 45. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 3
6 PARA REVISAR Conhecendo avaliações 4, 6, 9, 14, 33, 34, 37, 41 EXTRA Questões extras 1) Em uma progressão aritmética de 41 termos e de razão 9, a soma do termo central com o seu antecedente é igual ao último termo. Então, o termo central é a) 369 b) 189 c) 01 d) 171 e) 180 6) Considere a progressão aritmética (a n ), com n N, dada por (; 6; 10; ). Acerca dessa progressão, julgue os itens a seguir. (A) ( ) Essa progressão aritmética tem razão r = 4. (B) ( ) a 10 = 4 (C) ( ) a 13 + a 17 = a 11 + a 19 (D) ( ) a 16 = a 14+a 0. (E) ( ) A soma dos vinte primeiros termos dessa sequência é igual a ) Considere os números inteiros de 17 a 31. Quantos desses números são múltiplos de 3? (A) 101 (B) 10 (C) 103 (D) 104 (E) 105 ) Interpolando 7 meios aritméticos entre 5 e 9, nesta ordem, tem-se que o quinto termo dessa sequência é a) 14 b) c) 17 d) 0 e) 1 3) Uma sequência (a n ) é gla que a 1 = 8 e a n = a n 1 + 1, n N e n. A soma dos vinte primeiros termos dessa sequência é a) 8 b) 470 c) 360 d) 360 e) 440 CAIU NO VEST 1) (UnB 01) Os recordes na corrida de 100 metros rasos podem ser estimados da seguinte forma: a partir do recorde obtido em 1983, de 9,930 s, o primeiro recorde seria R 1 = 9,930 a 1 ; depois de alguns anos, o segundo recorde seria R = R 1 a ; assim, o n-ésimo recorde, a partir de 1983, seria R n = R n 1 a n, em que a i é uma progressão geométrica de razão q = 0,98 e o primeiro termo a 1 = 0, O segundo recorde a partir de 1983 é inferior a 9,91 s. Considerando-se que, a partir da forma proposta para a estimativa dos recordes, o tempo vai diminuindo ate um limite mínimo, calcule esse limite, em centésimo de segundos. 4) Considere uma progressão aritmética (a n ), n N, na qual a 3 = 7 e a 19 = 5. Determine a 11. 5) A soma S n dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por S n = n 3n, em que n N. Calcule o produto entre o terceiro termo e a razão dessa progressão. ) (ENEM 013) As projeções para a produção de arroz no período de 01 01, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 4
7 ANO Projeção de produção (t) 01 50, , , ,00 A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 01 a 01 será de 3) C 4) A a) 497,5 b) 500,85. c) 50,87 d) 558,75 e) 563,5 3) (UECE) Seja (a 1, a, a 3,, a 8 ) uma progressão aritmética. Se a + a 5 = 8 e a 8 = 7, então a 3 + a 7 é igual a a) 8 b) 8/3 c) 10 d) 3/3 4) (ITA 01) Sabe-se que (x + y, 3x 5y, 8x y, 11x 7y + z) é uma progressão aritmética com o último termo igual a 17. Então, o produto xyz é igual a a) -60 b) -30 c) 0 d) 30 e) 60 GABARITO: FUNDAMENTAIS.1. a) a 5n 5 b) a 6n 10 n.. a) 9 b) , 14, 19, 4, 9, 34, 39, 44, 49, , 67, 7, 77, 8, 87, 9, , 4, 8 ou 8, 4, a) a 1 1 b) a n 3 c) a n n QUESTÕES EXTRAS 1) B ) C 3) E 4) 9 5) 8 6) EECCE 7) B CAIU NO VEST 1) E 948 ) D Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 5
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