Material Teórico - Módulo de Geometria Anaĺıtica 2. Áreas de Poĺıgonos. Terceiro Ano - Médio

Transcrição

1 Material Teórico - Módulo de Geometria naĺıtica Áreas de Poĺıgonos Terceiro no - Médio utor: Prof ngelo Papa Neto Revisor: Prof ntonio Caminha M Neto

2 1 Área de um triângulo Na aula Equação da Reta Módulo 1 de Geometria nalítica) estudamos a condição para que três pontos 1 x 1,y 1 ), x,y ) e 3 x 3,y 3 ) sejam colineares: x 1 x x x 1 0 1) y 1 y y y 1 Naquela aula, deduzimos esta condição de alinhamento de duas maneiras distintas Em uma delas, provamos que a área do triângulo BC, cujos vértices são 1 x 1,y 1 ), x,y ) e 3 x 3,y 3 ), é dada por onde 1 3 ) 1 x 1 x x 3 x 1 ) y 1 y y 3 y 1 x 1 x x 3 x 1 y 1 y y 3 y 1 x 1 y +x y 3 +x 3 y 1 x y 1 x 3 y x 1 y 3 No casoem que ospontos sãocolineares, o triângulotem área zero e obtemos 1)) O cálculo da expressão acima pode ser facilmente recordado se percebermos que ele pode ser obtido de acordo com o seguinte esquema: x 1 x y 1 y x y 1 x 3 y x 1 y 3 x 3 y 3 x 1 y 1 x 1 y x y 3 x 3 y 1 No diagrama acima, uma seta indica que os elementos que ela percorre serão multiplicados para gerar o produto que aparece no final da seta Osprodutosx 1 y,x y 3 ex 3 y 1 sãotomadoscomsinalpositivo, enquantoos produtos x y 1,x 3 y e x 1 y 3 sãotomados com sinal negativo Em seguida, tomamos o valor absoluto da expressão assim obtida e multiplicamos o resultado por 1 Também é possível escrever essa expressão como um determinante 3 3: x 1 x x 3 x 1 y 1 y y 3 y 1 x 1 x x 3 y 1 y y ) Sugerimos que, a título de recordação, o leitor leia a primeira seção da aula Equação da Reta, onde poderá encontrar os detalhes da exposição acima seguir, iremos deduzir novamente a fórmula ), dessa vez usando as fórmulas da distância entre dois pontos e da distância entre ponto e reta 1 Figura 1: a área de 1 3 é 1 3 d 1, 3 ) Na figura 1 vemos o triângulo 1 3, de vértices 1 x 1,y 1 ), x,y ) e 3 x 3,y 3 ) É bem sabido que a área do triângulo 1 3, que vamos denotar por 1 3 ), é dada por 1 3 ) 1 3 d 1, 3 ), onde 3 éocomprimentodosegmentoligandoospontos e 3 e d 1, 3 ) é a distância entre o ponto 1 e a reta que passa pelos pontos e 3 Nas aulas anteriores, aprendemos a calcular a distância entre dois pontos e a distância entre ponto e reta: e 3 x x 3 ) +y y 3 ) d 1, 3 ) ax 1 +by 1 +c, a +b onde ax+by +c 0 é a equação da reta 3 Para obter a equação da reta 3, podemos usar a fórmula 1): x x 3 x x 0 y y 3 y y x y 3 +x 3 y +y x x 3 y y 3 x x y 0 y y 3 )x+x 3 x )y +x y 3 x 3 y ) matematica@obmeporgbr

3 Dessa forma, a y y 3, b x 3 x e c x y 3 x 3 y Substituindo tais valores na expressão acima para d 1, 3 ), obtemos d 1, 3 ) y y 3 )x 1 +x 3 x )y 1 +x y 3 x 3 y y y 3 ) +x 3 x ) Observe que o denominador dessa última fração é exatamente igual a 3, de forma que 3 d 1, 3 ) y y 3 )x 1 +x 3 x )y 1 +x y 3 x 3 y Portanto, a área do triângulo pode ser escrita como 1 3 ) 1 x 1y x 1 y 3 +x 3 y 1 x y 1 +x y 3 x 3 y, e essa última expressão é exatamente ) Observação 1 grupando termos semelhantes ), podese verificar diretamente que a área do triângulo 1 3 é igual a 1 3 ) 1 x x 1 y y 1 x 3 x 1 y 3 y 1 1 x x 1 )y 3 y 1 ) x 3 x 1 )y 3 y 1 ) Vejamos um exemplo de aplicação da fórmula ) Exemplo área de um triângulo BC é BC) 4, e dois de seus vértices são,1) e B 3, ) Sabendo que o terceiro vértice C encontra-se sobre o eixo das abscissas, encontre suas coordenadas Solução Como C está sobre o eixo das abscissas, temos que C x,0), com x R Usando a fórmula), obtemos 1 Dessa igualdade, segue que 3 x x 3+x 8 ou, o que é o mesmo, 3x 7 8 ssim, 3x 7 8 ou 3x 7 8, de sorte que x 1 3 ou x 5 Logo, C 1/3,0) ou C 5,0) Área de polígonos Vamos mais uma vez relembrar o que vimos na aula sobre a equação da reta Sejam 1,, 3 e 4 os quatro vértices de um quadrilátero convexo, nomeados consecutivamente no sentido anti-horário veja a figura ) Podemos verificar diretamente que 4) x 1 x x 3 x 4 x 1 y 1 y y 3 y 4 y 1 x 1 x x 4 x 1 y 1 y y 4 y 1 + x x 3 x 4 x y y 3 y 4 y 5) Dividindo ambos os membros da igualdade acima por, e utilizando ), obtemos uma igualdade cujo segundo membro é igual à soma das áreas dos triângulos 1 4 e 3 4, ouseja, éigualàáreadoquadrilátero Portanto, ) 1 x 1 x x 3 x 4 x 1 6) y 1 y y 3 y 4 y 1 onde )denotaaáreadoquadriláteroedevemos considerar o valor absoluto da expressão que está entre as barras verticais Em geral, se 1 n é um polígono convexo com n lados e tal que os vértices 1,,, n são enumerados consecutivamente num sentido de percurso fixado horário ou anti-horário), então sua área é dada por ) 1 x 1 x x n x 1 7) y 1 y y n y 1 qui, novamente devemos considerar o valor absoluto da expressão que está entre as barras verticais y 4 y 3 1 y 1 4 x 1 x x 4 x 3 Figura : o quadrilátero convexo 1 3 4, dividido nos triângulos 1 4 e 3 4 Exemplo 3 Calcule a área de um polígono regular de n lados em função de n e do raio R do círculo circunscrito a esse polígono Solução Podemos escolher o sistema de eixos de modo que a origem coincida com o centro do círculo circunscrito ao polígono Também podemos supor, sem perda de generalidade, que um dos vértices do polígono é o ponto R,0) Então, sendo θ π n a medida do ângulo central correspondente a um lado do polígono, os demais vértices correspondem aos pontos Rcosθ,Rsenθ), Rcosθ,Rsenθ), Rcos3θ,Rsen3θ),Rcosn )θ,rsenn )θ) e Rcosn 1)θ,Rsenn 1)θ) veja a figura 3) 3 matematica@obmeporgbr

4 Figura 3: um polígono regular de n lados ssim, denotando por n a área de um polígono regular de n lados inscrito no círculo de raio R, obtemos n 1 R R Rcosθ Rcosθ Rcosn 1)θ R 0 Rsenθ Rsenθ Rsenn 1)θ 0 senθ +senθcosθ +sen3θcosθ +sen4θcos3θ + +senn 1)θcosn )θ senθcosθ senθcos3θ sen3θcos4θ senn )θcosn 1)θ senn 1)θ grupando os produtos de senos e cossenos e usar a fórmula do seno da diferença senα β) senαcosβ senβcosα, obtemos sucessivamente n R ) senθ + senθcosθ senθcosθ R R + sen3θcosθ senθcos3θ ) + sen4θcos3θ sen3θcos4θ ) + + senn 1)θcosn )θ senn )θcosn 1)θ ) senn 1)θ senθ +senθ θ)+sen3θ θ)+ +senn 1)θ n )θ) senn 1)θ) n 1)senθ senn 1)θ) gora, como θ π n, temos que senn 1)θ) sen π π ) sen π n n senθ Então, n R n 1)senθ +senθ nr π sen n Podemos resumir o resultado do exemplo anterior escrevendo n nr sen π n Observe que não há necessidade do módulo na última expressão acima, pois, como n 3, temos π n π e, daí, sen π n > 0 Como casos particulares da fórmula acima, temos que 3 3 3R, 4 R e 6 3 3R 4 são as áreas do triângulo equilátero, do quadrado e do hexágono regular, respectivamente, dadas em função do raio R do círculo circunscrito a tais polígonos 3 Uma aplicação interessante Nesta seção, aplicaremos os resultados das seções anteriores para resolver um problema não trivial Exemplo 4 Seja BC um triângulo Sobre o lado B desse triângulo, marcamos dois pontos P e Q de modo que P PQ QB, e sobre o lado BC desse mesmo triângulo, marcamos dois pontos M e N tais que BM MN NC Os segmentos M, N, CP e CQ se intersectam e, ao fazê-lo, delimitam um quadrilátero contido no interior do triângulo, o qual se encontra destacado em verde na figura 4 Mostre que a razão entre as áreas do triângulo BC e do quadrilátero em questão será sempre a mesma, não dependendo da escolha particular do triângulo BC Figura 4: quadrilátero no interior de um triângulo 3 matematica@obmeporgbr

5 Solução Chamemos de T a área do triângulo BC e de L a área do quadrilátero destacado na figura 4 Vamos mostrar que T L 70 9 Escolha um sistema de eixos de modo que C 0,0) seja a origem e B b,0) esteja sobre o eixo das abscissas lém disso, seja x,y ) área do triângulo BC é T 1 0 x b 0 0 y 0 0 b y Vamos, agora, encontrar as coordenadas dos vértices do quadrilátero situado no interior do triângulo ComoospontosP e Qdividem o ladob emtrêspartes iguais, temos y Q y 3 e y P y 3 Por outro lado, a equação da reta B é y y x x b) b Daí, segue que x b+ yx b), de sorte que y x Q b+ x b b+x 3 3 e x P b+ x b b+x 3 3 Umavezque C 0,0) éaorigem, asequaçõesdasretas CP e CQ são, respectivamente, CP : y y P x y x, x P b+x y CQ : y y Q x x x Q b+x Para obter as equações das retas M e N, começamos notando que as coordenadas de M e N são M b 3,0) e N b 3,0), pois os pontos M e N dividem o lado BC em três partes iguais ssim, as equações reduzidas das retas M e N são y M : y 3x b 3x b), y N : y 3x b 3x b) Estamos finalmente em posição de calcular as coordenadas dos quatro pontos de interseção dos dois pares de retas acima Esses quatro pontos, que vamos chamar de U CP M, V CQ M, W CQ N e Z CP N, são os vértices do quadrilátero cuja área L queremos comparar com a área de BC Por exemplo, para obter as coordenadas do ponto U, resolvemos primeiramente a equação CP {}}{ y x +b x y y 3x b 3x b) }{{} M ou, o que é o mesmo, Ora, x x +b 3x b 3x b x x +b 3x b 3x b 6x 4b x 3x b x +b b 3 6x ) 4b x x +b 7 b b x +b x x x +b 7 Portanto, x U x+b 7 e, substituindo esse resultado na equação de CP, encontramos y U y x +b 4x +b y U 4y }{{ 7 } 7 x U ssim, as coordenadas do ponto U são x +b U, 4y ) 7 7 Raciocinando de modo análogo, encontramos as coordenadas dos demais pontos: x +b V, y ), 4 4 x +b W, y ), 7 7 x +b Z, y ) 5 5 gora, podemos utilizar a fórmula 6) para calcular a área L do quadrilátero UVWZ: L 1 x U x V x W x Z x U y U y V y W y Z y U 1 4x +b x X+b x +b x +b 4x +b y y 4 y 7 y 4y x y +by + x y +by + x y +4by x y +4by 4x y +8by x y +by x y +by 8x y +4by by 35 6by 8 Simplificando, obtemos L by, 4 matematica@obmeporgbr

6 de sorte que T L by / 9 by / Dicas para o Professor Três encontros de 50 minutos cada são suficientes para cobrir o material desta aula Caso você já tenha visto com seus alunos a aula sobre a equação da reta, pode pular a Seção 1 ou percorrê-la rapidamente, a título de revisão No entanto, há, na Seção 1, uma demonstração diferente daquela vista anteriormente para a fórmula da área do triângulo Você pode explorar essa nova abordagem como aplicação das fórmulas para as distâncias de ponto a ponto e de ponto a reta É importante que você enfatize a necessidade de se considerar o valor absoluto nas fórmulas O exemplo mostra que a presença do módulo na fórmula permite que possamos encontrar as duas possíveis soluções para o problema O exemplo 4 é mais elaborado e trabalhoso, sendo mais adequado a um trabalho de pesquisa com os alunos do que para uma aula expositiva De todo modo, uma possibilidade é fazer em sala o caso em que BC é retângulo em C; isso facilita bastante os cálculos, uma vez que podemos escolher a abscissa do ponto como sendo igual a 0 Sugestões de Leitura Complementar 1 E L Lima et al Matemática do Ensino Médio, vol3 Coleção do Professor de Matemática, Editora SBM, Rio de Janeiro, 1998 Caminha Tópicos de Matemática Elementar, vol Geometria Euclidiana Plana Coleção do Professor de Matemática, Editora SBM, Rio de Janeiro, matematica@obmeporgbr