Pensamento. "A escada da sabedoria tem os degraus feitos de números." (Blavatsky) Prof. MSc. Herivelto Nunes

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Fernanda Graça Lisboa
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1 Aula Introdutória Álgebra Linear I- Abril 2017

2 Pensamento "A escada da sabedoria tem os degraus feitos de números." (Blavatsky) Prof. MSc. Herivelto Nunes

3 Unidade Matrizes.

4 Matrizes A matriz foi criada inicialmente para desenvolver estudos sobre métodos de resolução ou discussão de um sistema de equações

5 Matrizes A partir das matrizes, obtém-se um novo olhar matemático, pois passou-se a operar, além dos números reais, as matrizes.

6 Matrizes O estudo de matriz tornou-se uma ferramenta importante, criando assim um novo e imenso campo de estudo que denominamos Álgebra Linear.

7 Matrizes As matrizes, são hoje, utilizadas nas mais variados áreas como Física, Economia, Econometria, Pesquisa Operacional, Tecnologia da Informação, Engenharia, etc.

8 Definição Considere dois números naturais m e n nãonulos, denominados m por n (indica-se m x n) toda tabela formada por (m.n) elementos dispostos em m linhas e n colunas. Ex.: é uma matriz 2 x 3

9 Definição Um elemento genérico de uma matriz A é simbolizado por a ij, em que i indica a linha e j, a coluna a que pertence o elemento. Assim, uma matriz A do tipo m x n pode ser indicada por: A = a ij mxn

10 Matrizes Especiais São matrizes que por apresentarem maior utilização são tidas como especiais.

11 Matrizes Especiais Matriz Nula: É toda matriz que tem todos os elementos iguais a zero. Representa por 0 mxn. Ex.: 0 3x2 =

12 Matrizes Especiais Matriz Identidade de ordem n ou matriz unidade de ordem n: É toda matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais, nulos. Ex.: I 2 = matriz identidade de ordem 2.

13 Matrizes Especiais Matriz Oposta de A: É a matriz obtida da matriz A, trocando-se o sinal de cada um dos seus elementos. Representa-se por A. Ex.: A = A = 1 0

14 Igualdade entre matrizes Duas matrizes, A = a ij mxn e B = b ij mxn, são iguais se forem de mesma ordem (mxn) e apresentarem todos os elementos correspondentes iguais. Ex.: = 1 0

15 Operações Adição de Matrizes:A soma de duas matrizes A e B do tipo mxn é uma matriz C do mesmo tipo, em que cada elemento é a soma dos elementos correspondentes em A e B. Ex: = = 1 6 = = =

16 Propriedades da adição de matrizes do tipo mxn 1ª propriedade: associativa: A+(B+C) = (A+B)+C. 2ª propriedade: comutativa: A+B = B+A 3ª propriedade: existência do elemento neutro: A+0 mxn = A 4ª propriedade: existências de elemento simétrico: A+ (- A) = 0 mxn. 5ª propriedade: comutativa: A - B = A + (- B)

17 Produto de um número real por uma matriz. Ao multiplicar uma matriz A por um número real K, todos os elementos da matriz são multiplicados por esse número real. Ex.: = ( 4) = 4 0

18 Multiplicação de Matrizes Considere duas matrizes A mxn =B nxp, definimos o produto de A e B como sendo uma matriz C, com as seguinte característica: A mxn. B nxp = C mxp

19 Multiplicação de Matrizes Ex.: 1) Dadas as Matrizes A= determine A. B. e B= , Solução: ( 3) ( 3) =

20 Propriedades da Multiplicação de Matrizes Sejam A, B e C matrizes conformes para a multiplicação e adição. 1ª propriedade: associativa: ABC = (AB)C = A(BC). 2ª propriedade: distributiva: A(B + C) = AB + AC 3ª propriedade: A mxn. O nxp = 0 mxp 4ª propriedade: elemento neutro: A mxn. I n = A mxn 5ª propriedade: anticomutativa: AB BA. 6ª propriedade: o produto de duas matrizes não-nulas poderá ser uma matriz nula.

21 Matriz Transposta Denomina-se matriz transposta de A, e representa-se por A t, a matriz que tem ordenadamente as colunas iguais às linhas de A. Ex.: A = /4 7 = 3 1/4 1 7

22 Propriedade da matriz transposta Sejam A e B matrizes conformes para a multiplicação e adição, e K um número real. 1ª propriedade: (A + B)ᵗ = Aᵗ + Bᵗ 2ª propriedade: (KA)ᵗ = k. Aᵗ 3ª propriedade: (Aᵗ)ᵗ = A 4ª propriedade: (AB)ᵗ = (BA)ᵗ

23 Matriz Inversa Seja A uma matriz inversa quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B, tal que AB = BA = I n. Dada uma matriz inversível A, denomina-se inversa da A a matriz A 1 (que é única), tal que: A. A 1 = A 1. A = I n Assim, o cálculo da matriz A 1, se fá através da resolução da equação acima.

24 Matriz Simétrica Denomina-se matriz simétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que Aᵗ = A. Exs.: A = é uma matriz simétrica, pois A =

25 Propriedades da matriz inversa 1ª propriedade: (A 1 )-¹ = A 2ª propriedade: (A 1 )ᵗ = (Aᵗ)-¹ 3ª propriedade: (AB) -¹ = B 1. A 1 4ª propriedade: A inversa de uma matriz, caso exista, é única.

26 Exemplos: 1) Encontre a matriz inversa da matriz A= Solução: Sabemos que a matriz A-1 será uma matriz quadrada de mesma ordem. Explicite uma matriz inversa com elementos quaisquer. Sendo assim, usaremos letras para representar estes elementos. A. A 1 = I n

27 Solução:(cont.) a b c d 1 0 = 0 1 Através da igualdade de matrizes, obteremos 4 igualdades muito importantes para os nossos cálculos. Agrupá-las-emos de forma que as igualdades com mesmas incógnitas fiquem juntas. 2a + 3c = 1 2a + 5c = 0 e 2b + 3d = 0 2b + 5d = 1 Em situações como estas devemos resolver estes sistemas de equações com duas incógnitas.

28 Exemplo: Logo: A 1 = 5/4 1/2 3/4 1/2

29 Referências Bibliográficas: HAZZAN, Samuel. Fundamentos da matemática elementar. V ed. São Paulo: Atual, PAIVA, Herivelto Nunes et al. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: PoD Editora, DANTE, L. Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Vol. Único. São Paulo: Ática, GOES, H.; TONA, U. Matemática para concursos. São Paulo: Editora ABC,

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