Hewlett-Packard FUNÇÃO EXPONENCIAL. Aulas 01 a 06. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

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1 Hewlett-Packard FUNÇÃO EXPONENCIAL Aulas 0 a 06 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

2 Sumário Equação Exponencial... Equação Exponencial... Exemplo... Método da redução à base comum... Exemplo Equação Exponencial... Resolução por artifícios... º artifício o primeiro artifício consiste em colocarmos o termo comum, com incógnita, em evidência.... Exemplo... Exemplo O CONCEITO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL... EXERCÍCIO FUNDAMENTAL... O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL... 3 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL... 4 Gráficos com Translação... 4 Gráficos com reflexão... 4 CASO GERAL Conjunto-Imagem PROBLEMAS INEQUAÇÃO EXPONENCIAL... 6 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL... 7 CAIU NO VEST... 7 Questões extras... 7 GABARITO CAIU NO VEST... 9 QUESTÕES EXTRAS... 9

3 AULA 0 Obs.: Com o presente conhecimento, nem sempre conseguimos igualar as bases. Equação Exponencial Equação Exponencial Uma equação exponencial é aquela cuja incógnita aparece no expoente. Exemplo 𝑥 = 4 𝑥 ( 3) = 9 𝑥 + 𝜋 = 3 5𝑥 = 7.. Resolva, em ℝ, as equações: a) 𝑥 = 8 b) c) d) e) ( ) = 8 3𝑥 = 5𝑥 = 0,04 𝑥+ 4(3𝑥+) = 8𝑥 3 𝑥 f) 3𝑥 +𝑥 DESAFIO: Resolva a equação exponencial Avaliando a primeira equação do exemplo acima, observamos que 𝑥 = 4 𝑥 = 𝑥 = Assim, vemos que é possível resolvermos essas equações. No entanto, veremos a seguir que há técnicas de resolução distintas para cada tipo de equação exponencial. Método da redução à base comum Um dos métodos para resolver equações exponenciais consiste em reduzir, quando possível, ambos os membros da igualdade a uma mesma base e utilizar a seguinte propriedade: 3𝑥 + 3 𝑥 = 3𝑥 3 𝑥 Obs.: Lembre-se que 𝑎0 =, 𝑎 ℝ. Fração No estudo de equações exponenciais, evitaremos utilizar números na forma decimal. Transforme-os em fração, pois o processo de igualar as bases fica mais fácil nessa forma. TAREFA PSA,, 4, 6, 7 e 8. AULA 0 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑦 𝑥 = 𝑦 (𝑎 ℝ + 𝑒 𝑎 ) Equação Exponencial Exemplo 𝑥 (3) =9 = 43 (3 )𝑥 =3 3 𝑥 = 3 𝑥 = Base comum Lembre-se que a propriedade apresentada se aplica apenas aos casos nos quais se é possível reduzir a equação a uma igualdade com apenas duas potências de mesma base, uma de cada lado da igualdade. Note que, no caso a seguir, 𝑥 + = não é possível se fazer tal redução. Uma boa ferramenta para igualar as bases dos membros da equação é fatorar os números em divisores primos. Utilize também as propriedades relacionadas às potências. Resolução por artifícios Nem sempre o processo de igualar as bases é feito de forma direta. Quando houver somas na base da potência, pode-se tornar necessário aplicar um artifício. º artifício o primeiro artifício consiste em colocarmos o termo comum, com incógnita, em evidência. Exemplo 𝑥+ 3 𝑥 = 0 Para utilizar o primeiro artifício, faça o seguinte passoa-passo: Página

4 º) Identifique quem é o termo comum e faça-o aparecer livre em cada parcela. 𝑥+ 3 𝑥 = 0 𝑥 3 𝑥 = 𝑥 𝑥 = 0 º) Coloque o termo comum em evidência. 3 𝑥 (4 ) = 0 3º) Isole o termo com incógnita e iguale as bases. Determine o resultado utilizando a propriedade. 𝑥 = 8 𝑥=3 Obs.3: Utilize o primeiro artifício quando a equação dada apresentar todas as incógnitas como expoentes de números que podem ser reduzidos a uma mesma base. Em geral, há somas e subtrações nos expoentes. º artifício o segundo artifício consiste na criação, e substituição, de uma variável auxiliar. Exemplo 4𝑥 𝑥 = Para utilizar o segundo artifício, faça o seguinte passoa-passo: º) Identifique quem é o termo comum (por vezes fazse necessário fatorar alguma(s) base(s)) e faça ele aparecer livre em cada parcela. 4𝑥 𝑥 = (𝑥 ) 𝑥 = º) Crie uma variável auxiliar e faça a substituição (𝑦 = 𝑎 𝑥 ). Tomando 𝑦 = 𝑥, temos que 𝑦 𝑦 = 0 3º) Resolva a equação na nova incógnita. 𝑦 = 4 ou 𝑦 = 3 4º) Retorne à variável original e determine seu valor. 𝑥 = 𝑦 𝑥 =4 𝑜𝑢 𝑥 = 3 𝑥= Obs.4: Lembre-se que 𝑎 𝑥 é sempre positivo, se 𝑎 > 0. Obs.5: Utilize o segundo artifício quando, no processo para evidenciar a base comum, aparecer potências da mesma base em diferentes graus e com somas entre elas... Resolva, em ℝ, as seguintes equações. a) 5𝑥+3 5𝑥+ 5𝑥 = 89 b) 5𝑥 3 5𝑥 = 50 TAREFA PSA 0,, 3 e 6. AULA 03 O CONCEITO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL Uma função 𝑓: ℝ ℝ + é denominada função exponencial de base a se sua lei, 𝑓(𝑥), puder ser escrita como 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥, com 𝑎 ℝ + e 𝑎. Exemplos: 𝑥 ) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 ) 𝑦 = ℎ(𝑥) = 3 𝑥 3) 𝑦 = 𝑔(𝑥) = () EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 3.. Identifique quais funções a seguir são exemplos de função exponencial. a) 𝑓: ℝ ℝ ; 𝑓(𝑥) = 7𝑥 b) 𝑔: ℝ ℝ ; 𝑔(𝑥) = (𝑥)𝑥 c) ℎ: ℝ ℝ ; ℎ(𝑥) = (𝑥 ) 𝑥 d) 𝑖: ℝ ℝ ; 𝑖(𝑥) = e) 𝑗: ℝ ℝ ; 𝑗(𝑥) = 𝑥+ 𝑥 𝑥 𝑥+ 𝑥 Dada a função 𝑓: ℝ ℝ; 𝑓(𝑥) = 𝑥, determine a) 𝑓() Página

5 b) 𝑓( ) c) 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = 8 d) 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = 4 O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL Vamos começar o estudo do gráfico de uma função exponencial por meio de dois exemplos: Exemplo Gráfico de 𝒇: ℝ ℝ 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙. Para construir o gráfico de f escolhemos alguns valores para x e, em seguida, descobrimos os valores de 𝑦 = 𝑓(𝑥) correspondentes. Veja os pares ordenados obtidos, na tabela a seguir. (𝑥; 𝑦) x 𝑦 = 𝑓(𝑥) 0,5 𝐴( ; 0,5) 0,5 𝐵( ; 0,5) 0 𝐶(0; ) 𝐷(; ) 4 𝐸(; 4) 3 8 𝐹(3; 8) Exemplo 𝟏 𝒙 𝟐 Gráfico de 𝒈: ℝ ℝ, 𝒄𝒐𝒎 𝒈(𝒙) = ( ). Para construir o gráfico de g escolhemos alguns valores para x e, em seguida, descobrimos os valores de 𝑦 = 𝑔(𝑥) correspondentes. Veja os pares ordenados obtidos, na tabela a seguir. (𝑥; 𝑦) x 𝑦 = 𝑔(𝑥) 0,5 𝐴(; 0,5) 0,5 𝐵(; 0,5) 0 𝐶(0; ) 𝐷( ; ) 4 𝐸( ; 4) 3 8 𝐹( 3; 8) Marcando os pontos da última coluna da tabela em um plano cartesiano, pudemos construir o seguinte gráfico: Marcando os pontos da última coluna da tabela em um plano cartesiano, podemos construir o seguinte gráfico: De um modo geral, o gráfico de uma função exponencial f, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥, com 𝑎 ℝ + e 𝑎, apresentará algumas características. São elas: 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 𝟎<𝑎< 𝒂> Decrescente Crescente Passa pelo ponto (0, ) Passa pelo ponto (0, ) Acima do eixo das Acima do eixo das abscissas abscissas. Obs.: Repare que 𝑥 > 0, para todo 𝑥 ℝ. Por isso, o gráfico de f nunca irá tocar o eixo das abscissas, por mais que ele se aproxime deste. Quando isso ocorre com uma curva, dizemos que ela é assíntótica ao eixo das abscissas. I. Todo o gráfico estará contido acima do eixo das abscissas, pois, sendo 𝑎 > 0, temos 𝑎 𝑥 > 0, para todo 𝑥 ℝ. Página 3

6 II. III. O gráfico sempre passa pelo ponto (0, ), pois 𝑎0 = para todo 𝑥 ℝ +. Se 𝒂 >, então o gráfico será crescente e se 𝟎 < 𝑎 <, então o gráfico será decrescente. EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 3.3. Construa, em um sistema de eixos perpendiculares 𝑥𝑂𝑦, o gráfico de cada função exponencial a seguir. De um modo geral, o gráfico de uma função 𝑓: ℝ ℝ ; 𝑓(𝑥) = 𝐵 + 𝑎 𝑥, com 𝑎 ℝ + e 𝑎, será a translação do gráfico da função 𝑔(𝑥) = 𝑎 𝑥 em: B unidades para cima, se 𝑩 > 0, 𝑩 unidades para baixo, se 𝑩 < 0. Nesses casos, a curva da função f será assintótica à reta 𝒚 = 𝑩. Veja exemplo abaixo (𝑩 > 0). a) 𝑓: ℝ ℝ + ; 𝑓(𝑥) = 3𝑥 𝑥 b) 𝑔: ℝ ℝ + ; 𝑔(𝑥) = (3) TAREFA 3 Ler p. de a 5 e fazer os PSA 4 e 5 (Cap. 3). AULA 04 Gráficos com Translação Obs.: Para auxiliar nos estudos dessa parte, você deve fazer o download do app "geogebra". Ele é um aplicativo gratuito. Como construir um gráfico no geogebra? Para construir um gráfico no geogebra siga os seguintes passos:. Clique no "campo de entrada". Comece a escrita da função sempre com "y=" 3. Depois do igual digite a função desejada, lembrando que para escrever potência usa-se o símbolo "^". (por exemplo, para escrever 𝑥 3 escreve-se x^3) Gráficos com reflexão Construa, com o auxílio do geogebra, os gráficos das funções a seguir. a) 𝑓: ℝ ℝ ; 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 b) 𝑔: ℝ ℝ ; 𝑔(𝑥) = ( 3) 𝑥 Observe que o gráfico da função 𝑔 é o gráfico de 𝑓 refletido pelo eixo 𝑥. De um modo geral, o gráfico de uma função 𝑓: ℝ ℝ ; 𝑓(𝑥) = 𝐶 𝑎 𝑥, com 𝑎 ℝ + e 𝑎, com 𝑪 < 0, será a reflexão pelo eixo x do gráfico da função 𝑔(𝑥) = 𝐶 𝑎 𝑥. Veja o exemplo abaixo. Construa, com o auxílio do geogebra, os gráficos das funções a seguir. a) 𝑓: ℝ ℝ ; 𝑓(𝑥) = 𝑥 b) 𝑔: ℝ ℝ ; 𝑔(𝑥) = 3 + 𝑥 c) ℎ: ℝ ℝ ; ℎ(𝑥) = + 𝑥 Observe que o gráfico da função 𝑔 é o gráfico de 𝑓 transladado três unidades para cima e que o gráfico de ℎ é o gráfico de 𝑓 transladado uma unidade para baixo. Página 4

7 Obs.: Com 𝐶 > 0 a curvatura do gráfico irá se alterar, porém ele não será refletido. CASO GERAL Considere a função 𝑓: ℝ ℝ; 𝑓(𝑥) = 𝐵 + 𝐶𝑎𝑘𝑥, em que 𝑎, 𝐵 e 𝐶 são constantes reais, 𝑎 > 0 e 𝑎. Essa função pode ser considerada como um caso geral para funções que envolvem exponencial. O gráfico dessa função é gerado por translações e reflexões do gráfico da função 𝑔(𝑥) = 𝑎 𝑥. 4.. Utilizando translação e reflexão esboce o gráfico das funções: a) 𝑓: ℝ ℝ; 𝑓(𝑥) = + 3 𝑥 b) 𝑓: ℝ ℝ; 𝑓(𝑥) = + 𝑥 c) 𝑓: ℝ ℝ; 𝑓(𝑥) = 𝑥 Fórmula geral e gráfico Observe que a fórmula geral da função exponencial altera o gráfico da seguinte maneira: 𝑓(𝑥) = 𝐵 + 𝐶 𝑎𝑘𝑥 REFLEXÃO TRANSLAÇÃO Resumidamente: 𝐶 > 0, não reflete. 𝐶 < 0, reflete (assíntota ). 𝐵 > 0, tranlada 𝐵 unidades para cima. 𝐵 < 0, translada 𝐵 unidades para baixo. Conjunto-Imagem O conjunto-imagem da função exponencial 𝑓: ℝ ℝ; 𝑓(𝑥) = 𝐵 + 𝐶 𝑎𝑘𝑥 é limitado pelo valor assintótico da função, ou seja, se a função tem como assíntota a reta 𝒚 = 𝑩, então seu conjunto imagem é 𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ℝ 𝑦 > 𝐵} 𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ℝ 𝑦 < 𝐵} Para determinar em qual dos dois casos está a situação, basta observar se o gráfico está ou não refletido. 4.. Determine o conjunto-imagem das funções: a) 𝑓: ℝ ℝ; 𝑓(𝑥) = + 3 𝑥 b) 𝑓: ℝ ℝ; 𝑓(𝑥) = + 𝑥 c) 𝑓: ℝ ℝ; 𝑓(𝑥) = 𝑥 4.3. Seja a função 𝑓: ℝ ℝ, em que 𝑓(𝑥) = 𝑎 + 𝑏 5𝑥, com 𝑎 e 𝑏 constantes reais. Sabendo que o conjunto-imagem da função 𝑓 é dado por 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ℝ 𝑦 > 3} e que 𝑓() = 53 é correto afirmar que a) 𝑎 + 𝑏 = 4 b) 𝑎 + 𝑏 = 5 c) 𝑎 𝑏 = d) 𝑎 𝑏 = 0 e) 𝑎 𝑏 = 4 TAREFA 4 Ler páginas 6 e de a 5. AULA 05 PROBLEMAS Considere o caso geral da função exponencial 𝑓: ℝ ℝ; 𝑓(𝑥) = 𝐵 + 𝐶𝑎𝑘𝑥. Encontraremos vários problemas que envolvem funções desse tipo para descobrirmos os valores de B, C e k. 5.. Um produto tem seu valor dado pela função 𝑃(𝑥) = 500 𝑘𝑥, em que x é o tempo em anos contados a partir de 003 (𝑥 = 0), e 𝑃(𝑥) é dado em reais. Dado que em 005 esse produto valia 000 reais, calcule o que se pede nos itens abaixo. a) O valor do produto em 003. b) O valor do produto em 007. c) O ano em que o produto valerá 3000 reais. Ou Página 5

8 Determinação das constantes Em grande parte dos problemas que envolvem função exponencial é solicitado (ou é necessário) que se encontre os valores das constantes. Um dos principais métodos para se determinar constantes é substituir valores numéricos. Estes podem ser encontrados No enunciado Em gráficos Em tabelas Lembre-se que valores numéricos são objetos do tipo 𝑓() = 3, por exemplo. 5.. Para um refrigerador fechado, a sua temperatura interna segue a lei 𝜃(𝑡) = 𝑘 (0,8)𝑡, em que 𝑡 é o tempo em minutos, 𝜃 é a temperatura em graus Celsius ( 𝐶) e k é uma constante real. Se após minuto, a temperatura interna é de 0 𝐶, a temperatura interna após 3 minutos será de A) 8 𝐶. B),8 𝐶. C),8 𝐶. D) 0,4 𝐶. E) 0,4 𝐶 Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água, em litros, de certo reservatório é dada pela função 𝑞(𝑡) = 𝑞0 𝑏 𝑘𝑡, em que 𝑏 e 𝑘 são constantes positivas, 𝑞(𝑡) é a quantidade de água após t semanas e 𝑞0 é a quantidade inicial de água. Sabe-se que 𝑞0 gramas dessa substância foram reduzidas a 40% em 0 semanas. A que porcentagem de 𝑞0 ficara reduzida a quantidade de água após 30 semanas: A) B) C) D) E) 5.4. Em um experimento com uma colônia de bactérias, observou-se que havia bactérias vinte minutos após o início do experimento e, dez minutos mais tarde, havia bactérias. Suponha que a população da colônia cresce exponencialmente, de acordo com a função 𝑃(𝑡) = 𝑃0 𝑒 𝑘𝑡, em que 𝑃0 é a população inicial, 𝑘 é uma constante positiva e 𝑃(𝑡) é a população t minutos após o início do experimento. Calcule o valor de 𝑃0 /00, desprezando a parte fracionária de seu resultado, caso exista. Obs.3: A constante 𝑒 é um número irracional também conhecido como número de Euler. TAREFA 5 PSA 6 a 0 (Cap. 3) AULA 06 INEQUAÇÃO EXPONENCIAL Antes de entrarmos no estudo de inequações exponenciais vamos fazer uma análise que é válida para qualquer função. Considere uma função 𝑓: 𝐴 𝐵. Vamos avaliar o seu comportamento quanto ao crescimento/decrescimento Se f é crescente em todo seu domínio, então para dois valores, 𝑥 e 𝑥, pertencentes a 𝐴, temos que 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 𝒇(𝒙𝟏 ) < 𝑓(𝒙𝟐 ),6% 0% 6% 0% 6,4% Obs.: Nem sempre é possível determinar todas as constantes que aparecem na situação. Página 6

9 Se f é decrescente em todo seu domínio, então para dois valores, 𝑥 e 𝑥, pertencentes a A, temos que 𝒙𝟐 < 𝒙𝟏 𝒇(𝒙𝟐 ) > 𝑓(𝒙𝟏 ) Como resolver inequações exponenciais O seguinte passo-a-passo facilita a resolução de inequações exponenciais: º) Reduza ambos os membros a uma base comum º) Avalie o valor da base (maior ou menor que 𝟏) 3º) Aplique a respectiva definição feita acima. Note que para reduzir ambos os membros a uma base comum, pode ser necessário fazer uso dos artifícios. EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 6.. Resolva, em ℝ, as inequações a seguir. No estudo das funções exponenciais dividimos as funções em dois casos de acordo com sua base real a. 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 𝟎<𝑎< Decrescente 𝒂> Crescente a) 𝑥 > 8 b) 9𝑥 < 7 c) 0,𝑥 < 5 d) 3 7𝑥 > 47 e) 𝑥+ 𝑥+ + 𝑥 > 96 f) 3𝑥 0 3𝑥 > 9 TAREFA 6 Ler páginas de a 4 e fazer os PSA a 5, 9, 3 e 7. DESAFIO: 7, 8 e Assim podemos concluir que Se 𝒂 >, então 𝒂𝒙𝟏 < 𝒂𝒙𝟐 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 Se 𝟎 < 𝑎 <, então EXTRA CAIU NO VEST. (ITA 03) A soma de todos os números reais x que satisfazem a equação 8 𝑥 𝑥 = 9 4 𝑥+. É igual a: 𝒂𝒙𝟏 < 𝒂𝒙𝟐 𝒙𝟏 > 𝒙𝟐 a) 8. b). c) 6. d) 8. e) 0. Questões extras ) A soma das raízes da equação 0𝑥 = 𝑥 0 6 é igual a (A). (B). (C) 3. (D) 4. (E) 5. Página 7

10 ) A raiz real da equação 3 x + 3 x+ + 3 x = 35 é (A) Um divisor de 3. (B) Um múltiplo de. (C) O inverso de 3. (D) Igual a 5. (E) Um número primo maior do que 3. 3) Se a equação 5 x +5 6 = 5 x+ admite como soluções os números reais a e b, então a b pode ser igual a (A). (B) 3. (C) 6. (D) 8. (E) 9. 4) O conjunto-solução, em R, da equação 5 x = 0,04, é igual a a) {}. b) { }. c) {5}. d) { 5}. e). 5) O conjunto-solução, em R, da equação x = + x, possui (A) Dois números reais opostos. (B) Dois números reais cuja soma é igual a um. (C) Um único número real cujo valor é maior que dois. (D) Um único número real cujo valor é igual a dois. (E) Um número negativo. 6) Em uma experiência observou-se que uma substância se desintegra com o passar dos anos. Sua massa M, existente após k anos do início da experiência, é dada por M = M 0 (,5) 000, em que M 0 representa uma massa inicial. Decorridos 000 anos após o início da experiência, a porcentagem de massa existente, em relação à quantidade M 0 é igual a (A) 0%. (B) 30%. (C) 40%. (D) 50%. (E) 60%. 7) A massa de uma população de bactérias, ao final de t minutos, é dada pela lei f(t) = C 4 kt. Sabendo que ao final de minuto a massa dessa população era 64 e que ao final de 3 minutos a massa dessa mesma população era 56, calcule a k massa dessa população de bactérias ao final de 90 segundos. 8) O gráfico a seguir é uma representação cartesiana do gráfico da função f: R R, em que f(x) = b + a x, com a, b R e a > 0. Dado que é raiz de f e a reta y = é uma assíntota de f, o valor de a + b é igual a (A) -. (B) -. (C) 0. (D). (E). 9) Resolva as seguintes equações exponenciais: a) 4x+ 8 x+3 = 6 b) ( 5 )3x : 5 +x = 5 c) ( 0) x (0,0) 4x = 000 0) Resolva os seguintes sistemas: a) { ( )x+y = 8 ( 3 ) = 3x+y b) { 00x 0 y = 0 0, x 0,0 y = 0,0 ) Resolva as seguintes equações a) 5 x+3 5 x+ 5 x = 89 b) 4 x+ + 4 x+ 4 x 4 x = 35 c) x + x+ + x+ + x+3 = 5 d) 00 x = 9 (0 x + ) e) 4 x 33 x + 8 = 0 Página 8

11 GABARITO.. a) S 7 b) S c) S 0 d) S 6 e) 6 S 5.. a) S 0 b) S 3.. a, e f) S 6; a) 4 b) 4 c) 3 d) Não existe 4.. Gráficos 4.. a), b), c), 4.3. B 5.. a) 500 b) 000 c) C 5.3. E b) S x x 6.. a) S x x 3 c) S x x d) S x x 3 e) S x x 5 f) S x x 0 ou x CAIU NO VEST. D QUESTÕES EXTRAS. E. B 3. A 4. B 5. D 6. C C 9. a)-4 b) - c) 3 0. a) (; ) b) (0; ). a) 0 b) c) - d) e) 3; - Página 9