Material Teórico - Redução ao Primeiro Quadrante e Funções Trigonométricas. Paridade das Funções Seno e Cosseno. Primeiro Ano do Ensino Médio

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1 Material Teórico - Redução ao Primeiro Quadrante e Funções Trigonométricas Paridade das Funções Seno e Cosseno Primeiro Ano do Ensino Médio Autor: Prof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 6 de fevereiro de 09

2 Paridade de funções Uma função f com valores reais é chamada de função par (ou simplesmente par) quando para todo no domínio de f temos que também está no domínio e vale que f( ) = f(); e ela é chamada de função ímpar (ou apenas ímpar) quando para todo em seu domínio temos no domínio e f( ) = f(). Observe que esse conceito é bem diferente do uso mais comum das palavras par e ímpar, mas é inspirado por ele, conforme veremos no eemplo abaio. Lembre-se de que um número inteiro é chamado de par quando ele é múltiplo de (ou seja, é duas vezes um número inteiro) e é chamado de ímpar caso contrário. Assim, os números do conjunto {...,, 0,,, 6,...} são pares, enquanto os do conjunto {..., 3,,, 3, 5,...} são ímpares. Porém, números não inteiros, como /, ou, não são considerados pares nem ímpares. Eemplo. Seja n um número inteiro positivo. Considere a função potência f() = n, com domínio R. Quando n é um número par, temos que f() é uma função par; quando n é um número impar, a função f() é ímpar. Solução. Para verificar isso, lembre-se primeiro de que a lei dos sinais nos diz que { ( ) n, quando n é par, =, quando n é ímpar. Agora, seja um número real qualquer. Queremos comparar os valores de f() e f( ). Temos que, f( ) = ( ) n = ( ) n n { = ( ) n f(), f() = f(), quando n é par, quando n é ímpar. Em resumo, f( ) = f() para n par e f( ) = f() para n ímpar. Como isso vale para qualquer valor de, o resultado está provado. Em particular, o eemplo acima nos diz que f() = é uma função par e a função g() = 3 é ímpar. Veja que testar se f() é uma função par involve verificar a condição f() = f( ) para todos os possíveis valores de no domínio da função, não apenas para alguns valores (e o análogo vale para testar se f() é ímpar). Por isso, na solução do eemplo acima precisamos fazer os cálculos de forma genérica, com a variável, no lugar de apenas substituir por um valor específico (como ou ). Por outro lado, para mostrar que uma função não é par, bastaria eibir um eemplo de um valor de tal que f( ) f(). Eemplo. A função f : R R dada por f() = 3 + não é par nem ímpar. Solução. Se a função em questão fosse par, deveríamos ter que f( ) = f(), ou seja, ( ) 3 ( ) + = 3 +, para todo real. Mas isso implicaria 3 + = 3 ou, o que é o mesmo, ( 3 ) = 0, ou ainda ( ) = 0. Veja que eistem apenas três valores de que satisfazem essa equação: 0, e. Mas o fato disto valer para esses três valores, não garante que a função seja par, pois para outros valores de teremos f() f( ). Por eemplo f() = 8 + = 7 e f( ) = = 5. Logo, f( ) f(). Agora, vamos verificar que a função também não é ímpar. Se fosse, deveríamos ter que f( ) = f(), ou seja, ( ) 3 ( ) + = ( 3 + ), ou ainda = 3 +. Isso é falso para qualquer valor de, já que. Logo, a função também não é ímpar. Eemplo 3. Mostre que a função f() = +, com domínio nos reais, não é par nem é ímpar. Solução. Veja que f() = + = enquanto f( ) = ( ) + ( ) = 0. Logo, f( ) f() e f( ) f(). O argumento acima é suficiente para garantir que f não é par nem ímpar. Por outro lado, se tivesse acontecido dos valores de f( ) e f() serem iguais, isto por si não garantiria que f é par, pois teríamos que considerar todos os outros possíveis valores para. Devemos tomar cuidado também para não confundir os conceitos de número par com função par (ou de número ímpar com função ímpar). Eemplo. A função f : R R tal que f() = + 0 não é uma função par nem ímpar. Por outro lado, para todo número inteiro temos que + 0 é um número par. Solução. De fato, veja que f() = e f( ) = 8. Como 8 e 8, temos que f( ) f() e f( ) f(). Logo a função não é nem par nem ímpar. Por outro lado, para qualquer número inteiro, temos que +0 = (+5), o que é duas vezes o número inteiro + 5. Logo, + 0 é um número par, sempre que for inteiro. Eemplo 5. Decida, com justificativa, se a função f() =, com domínio R {,}, é par ou ímpar. Solução. Suponha que esteja no domínio de f, de sorte que ±. Então, ±, o que nos permite calcular f( ). Temos que: f( ) = ( ) = = f(). Logo, a função é ímpar. matematica@obmep.org.br

3 Interpretação gráfica Dizer que uma função é par significa dizer que o eio-y do plano cartesiano é um eio de simetria para o gráfico de y = f(). Ou seja, o eio-y funciona como um espelho. Para entender porque, suponha que f() é uma função par qualquer. Se ( 0, y 0 ) é um ponto que pertence ao gráfico da função, então y 0 = f( 0 ). Mas, como a função é par, temos que 0 também pertence ao domínio da função e f( 0 ) = f( 0 ), isto é, f( 0 ) = y 0. Portanto, ( 0, y 0 ) também pertence ao gráfico. Acontece que, como mostrado na figura abaio, ( 0, y 0 ) é justamente o ponto simétrico a ( 0, y 0 ) em relação ao eio-y. ( 0, y 0) ( 0, y 0) Dizer que uma função é ímpar significa que a origem do plano cartesiano, o ponto (0,0), é um centro de simetria para o gráfico de y = f(). O argumento aqui é semelhante ao que fizemos acima. Supunha que f() seja ímpar e tome um ponto ( 0, y 0 ) em seu gráfico. Então, y 0 = f( 0 ) e, como f é ímpar, temos f( 0 ) = f( 0 ), ou seja, f( 0 ) = y 0. Logo, ( 0, y 0 ) também é um ponto do gráfico, o qual é justamente o simétrico do ponto ( 0, y 0 ) em relação a (0,0) (veja a figura abaio). ( 0, y 0) ( 0, y 0) 3 A paridade das funções seno e cosseno Nesta seção, verificaremos que cos() é uma função par e sen() é uma função ímpar. Inicialmente, observemos o Círculo Trigonométrico. Lembre-se de que para cada > 0 representando o valor do comprimento de um arco, a ele fazemos corresponder um único ponto P sobre o o Círculo Trigonométrico, de tal forma que o arco partindo do ponto (,0) até P possua comprimento. Como vimos nas outras aulas, P é o ponto de coordenadas (cos(), sen()). Além disso, arcos positivos são sempre medidos no sentido anti-horário. Agora, considerando o número (onde > 0), a ele corresponde o ponto P, obtido percorrendo um arco de comprimento no sentido horário (veja a Figura ). Por um lado, temos P = (cos( ), sen( )). Por outro, como P é claramente o simétrico de P em relação ao eio, temos que P = (cos(), sen()) (perceba que, no caso da Figura, em que P está no primeiro quadrante, temos que P está no quarto quadrante; portanto, sua abscissa é positiva e sua ordenada é negativa). Assim, obtemos ou seja, (cos( ), sen( )) = (cos(), sen()), cos( ) = cos() sen( ) = sen(). Por fim, as últimas igualdades acima significam que cos() é uma função par e sen() é uma função ímpar. (,0) sen (0,) cos cos (0, ) sen sen P P (,0) cos Figura : pontos P e P sobre o Círculo Trigonométrico, simétricos em relação ao eio- (eio dos cossenos). Uma boa maneira de lembrar qual dentre as funções cos() e sen() é par e qual é ímpar é lembrar da Figura e observar que, nela, as projeções de P e P no eio dos cossenos coincidem, enquanto suas projeções no eio dos senos são simétricas em relação à origem. Uma segunda maneira de perceber que cos() é par e sen() é ímpar é observar seus gráficos, os quais foram apresentados em uma aula anterior (veja a Figura ). Essas funções são periódicas e possuem gráficos em forma de ondas. Contudo, o gráfico de cos() passa pelo ponto (0,) enquanto o gráfico de sen() passa pelo ponto (0,0). Levando em consideração as observações da seção anterior, veja que o gráfico de cos() é simétrico em relação matematica@obmep.org.br

4 y = cos() y ao eio-y, enquanto que o de sen() é simétrico em relação ao ponto (0, 0). Logo, cos() é (função) par e sen() é (função) ímpar. Veja que as duas maneiras acima de estabelecer que cos() é par e sen() é ímpar são coerentes com o fato de que o ponto P da Figura também é o ponto que corresponde ao arco de comprimento (no sentido anti-horário) no Círculo Trigonométrico; logo, P = (cos( ), sen( )). Por outro lado, como as funções cos e sen possuem período iguai a, temos que cos( ) = cos( ) e sen( ) = sen( ). Eercícios resolvidos Eemplo 6. A função f() = 3 sen() é par ou ímpar? Solução. Temos que f( ) = 3 sen( ) = 3 ( sen()) = 3 sen() = f(). (Veja que, na segunda igualdade usamos o fato de que sen() é impar). Logo, f() é uma função ímpar. Eemplo 7. A função f() = 7 tg() é par ou ímpar? y y = sen() Figura : gráficos de seno e cosseno de 0 a 0. Solução. Primeiramente, recorde que o domínio da função tg() (e, portanto, o de f()) é R \ { ±, ± 3, ± 5,... }, simétrico em relação a 0. Agora, temos que f( ) = 7 tg( ) = = 7 sen( ) cos( ) = 7 sen() cos() Logo, a função f() é ímpar. = 7 sen() = 7 tg() = f(). cos() Eemplo 8. Calcule o valor de tg ( ) 35. Solução. Seguindo os mesmos passos do Eercício 7 conclui-se que tg() é uma função ímpar. Logo, ( tg 35 ) ( ) 35 = tg. A fim de encontrar a primeira determinação positiva do arco 35/, dividimos 35 por, obtendo quociente 8 e resto 3; assim, 35 (8 + 3) = = Como a função tg() possui período, temos que ( ) ( ) 35 3 tg = tg. Para terminar, invocamos novamente o fato de que tg() é ímpar e de período para calcular ( 3 ) ( 3 ) ( tg = tg = tg ) ( ) = tg =. Então, Eemplo 9. A soma n vale: ( tg 35 ) ( 3 ) = tg =. k=0 (a) cos(α), quando n é par. (b) sen(α), quando n é ímpar. (c) cos(α), quando n é ímpar. (d) sen(α), quando n é par. 3 3 cos(α + k), para qualquer α, 3 matematica@obmep.org.br

5 (e) 0, quando n é ímpar. Solução. Observe inicialmente que, percorrendo um arco de comprimento a partir de um ponto P qualquer sobre o Círculo Trigonométrico, iremos parar no ponto P, simétrico de P em relação ao ponto (0, 0). Dessa forma, as coordenadas de P são os negativos das coordenadas de P, o que implica cos( + ) = cos() para qualquer número real. Usando o fato deduzido acima, concluímos que e, em geral, Portanto, cos(α + ) = cos(α), cos(α + ) = cos(α), cos(α + 3) = cos(α + ) = cos(α) cos(α + k) = ( ) k cos(α). n cos(α + k) = cos(α) cos(α) ( ) n cos(α), }{{} k=0 n + parcelas com os sinais das parcelas da soma do segundo membro se alternando entre positivo e negativo. Com isso, quando n for par (inclusive no caso em que n = 0) o resultado da soma é cos(α). Por outro lado, quando n for ímpar, temos uma quantidade par de parcelas, logo, o resultado da soma é igual a 0. Assim, a alternativa correta é o item (e). Dicas para o Professor Este módulo complementa o estudo das funções seno e cosseno. Ele pode ser apresentado em dois encontros de 50 minutos. A referência [] desenvolve os rudimentos de Trigonometria necessários a aplicações geométricas. A referência [] traz um curso completo de Trigonometria. Sugestões de Leitura Complementar. A. Caminha. Tópicos de Matemática Elementar, Volume : Geometria Euclidiana Plana. SBM, Rio de Janeiro, 03.. G. Iezzi Os Fundamentos da Matemática Elementar, Volume 3: Trigonometria. Atual Editora, Rio de Janeiro, matematica@obmep.org.br