Matemática I. Matrizes e sistemas de equações lineares

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1 Capítulo 3 Matrizes e sistemas de equações lineares

2 Objectivos Noção de Matriz Condensação de informação em matrizes Operações com matrizes

3 3.1 Matrizes: motivação, definição e propriedades. 3.1 Motivação As matrizes são ferramentas que permitem guardar, de forma ordenada, informação. Por exemplo: Resumo das vendas no 1 o semestre de 2006 Jan Fev Mar Abr Mai Jun modelo a modelo b modelo c

4 3.1 Matrizes: motivação, definição e propriedades. 3.1 Motivação A tabela anterior pode ser resumida, sem perda de informação, na forma seguinte: Resumo das vendas no 1 o semestre de

5 3.1 Matrizes: motivação, definição e propriedades. 3.1 Motivação Ou ainda: Resumo das vendas no 1 o semestre de Ou seja, resumimos toda a informação relevante numa matriz do tipo 3 6.

6 3.1 Matrizes: motivação, definição e propriedades. 3.1 Definição Definição de Matriz Uma matriz do tipo m n sobre IR é um quadro com m linhas e n colunas que contém, na intersecção de cada linha com cada coluna um número real.

7 3.1 Matrizes: motivação, definição e propriedades. 3.1 Exemplos Exemplos de Matrizes ; [ 2 ; ln(2) 1 0 ] são matrizes do tipo 3 6, 4 2 e 2 2, respectivamente.

8 3.1 Matrizes: motivação, definição e propriedades. 3.1 Exemplos Matrizes quadradas São matrizes com igual número de linhas e de colunas. Por exemplo: [ ] ; ; ln(2) e são matrizes quadradas do tipo 2, 3 e 4, respectivamente.

9 3.1 Matrizes: motivação, definição e propriedades. Elementos de uma matriz Os elementos de uma matriz (ou entradas, ou componentes) são identificados por um par de números, em que o 1 o se refere à linha e o 2 o à coluna. Por exemplo, na matriz: A = ln(2) e a componente (2, 3) é 1, a componente (1, 3) é -2 e a componente (4, 2) é 0. De forma equivalente: A(2, 3) = 1, A(1, 3) = 2 e A(4, 2) = 0.

10 3.2 Matrizes especiais e suas propriedades Matriz linha e Matriz coluna Uma matriz do tipo 1 n é uma matriz linha. Por exemplo: A = [ ln(2) ] é uma matriz linha do tipo 1 4. Por outro lado, uma matriz do tipo n 1 é uma matriz coluna. 0 Por exemplo: B = 1 log 3 (7) é uma matriz coluna do tipo 3 1.

11 3.2 Matrizes especiais e suas propriedades Matrizes triangulares Numa matriz quadrada, terá importância saber identificar a sua diagonal principal. Por exemplo, na matriz A = a diagonal principal é: A = ln(2) e ln(2) e

12 3.2 Matrizes especiais e suas propriedades Matrizes triangulares Uma matriz quadrada é triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal forem 0. Por exemplo: ln(2) A = é triangular superior Uma matriz quadrada é triangular inferior se todos os elementos abaixo da diagonal principal forem 0. Por exemplo: log 3 (2) 0 0 A = é triangular inferior. 0 e -1

13 3.2 Matrizes especiais e suas propriedades Matriz diagonal Uma matriz quadrada é uma matriz diagonal se apenas tem elementos diferentes de 0 na diagonal principal. Por exemplo: A = é diagonal. 0 0 e

14 3.3 Operações com matrizes: propriedades. Operações com matrizes Vamos considerar as operações seguintes: soma de matrizes; produto escalar; produto de matrizes; operações elementares sobre as linhas de uma matriz.

15 3.3 Operações com matrizes: propriedades. Soma de duas matrizes Condições e definição: A soma de duas matrizes está definida para matrizes do mesmo tipo. Por exemplo não podemos somar as matrizes ln(2) 9 2 e e 1 0 pois são do tipo 3 2 e 3 4, respectivamente.

16 3.3 Operações com matrizes: propriedades. Soma de duas matrizes Condições e definição: Se A, B são duas matrizes do mesmo tipo, então a sua soma é uma outra matriz do mesmo tipo cujas compenentes são a soma das componentes respectivas em A e B. Por exemplo : } {{ } A } {{ } B 2 4 = } {{ } A+B 2 4

17 3.3 Operações com matrizes: propriedades. Diferença de duas matrizes Condições e definição: Se A, B são duas matrizes do mesmo tipo, a sua diferença é feita de modo análogo à soma. Por exemplo: } {{ } A } {{ } B 4 3 = } {{ } A B 4 3

18 3.3 Operações com matrizes: propriedades. Produto escalar Condições e definição: Seja α IR e A uma matriz do tipo m n. O produto escalar de α por A é uma matriz do mesmo tipo de A em que cada elemento A(i, j) é transformado em αa(i, j). Por exemplo: }{{} 2 α } {{ } A 4 4 = } {{ } αa 4 4

19 3.3 Operações com matrizes: propriedades. Produto de duas matrizes Condições e definição: Sejam A uma matriz do tipo m n e B uma matriz do tipo n p. O produto de duas matrizes deste tipo é uma matriz do tipo m p cujos elementos se calculam como a seguir se exemplifica. Suponhamos que queremos multiplicar A 3 4 por B 4 2. Por exemplo: } {{ 4 } A } 0 2 {{ } B 4 2 = } {{ } A B 3 2

20 3.3 Operações com matrizes: propriedades. Algumas propriedades: Sejam A, B e C matrizes compatíveis com as operações em causa: A + B = B + A, a soma de matrizes é comutativa; (A + B) + C = A + (B + C), a soma de matrizes é associativa; A(B + C) = AB + AC e (B + C)A = BA + CA, propriedades distributivas; (AB)C = A(BC), o produto de matrizes é associativa; AB BA, o produto de matrizes não é comutativa!; AB = AC B = C corte. e BA = CA B = C, não há a lei do

21 3.3 Operações com matrizes: propriedades. Exemplo: Efectuar os cálculos seguintes: (A + B) ( 3)C D em que A = C = [ ; B = ] 1 5 ; D =

22 3.3 Operações com matrizes: propriedades. Resultado (A + B) ( 3)C D

23 3.3 Operações com matrizes: propriedades. Fim da aula T6