Aulas 5 e 6 / 28 e 30 de março

Transcrição

1 Aulas 5 e / 8 e 30 de março 1 Notação de soma e produto Como expressar a seguinte soma de uma maneira mais concisa? ? Note que as parcelas são semelhantes, e que a única coisa que varia é base do expoente Quando temos uma soma em que a variação de uma parcela para outra depende de uma única variável, que cresce uma unidade a cada parcela, podemos usar a notação de somatório: 1 0j A variável que aparece abaixo de σ indica o que mudará de parcela em parcela O valor que ela começa é o que aparece ao lado dela, com o sinal de igual E o valor acima σ é o último que ela atinge Exercício 1 Escreva por extenso os seguintes somatórios: 4 k! sin(nπ) n= Muitas vezes a variável não se altera de 1 em 1 Para generalizar, se S é um conjunto, o símbolo f(x) x S 0 n= significa a soma de todos os valores f(x) obtidos quando x S Exercício Seja S = {1, 3, 10} Calcule x x S Note que é possível fazer alterações na disposição dos índices, ou acrescentar ou remover termos, ou ter restrições explicitadas em outras notações Considere os exemplos: 4 (i) (ii) (iii) n 1 (k + 1) = n + k = n + k n+1 i = (i 1) i=1 i= [ j 3 k = (j + 1) 3 k = (j + 1) 3 j ] j= 1

2 Igualmente, se desejarmos representar o produto de vários elementos, poderemos utilizar a notação de produtório: 3 k = 1 3 = 3 Exercício 3 Expresse o fatorial de n como um produtório Recorrência Uma relação de recorrência é uma maneira de definir uma sequência de valores, cada um dos quais definidos a partir de alguns de seus antecessores Por exemplo (i) x 1 = (ii) x n = x n Quando n =, teremos que x = x = 7 Agora podemos fazer n = 3, e teremos x 3 = 17 Exercício 4 Ache o x 5 acima Exercício 5 Expresse como uma relação de recorrência x n = k + 1 Exercício Expresse x n = n! como uma relação de recorrência Exemplo 1 A sequência de Fibonacci é definida como uma relação de recorrência f n = f n 1 + f n Como a definição envolve dois termos anteriores, é preciso dar pelo menos os dois primeiros valores da sequência para podermos definir os demais: f 1 = 1 f = 1 Mais para frente, voltaremos a falar mais em detalhes de certos tipos de recorrência 3 Indução Indução matemática é uma técnica muito poderosa para demonstrar propriedades expressas em termos de números inteiros positivos n Basicamente, uma prova por indução funciona da seguinte forma: (i) Primeiro mostra-se que a propriedade é verdadeira para alguns valores pequenos de n

3 (ii) E então mostramos que se a propriedade é verdadeira para um valor arbitrário de n, então ela tem que ser verdadeira para n + 1 Em outras palavras, imagine que existe uma propriedade P que depende de valores n Z +, e que desejamos mostrar que n 1, P (n) = T Para tal, o caminho é: (i) Mostrar que P (1) = T (ii) Mostrar que P (n) = T P (n + 1) = T Por exemplo, se n = 1 no ponto (ii), saberemos que P (1) P () Como P (1) = T pelo ponto (i), segue que P () = T Agora que sabemos que P () = T, olhamos para o ponto (ii) com n = Sabemos por (ii) que P () = T P (3) = T Como, de fato, P () = T, segue que P (3) = T E assim sucessivamente O relevante de tudo isso é que basta mostrar (i) e (ii) e todos os casos seguirão automaticamente A maneira de escrever uma prova por indução é a seguinte: Sentença: n 1, P (n) é verdadeira Prova: (i) Caso base : demonstra o caso específico que P (1) é verdadeira (ii) Hipótese indutiva : declare o que é P (n) (iii) Conclusão indutiva : Mostra que P (n + 1) é verdadeira Para tal, você pode usar todas as propriedades matemáticas que você está acostumado, mas principalmente, você deve usar a sentença P (n) escrita em (ii) como hipótese Sem mais delongas, vamos começar a ver exemplos Proposição 1 Para todo inteiro n 1, j = n(n + 1) Neste exemplo, Demonstração Por indução P (n) : j = n(n + 1) (i) Caso base: Se n = 1, temos que 1 1(1+1) j = 1, e que = 1, portanto P (1) = T (ii) Hipótese indutiva: j = n(n + 1) 3

4 (iii) Conclusão indutiva: Teremos que n+1 j = n + (n + 1) por definição = ( n) + (n + 1) propriedades da soma = j + (n + 1) definição de somatório Isso encerra a prova n(n + 1) = + (n + 1) POR = n + n + n + (n + 1)(n + ) = HIPÓTESE INDUTIVA manipulação algébrica manipulação algébrica Proposição Para todo inteiro n 1, j = n(n + 1)(n + 1) Demonstração Por indução (i) Caso base: Se n = 1, ambos os lados são iguais a 1 (ii) Hipótese indutiva: (iii) Conclusão: Teremos que j = n(n + 1)(n + 1) n+1 j = n + (n + 1) = ( n ) + (n + 1) = j + (n + 1) n(n + 1)(n + 1) = + (n + 1) POR = n3 + 3n + n + n + 1n + (n + 1)(n + )((n + 1) + 1) = HIPÓTESE INDUTIVA 4

5 Exercício 7 Mostre que para todo n 0, j = n+1 1 j=0 Troque por r, r > Como a fórmula precisa ser ajustada? Demonstre a nova fórmula por indução Você consegue resolver este exercício de um jeito diferente? Exercício 8 (Desafio) Tente usar uma generalização dos exemplos acima e a idéia da indução pra achar uma fórmula para j 3 Proposição 3 Se n é um inteiro positivo, então 5 divide n 5 n Demonstração Por indução 1 Caso base: com n = 1, n 5 n = 0, e 5 divide 0 Hipótese indutiva: 5 divide n 5 n 3 Conclusão: Note que (n + 1) 5 (n + 1) = n 5 + 5n n n + 4n Nosso objetivo é usar a hipótese indutiva, e para isso, precisamos fazer n 5 n aparecer Manipulamos então para obter (n + 1) 5 (n + 1) = (n 5 n) + 5n n n + 4n + n Por hipótese indutiva, 5 divide n 5 n Os demais termos possuem coeficientes múltiplos de 5, portanto 5 divide todos os termos da soma, e logo 5 divide tudo Mais tecnicamente, por indução, existe k tal que 5k = n 5 n Logo (n + 1) 5 (n + 1) = 5(k + n 4 + n 3 n + n) Exercício 9 Mostre que para todo n 0, 4 divide 5 n 1 Exercício 10 Vamos mostrar que 8 sempre divide 3 n Nossa hipótese indutiva é 8 3 n Para a conclusão, faremos 3 (n+1) = 3 n+ = 9 3 n = 3 n n Como 8 divide 3 n por hipótese indutiva, e 8 divide 8 3 n, segue que 8 divide 3 (n+1) Fim da demonstração Tá certo isso aí? 5

6 Proposição 4 Para todo n 4, segue que n < n! Demonstração n = 4 Hipótese indutiva: n < n! 3 Conclusão: 1 Caso base: Se n = 4, então n = 1 e n! = 4 Logo n < n! para n+1 = n < n! por hipótese indutiva, < n! (n + 1) porque < n + 1 para n 4 = (n + 1)! Exercício 11 Torres de Hanoi é um jogo em que três peças de tamanhos diferentes são empilhadas em uma das três torres A maior embaixo, a menor no topo O objetivo é mover as três peças para a última torre Para tal, só é permitido mover uma peça por vez, e uma peça nunca pode ficar sobre uma peça menor Veja o exemplo abaixo de como resolver o jogo: E se ao invés de 8 peças existirem n peças? É possível? Quantas jogadas serão necessárias para resolver? Faça um chute e depois prove por indução Exercício 1 Prove que 13 sempre divide 3 n+ + 4 n+1, para qualquer n 0 Exercício 13 Ache um inteiro N 0 tal que para todo n N 0, n > n + 1 Prove por indução Faça o mesmo para a propriedade n > n Exercício 14 Um triominó é um peça da forma

7 Prove que um tabuleiro quadricular de n n, n > 0, sempre pode ser cobertos por triominós, desde que removamos um único quadrado Dica: um tabuleiro de tamanho n+1 n+1 é obtido juntando 4 tabuleiros de tamanho n n Exercício 15 Prove que um quadrado perfeito é sempre a soma de números ímpares consecutivos Exercício 1 Prove que, para todo n 1, j = n + j n Exercício 17 Considere o produto n j= (1 1j ) Teste alguns valores, conjecture uma fórmula, e prove esta fórmula por indução Exercício 18 Mostre que para todo n > 1, n < 1 n Exercício 19 Considere a seguinte proposição Todos os carros de Belo Horizonte tem a mesma cor Vamos provar este fato por indução 1 Caso base: Se só houvesse um carro em Belo Horizonte, certamente todos os carros teriam a mesma cor Hipótese indutiva: Todo conjunto de n carros em Belo Horizonte tem a mesma cor 3 Conclusão: Considere um conjunto com n + 1 carros em Belo Horizonte Digamos que eles sejam C 1 C C 3 C n C n+1 Os primeiros n carros, do C 1 ao C n, tem a mesma cor por hipótese indutiva Os últimos n carros, do C ao C n+1, também possuem a mesma cor, por hipótese indutiva Como C, por exemplo, está em ambos os conjuntos, segue que C n+1 é da mesma cor que os n primeiros, e portanto todos eles tem a mesma cor 7

8 Bem, será que todos os carros de Belo Horizonte tem a mesma cor? Ou será que o princípio da indução matemática está errado? Ou talvez essas coisas de lógica não se aplicam ao mundo real?!! Descubra o que aconteceu Exercício 0 Esse é o meu favorito Há uma ilha onde mora uma tribo com 1000 pessoas 100 delas tem olho azul, 900 tem olhos marrons Entretanto a religião deles proíbe que cada habitante saiba a cor dos seus olhos, ou mesmo que o tema seja discutido Os portugueses ainda não chegaram nessa ilha, então eles não possuem espelhos, ou qualquer outra superfície refletora Assim, cada habitante sabe a cor dos olhos de todo mundo, menos a sua Se um habitante da tribo descobrir por algum acaso a cor do seus olhos, este habitante precisa cometer suicídio no dia seguinte, ao meio dia, na praça central, para que todos vejam Todos os habitante são lógicos, inteligentes, religiosos, e sabem que os outros habitantes também são, e sabem que os outros habitantes sabem que todos são, e assim sucessivamente É um pessoal bem inteligente mesmo Um belo dia um náufrago de olhos azuis foi parar na ilha A tribo o ajuda, mas ele, sem conhecer os costumes da tribo, comete a gafe de, ao discursar em agradecimento para toda a tribo, fazer o seguinte comentário: Que grata surpresa ver outra pessoa de olhos azuis, como eu, nesta ilha tão remota O que acontece com a tribo? (após resolver, ou não, este desafio, vá ler na wikipedia sobre Common Knowledge ) 4 Indução forte Muitas vezes, não basta usar o caso anterior para provarmos o próximo Pode ser necessário usar alguns ou todos os casos anteriores para provarmos o próximo Considere primeiramente o exemplo abaixo Proposição 5 Suponha que a sequência {x n } é definida por x 1 = 0, x = 30, x n = x n 1 + x n, para n 3 Mostre que x n = 3 n + 3 ( ) n Demonstração Vamos primeiro ir como antes: (i) Caso base: x 1 = 0 e x = 30 ambos satisfazem a fórmula (ii) Hipótese indutiva: x n = 3 n + 3 ( ) n (iii) Conclusão: Pela recorrência, temos x n+1 = x n + x n 1 Usando a hipótese indutiva, o melhor que conseguimos é: x n+1 = 3 n + 3 ( ) n + x n 1 8

9 O que fazemos com x n 1? A idéia aqui é trocar nossa hipótese indutiva, para que ela contemple todos os valores até o n + 1: (ii) Hipótese indutiva: Para todo k n, temos x k = 3 k + 3 ( ) k Agora voltamos Temos x n+1 = x n + x n 1 Aplicando a hipótese indutiva para k = n e k = n 1, teremos x n+1 = x n + x n 1 definição = 3 n + 3( ) n + ( 3 n 1 + 3( ) n 1) { hipótese indutiva em ambos os termos!! = 3 n + 3( ) n + ( 4 3 n 9( ) n) { manipulação (atenção à mudança de sinal) = 3 n ( ) n manipulação = 3 n+1 + 3( ) n+1 manipulação Exercício 1 Definimos x 1 = 11, x = 3, e x n = x n 1 + 1x n, para n 3 Mostre que, para todo n 1, temos x n = 4 n ( 3) n É preciso tomar muito cuidado com os casos base necessários!! Proposição Todo inteiro maior que 7 pode ser escrito como a soma de dois múltiplos não negativos de 3 e 5 Demonstração (i) Caso base: de fato, 8 = (ii) Hipótese indutiva: Para todo 8 k n, o número k pode ser escrito como 5x + 3y, onde x e y são inteiros não-negativos (iii) Conclusão: Note que n + 1 = (n 7) + 8 Por hipótese indutiva, há inteiros não negativos tais que n 7 = 5x + 3y Então n + 1 = 5x + 3y + 8 = 5x + 3y = 5(x + 1) + 3(y + 1) Será que esta prova está OK? Há um erro relevante na prova acima, ainda que a proposição seja verdeira Vamos consertar o erro Note que se n = 9, então n 7 = A hipótese indutiva só permite que digamos que números k entre 8 e n podem ser escrito como 5x + 3y onde x e y são não-negativos Então o argumento na conclusão não pode mostrar o caso n = 9!! De fato, ele só se aplica a número n maiores que 15, para que n 7 8 Então é necessário checar manualmente que o resultado é verdadeiro para todos os número entre 8 e 15 A prova deve ser, portanto, assim: 9

10 (i) Casos base: 8 = 5 + 3, 9 = , 10 = , 11 = 5 + 3, 1 = , 13 = 5 + 3, 14 = , e 15 = (ii) Hipótese indutiva: Para todo 8 k n, o número k pode ser escrito como 5x + 3y, onde x e y são inteiros não-negativos (iii) Conclusão Seja n 1 Note que n + 1 = (n 7) + 8 Note que n 7 8, então podemos aplicar a hipótese indutiva para n 7 Então existem x, y Z 0 tais que n 7 = 5x + 3y Então n + 1 = 5x + 3y + 8 = 5x + 3y = 5(x + 1) + 3(y + 1) Exercício Mostre que todo inteiro 9 pode ser escrito como 3x + 4y, com x, y inteiros positivos Exercício 3 Considere o jogo em que duas pessoas jogam, uma contra a outra Há 37 moedas empilhadas Em cada rodada, uma pessoa remove de 1 a 4 moedas da pilha Ganha quem remove por último Existe uma estratégia sempre vitoriosa? Quem ganha? Quem começa ou quem vai depois? E se forem n moedas? Qual a estratégia para a vitória? Use indução Exercício 4 Relembre a sequência de Fibonacci, dada por {f n } onde f 1 = 1, f = 1 e f n = f n 1 + f n para n 3 Use indução para mostrar os resultados abaixo: ( ) n 7 (a) Para todo n N, f n+1 < 4 (b) Para n, f 1 + f + + f n 1 = f n+1 1 (c) Seja a = Dicas: e b = 1 5 Para todo n N, mostre que f n = an b n 5 (a) Use que, para n, ( ) n 7 = ( ) n 7 > 4 ( ) n ( ) n 7 4 (b) Note que n n 3 n 3 f i + f i = f 1 + (f i + f i+1 ) i=1 i=1 i=1 (c) Tanto a como b satisfazem x = x

11 Exercício 5 (Desafio) Considere uma longa rodovia circular que possui alguns postos de gasolina no caminho Todos juntos, os postos contém exatamente a quantidade de gasolina necessária para dar uma volta na rodovia Seu tanque está vazio, mas cabe muito mais gasolina do que o necessário para dar a volta completa Mostre que existe um posto onde você pode começar, encher seu tanque com o total do posto, e será possível dar uma volta completa na rodovia 11