Material Teórico - Módulo de Função Logarítmica. Praticando as Propriedades. Primeiro Ano - Médio

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1 Material Teórico - Módulo de Função Logarítmica Praticando as Propriedades Primeiro Ano - Médio Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto 06 de maio de 209

2 Nesta aula, iremos resolver alguns eemplos em que se aplicam as propriedades dos logaritmos estudadas na aula Função Logarítmica e Propriedades. Simplificação de epressões Eemplo. Se n é um número natural maior do que 2, considere A = log 3 2 log 4 3 log 5 4 log n n ) ) a) Simplifique a epressão ). b) Verifique que A pode estar tão próimo de zero quanto se queira, desde que n seja suficientemente grande. Solução. a) Vamos usar a fórmula de mudança de base veja a aula Logaritmos e suas propriedades, parte, p.3): log a b = log c b log c a. Em nosso caso, usaremos a base e mas poderíamos utilizar outra base qualquer): log a b = ln b ln a, 2) em que ln = log e é o logaritmo de na base e. Aplicando 2) aos fatores de ), obtemos A = ln 2 ln 3 ln 3 ln 4 ln 4 lnn 2) lnn ). ln 5 lnn ) ln n O cancelamento de termos que se repetem nos numeradores e denominadores simplifica a epressão para A = ln 2 ln n = log n 2. Vale observar que, sendo n > e 2 >, temos A = log n 2 > log n = 0, ou seja, A é positivo. b) Seja ε > 0 um número real escolhido arbitrariamente pense em ɛ como um número positivo e pequeno). Queremos encontrar um número natural n 0 tal que n n 0 A = log n 2 < ε. Na epressão acima, ε pode ser interpretado como uma eigência imposta sobre A: quanto menor for ε, maior será a eigência imposta sobre A. É preciso, então, encontrar um n 0 suficientemente grande para que a eigência imposta seja cumprida, sempre que n n 0. Uma vez que n >, a função log n é uma função crescente. Assim, a desigualdade log n 2 < ε é equivalente a n ε > 2. Por sua vez, n ε > 2 é equivalente a n > 2 /ε. Seja n 0 = 2 /ε + o primeiro número natural a superar 2 /ε. Então, n n 0 n > 2 /ε e, como vimos acima, isso implica log n 2 < ε. Na linguagem do Cálculo a situação acima é descrita pela seguinte frase: A tende a zero quando n tende ao infinito. Eemplo 2. Dado um real positivo a, simplifique a epressão loglog a) a log a. 3) Usando a de- Solução. Chame a epressão dada de. finição de logaritmo, obtemos loglog a) = log log a a = log log a, onde a última igualdade foi obtida com a ajuda da fórmula de mudança de base. Assim, loglog a) = log log a log a e, cancelando o fator log a no segundo membro da igualdade acima, obtemos loglog a) = log. Por fim, uma vez que a função logarítmica é injetiva, a igualdade acima implica = log a. 2 Epressões algébricas envolvendo logaritmos Eemplo 3. Seja > um número real e suponha que a = log ) e b = log ). Calcule log ) em função de a e b. Solução. Primeiramente, chamemos y = e observemos que y 3 = ) 3 = ) ) ) 3 = = ). matematica@obmep.org.br

3 Logo, 3 3 = y3 + 3 ) = y 3 + 3y = yy 2 + 3), de sorte que log 3 ) 3 = logyy 2 + 3)) Agora, temos = log y + logy 2 + 3). y 2 = ) 2 = ) + 2 = , de modo que y = Então, 2 b = log 2 + ) 2 + = logy 2 + 3). Voltando à epressão 4), obtemos finalmente log 3 ) 3 = log y + logy 2 + 3) = a + b. Eemplo 4. Sejam a e b números reais positivos tais que a 2 + b 2 = 7ab. Mostre que log a + b = log a + log b). 3 2 Solução. Inicialmente, a partir da igualdade dada a 2 + b 2 = 7ab, obtemos, somando 2ab a ambos os membros: o que é equivalente a a 2 + 2ab + b 2 = 9ab, a + b) 2 = 9ab. Etraindo raízes quadradas, ficamos com ou, o que é o mesmo, a + b = 3 ab 4) a + b = ab) /2. 3 Por fim, aplicando logaritmos a ambos os membros, obtemos log a + b 3 = logab) /2 = log a + log b). 2 Eemplo 5. Sejam um número real positivo e a um número real maior do que. Escreva y = a log a e z = a log a y. Mostre que = a. Solução. Pela definição de logaritmo, a segunda igualdade dada é equivalente a = log a y. Invertendo ambos os membros, obtemos = log a y log a y =. Por outro lado, da primeira igualdade dada, segue que log a y = log a. Igualando os segundos membros dessas duas últimas igualdades, obtemos = log a. Essa igualdade é equivalente a Então, log a = = log a = =. = = = e esta igualdade acarreta que = a. 3 Equações logarítmicas Eemplo 6. Encontre as soluções da equação log ) 3 ) = 2. Solução. Antes de resolver a equação, devemos determinar os valores de para os quais o logaritmo em questão está definido. 2 matematica@obmep.org.br

4 As condições de definição para a base do logaritmo são > 0 e, isto é, > e 2. Para o logaritmando, a condição é 3 > 0, ou seja, < 3. Assim, devemos ter < < 3 e 2, ou seja,, 2) 2, 3). Agora, pela definição de logaritmo, temos log ) 3 ) = 2 3 = ) 2, que por sua vez é equivalente a = 3 ou, ainda, 2 2 = 0. As soluções dessa equação quadrática são = 3 e = 4. Destas, apenas = 4 pertence ao conjunto de valores permitidos para, de forma que a única solução é = 4. Eemplo 7. Resolva a equação log 5 ) log 5 5) + log 5 5 5) = 6. Solução. A equação dada é equivalente a ou seja, log5 /2 ) log 5 3/2 + log 5 /2 5 3/2) /2 = 6, 3 2 log 5 2 log ) /2 2 log 5 5 = 6. Por sua vez, isso é o mesmo que ) /2 3 2 log 5 2 log = 6. Fazendo y = log 5, concluímos que a equação dada equivale a ) /2 3 2y 2y + 3 = 6. 5) Elevando ambos os membros dessa última equação ao quadrado, obtemos ) 3 4y 2 2y + 3 = 6. 6) Veja que 5) e 6) não são mais equivalentes; 5) implica 6), mas a recíproca não é verdadeira. Assim, após encontrarmos as soluções de 6), teremos de verificar quais delas também resolvem 5) A fim de resolver 6), distribuímos a multiplicação do primeiro membro, para obter 6y + 2y 2 = 6 ou, o que é o mesmo, 2y 2 + y = 0. Essa equação tem raízes y = e y = /2. Dentre esses valores, somente y = resolve 5). Então, como y = log 5, temos que log 5 =, logo, = /5. Eemplo 8. Resolva o sistema de equações a seguir: { log2 + y) log 3 y) = 2 y 2. = 2 Solução. Fatorando a segunda equação, obtemos + y = 2 y. 7) Substituindo essa epressão para + y na primeira equação, obtemos ) 2 log 2 log y 3 y) =. Essa equação, por sua vez, é equivalente a log 2 y) log 3 y) =. Mudando o logaritmo de base 3 para a base 2, obtemos ou seja, Assim, log 2 y) log 2 y) = 0, log 2 3 log 3 2 log 2 y) + log 2 y) = 0. + log 3 2) log 2 y) = 0 e, como + log 3 2 0, segue que deve ser log 2 y) = 0. Então, y = 2 0 =, e 7) fornece + y = 2. Por fim, resolvendo o sistema linear { y = + y = 2, chegamos a = 3/2 e y = /2. Dicas para o Professor Nesta aula, você vai encontrar alguns eemplos cujas soluções envolvem a aplicação de propriedades ou da definição de logaritmo. Ela pode ser coberta em um ou dois encontros de 50 minutos, dependendo do nível de desenvoltura dos alunos com tema. Não tivemos a intenção de eaurir todos os eemplos possíveis de identidades, epressões e equações envolvendo logaritmos, mas apenas dar uma rápida ideia de como este objeto pode surgir em problemas desse tipo. Nesse sentido, sugerimos a consulta das sugestões de leitura complementar, onde você poderá encontrar mais eemplos para trabalhar com suas turmas. 3 matematica@obmep.org.br

5 Sugestões de Leitura Complementar. A. Caminha. Tópicos de Matematica Elementar, vol. 3. SBM, segunda edição. Rio de Janeiro, SBM, G. Iezzi, O. Dolce, C. Murakami. Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 2, quarta edição. São Paulo, Ed. Atual, E. L. Lima. Logaritmos. Rio de Janeiro, SBM, V. A. Krechmar. A Problem Book in Algebra. Moscou, Mir, matematica@obmep.org.br