Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 09 Licenciatura em Matemática Osasco -2010

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1 . Logaritmos Definição: O logaritmo de um número real x na base n, denotado por log n x, é definido como o expoente ao qual devemos elevar o número n para obtermos como resultado o número x, ou seja log n x = a x é chamado de logaritmando. Defini ção n a = x Para que a definição seja coerente, trabalhamos somente com bases e logaritmando positivos, isto é, n > 0 e x > 0. Também, para manter a coerência trabalhamos com a base n. Exemplos: log 8 = 4, porque 4 = 8 log 5 = 0, porque 5 0 = log 4 8 = 2, porque 4 2 = = = 2 = 8 Quando a base não é indicada explicitamente, subentendemos que se trata de um logaritmo na base 0. Exemplo: log 000 =, pois 0 = 000 Cálculo do Logaritmo Para calcularmos o logaritmo de um número numa base dada, usamos a definição e resolvemos uma equação exponencial. Por exemplo: Calcular log 2 8 Temos, pela definição log 2 8 = a 2a = 8 Resolvendo a equação exponencial 2 a = 8, obtemos Logo, 2 a = 8 = 2 log 2 = a = 8

2 Propriedades dos logaritmos (decorrentes da definição) a) log a = 0 b) log a a = c) a log a b = b d) log a b = log a c b = c e) O logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos: log a (b. c) = log a b + log a c f) O logaritmo de um quociente é a diferença dos logaritmos: log a b c = log a b log a c g) Logaritmo da Potência: log a b c = c. log a b Mudança de base Para os logaritmos também a válida a seguinte propriedade que permite a mudança de base do logaritmo que se quer calcular: Se a,b e c são reais positivos com a e c diferentes de, então vale que Exemplos: a) log 5 = log 2 5 log c2 log a b = log c b log c a b) log 00 = log 0 = log 0 log Função Logarítmica Dada uma constante fixa a que é real positiva e diferente de, chamamos de função logarítmica de base a, a função que associa a cada valor de x ao seu logaritmo na base a: f: R + R, tal que f x = log a x

3 Propriedades da função Logarítmica a) A função logarítmica só esta definida para valores positivos, ou seja, ao escrevermos f x = log a x, estamos subentendendo que o logaritmando x é sempre positivo. b) A função logarítmica f x = log a x é a função inversa da função exponencial g x = a x c) Se a base a da função logarítmica for maior do que (a > ), então f x = log a x será uma função crescente e seu gráfico terá o seguinte aspecto: f x = log 2 x d) Se a base a da função logarítmica for um número entre zero e um (0 < a < ), então f x = log a x será uma função decrescente e seu gráfico terá o seguinte aspecto e) Assim com a função exponencial, a função logarítmica é injetora.

4 Exemplo: Construir o gráfico cartesiano da função f x = log 2 x, para x > 0. Se construirmos uma tabela e plotarmos os pontos encontrados obtemos.. Equação Logarítmicas Uma equação logarítmica é uma equação que utiliza a operação de logaritmo em sua formulação. Por exemplo log 2 (2x + ) = log 2 5 log 2 ( x + 4) = 4 Solução de equações logarítmicas Exemplo Seja a equação log 2 (2x + ) = log 2 5. Para resolver esta equação, nos apoiamos no fato de que a função logarítmica é uma função injetora, o que informa que se log a x = log a y, então x = y. Neste caso então log 2 (2x + ) = log 2 5 2x + = 5, e, portanto x = 4.

5 Exemplo 2 log 2 ( x + 4) = 4 Neste caso, decorre da própria definição de logaritmo que 2 4 = x + 4 x = x = 2 Exemplo Considere a equação log 2 x 2 log 2 x = 2 Neste caso, fazemos inicialmente uma mudança de variáveis substituindo log 2 x por y. Teremos y 2 y 2 = 0 Ao resolvermos a equação do segundo grau acima obtemos como soluções y = e y = 2 Se y = temos log 2 x = y log 2 x = x = 2 = 2 Se y = 2 temos log 2 x = y log 2 x = 2 x = 2 2 = 4 Portanto, temos como soluções x = 2 ou x = Inequação Logarítmica Uma inequação logarítmica é uma inequação (caracterizada por uma desigualdade) que utiliza a operação de logaritmo em sua formulação. Por exemplo log 2 (2x + ) > log 2 5 log 2 ( x + 4) < 4

6 Solução de inequações logarítmicas Para solucionarmos as inequações logarítmicas temos que nos lembrar de que : Se base a do logaritmo for maior do que um, a função logarítmica é crescente, e, teremos Se a >, então 0 > x > y log a x > log a y Note que estamos impondo 0 > x pois o logaritmo não é definido para valores negativos (já que a base é positiva). Se a base a do logaritmo for menor do que um, a função logarítmica é decrescente, e, por este motivo, teremos Se < a <, então 0 < x < y log a x > log a y Note que, novamente, estamos impondo 0 > x pois o logaritmo não é definido para valores negativos (já que a base é positiva). Exemplo Resolver a inequação log x + 2 < 2 Note que podemos escrever 2 = log 2, e então log x + 2 < 2 log x + 2 < log 2 Como a base a = é maior do que um teremos log x + 2 < log 2 0 < x + 2 < 2 Resolvendo a inequação 0 < x + 2 < 9, obtemos De x + 2 < 9 x < 7 x < 7, e De 0 < x < x x > 2 Portanto, as soluções são dadas pelo conjunto S = {x R 2 < x < 7 }

7 Exemplo 2 Resolver a inequação Temos log log 2x 2 7x x 2 7x + 5 log Como a base a = é menor do que um teremos 2 = log 9 2x 2 7x Resolvendo a equação 2x 2 7x + 5 9, obtemos De 2x 2 7x x 2 7x 4 0 As raízes da equação 2x 2 7x 4 = 0 serão x = e x = 4, como o coeficiente de 2 x 2 é positivo ( igual a 2), sabemos que entre suas raízes a função quadrática f x = 2x 2 7x 4 = 0 é negativa. Portanto 2x 2 7x 4 terá sinal positivo ou nulo se x, ou se x 4. 2 Portanto as soluções pertencem ao conjunto S = {x R x ou x 4} 2