Noção de conjuntos Representação de um conjunto Relações de Pertinência Conjunto universo, unitário e vazio Conjunto universo Igualdade de conjuntos

Transcrição

1

2 Módulo 1 Conjuntos Noção de conjuntos A noção de conjuntos em matemática, é a mesma que a noção de conjunto que se tem no dia a dia, ou seja, conjunto, em matemática, é um agrupamento de coisas que possuem uma característica em comum. Exemplo: Conjunto dos números pares: 0, 2, 4, 6, 8,... Conjunto dos dias da semana em que uma pessoa pratica natação: segunda-feira, quarta-feira, sextafeira. Um conjunto é formado por elementos. Entre elementos e conjuntos podemos determinar duas relações. Essas relações serão descritas a seguir. Relações de Pertinência Dizemos que se o elemento x está dentro de um conjunto A, então este elemento x pertence ao conjunto A. Matematicamente temos: x A. Mas, se um elemento x não está dentro de um conjunto A, dizemos que este elemento não pertence ao conjunto A. Matematicamente, temos: x Conjunto universo, unitário e vazio Conjunto universo Considere a seguinte situação: Uma empresa de consultoria foi contratada para fazer um estudo sobre a faixa salarial dos funcionários de uma indústria. Para isso, é necessário que a empresa conheça o universo em que ela realizará seu estudo, ou seja, o conjunto ao qual os funcionários pertencem. Esse conjunto pode ser considerado como conjunto universo. Conjunto universo, que indicamos por U, é o conjunto formado por todos os elementos utilizados para estudar uma situação. Por exemplo, ao resolver a equação x² = 4, considerando como conjunto universo U tal que U é o conjunto dos números naturais, encontramos uma única solução: x = 2 Agora, se considerarmos U como o conjunto dos números inteiros, a equação terá duas soluções: x = 2 ou x = 2 Conjunto unitário Considere o conjunto C = {x x é um número natural primo e par}. Como o único número natural primo e par é o 2, pois os outros números naturais pares são divisíveis por 2, o conjunto C é formado por um único elemento. Chamamos esse conjunto de conjunto unitário. Podemos representar o conjunto C por: C = {2} Conjunto unitário é o conjunto formado por um único elemento. Conjunto vazio Considere o conjunto B = {x x é um número primo par maior que 5}. Como não existe nenhum número primo par maior que 5, o conjunto B não possui nenhum elemento. Nesse caso, podemos chamar esse conjunto de conjunto vazio. Conjunto vazio, cuja notação é Ø ou { }, é o conjunto que não tem elementos. Representação de um conjunto Podemos representar os conjuntos utilizando três formas: Levando em consideração uma propriedade que todos os elementos do conjunto, e somente eles, verificam; Enumerando os elementos; Desenhando uma figura (diagrama de Venn). Exemplos: Vamos representar de diferentes formas o conjunto A formado pelos elementos 1, 3, 5, 7 e 9: Considerando uma propriedade que todos os elementos do conjunto, e somente eles, verificam: A = { x x é um número ímpar menor que 10} (Lemos: x tal que x é um número ímpar menor que 10.) Enumerando os elementos: A = {1, 3, 5, 7, 9} Utilizando o Diagrama de Venn: Igualdade de conjuntos Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais (A = B) se e somente se todos os elementos de A também forem elementos de B. Porém, se o conjunto A tem um elemento que não pertence ao conjunto B, dizemos que A é diferente de B (A B). Subconjunto de um conjunto Dizemos que A é subconjunto do conjunto B se, e somente se, todos os elementos de A pertencem a B. Exemplo: Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Sendo assim, podemos afirmar que A é subconjunto de B, já que todos os elementos de A, também pertencem a B. Para indicar a relação entre os conjuntos A e B, usamos a notação: A B (Lemos: A está contido em B.) Como o conjunto A está contido em B, também dizemos que B contém A. Usando notação: B A (Lemos: B contém A.)

3 Se um conjunto A não é subconjunto de B, afirmamos que A não está contido em B. Indicamos por: A B. Por exemplo, considere os conjuntos abaixo: A = {1, 2, 3, 7} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} C = {0} A B C B C A Operações com Conjuntos União de conjuntos Considere os conjuntos A = {1, 3, 5, 7} e B = {0, 2, 4, 6}. Unindo em um conjunto C os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao B, temos: C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Dizemos que C é o conjunto resultante da união de A e B e indicamos por: A B = C (Lê-se: A união B é igual a C.). Assim, definimos a união de conjuntos como: Dados dois conjuntos, A e B, a união de A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. A B = {x x A ou x B} Intersecção de conjuntos Considere A = {x x é um número natural menor que 8} e B = { x x é um número natural par menor que 10}. Se formarmos um conjunto C com os elementos comuns a A e a B, ou seja, com elementos que pertencem tanto a A quanto a B, obteremos: C = {0, 2, 4, 6} Dizemos que C é o conjunto resultante da intersecção de A e B e indicamos por: A B = C (Lemos: a intersecção de A e B é igual a C, ou A inter B é igual a C.). Assim, podemos definir a intersecção como: Dados dois conjuntos, A e B, a intersecção de A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e a B. A B = {x x A e x B} Observação: Quando A B = Ø, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Diferença de conjuntos Considere os conjuntos: A = {x x é um número natural e está entre 20 e 30} e B = {x x é um número primo menor que 30} Podemos formar um conjunto D com os elementos que pertencem ao conjunto A, mas não pertencem a B. Dizemos que o conjunto D é a diferença entre A e B. Listando os elementos do conjunto D, temos: D = {21, 22, 24, 25, 26, 27, 28}. Definimos então a diferença de conjuntos, como: Dados dois conjuntos, A e B, a diferença entre A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B. A B = {x x A e x B} Complementar de um conjunto Considere agora dois conjuntos, A e B, tais que B A. Chamamos de complementar do conjunto B em relação a A o conjunto dado por A B, que indicamos por. Assim, podemos definir o complementar de um conjunto como sendo: Matematicamente, temos: Observação: O complementar de um conjunto A em relação ao conjunto universo U também pode ser escrito com a notação A C. Aplicação das operações com conjunto Em alguns problemas que envolvem a noção de conjuntos, especialmente aqueles que se referem a pesquisas, não importa saber quais elementos pertencem a um ou a outro conjunto, mas sim estabelecer o número de elementos de cada conjunto. Problemas dessa natureza podem ser resolvidos pela aplicação das operações com conjuntos. Vamos analisar o que ocorre com o número de elementos de um conjunto resultante de algumas operações. No quadro abaixo, considere as seguintes representações: A e B são dois conjuntos finitos quaisquer; n(a) é o número de elementos do conjunto A; n(b) é o número de elementos do conjunto B.

4 Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Naturais Conjunto dos números naturais: A origem dos números naturais está associada à necessidade de contagem. O conjunto dos números naturais tem infinitos elementos e é indicado por: {0, 1, 2, 3, }. Todo número natural pode ser associado a um ponto da reta. Para representar o subconjunto dos números naturais sem o zero, utilizamos a notação: {1, 2, 3,...} Obs.: Em geral, o asterisco junto ao símbolo de um conjunto significa que o elemento zero foi retirado desse conjunto. No conjunto dos números naturais, são definidas as operações de adição e de multiplicação, nas quais verificamos que quaisquer dois números naturais somados ou multiplicados resultam em um número natural. Mas se efetuarmos a subtração de dois números naturais, nem sempre o resultado será um número natural. Subtraindo, por exemplo, 78 de 73, a diferença será 5, e 5. Conjunto dos Números Inteiros Z Se acrescentarmos os números negativos aos naturais, formamos o conjunto de números ainda maior que o conjunto dos naturais e que recebe do nome de conjunto dos números inteiros, representado por: Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, } Os números inteiros também podem ser representados em uma reta ordenada, assim como a maioria dos conjuntos. No conjunto dos números inteiros, dizemos que dois números são opostos ou simétricos, quando eles possuem mesmo valor absoluto (desconsiderando o seu sinal) e sinais opostos, por exemplo: 1 e -1 são opostos. O conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos números inteiros: Z Algumas notações especiais: Conjunto dos inteiros não nulos: Z* = {, 2, 1, 1, 2, } Conjunto dos inteiros não negativos: Z + = {0, 1, 2, 3, } Conjunto dos inteiros não positivos: Z = {, 3, 2, 1, 0} Em Z, além da adição e da multiplicação, podemos operar livremente com a subtração, porém na divisão entre dois números inteiros nem sempre o resultado será um número inteiro. Daí a necessidade de ampliar o conjunto Z. Conjunto dos Números Racionais O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser escritos na forma de uma razão a b, com a Z e b Z*. Q = {x x = a b, a Z e b Z* } Todo número inteiro pode ser expresso por meio de uma fração, então todo número inteiro também é um número racional, o mesmo acontece para os números naturais, visto que, todo número natural também é inteiro. Pelo diagrama de conjuntos, temos: Além disso, temos que os números racionais também podem ser representados na forma decimal. Sendo assim, tem-se que os números racionais podem ser escritos como números decimais na forma de um decimal exato ou de uma dízima periódica. Algumas notações especiais dos subconjuntos de Q: Conjunto dos números racionais não nulos: Q * Conjunto dos números racionais não negativos: Q + Conjunto dos números racionais não positivos: Q. Conjunto dos Números Reais Sabemos que os números racionais podem ser escritos na forma de razão entre inteiros e sua representação decimal pode ser um decimal exato ou uma dízima periódica. Mas há números que não podem ser escritos na forma de fração e sua representação decimal é infinita e não periódica. Esses números são chamados de números irracionais. Exemplo: 2. A reunião do conjunto dos números racionais com o dos números irracionais resulta no conjunto dos números reais, representado por R.

5 Utilizando o diagrama, temos que R é: No entanto, se o intervalo fosse { y R 1 3 y 1 }, ou seja, se os dois extremos pertencessem ao 2 intervalo, diríamos que o intervalo é fechado. O intervalo dos números reais maiores que 3. A representação geométrica desse intervalo é: Outros subconjuntos de R que têm notação especial são: Conjunto dos números reais não nulos: R * Conjunto dos números reais não negativos: R + Conjunto dos números reais não positivos: R Intervalos Numéricos Representação de subconjuntos por intervalos Certos subconjuntos de R podem ser representados pela notação de intervalos. A representação pode ser algébrica ou geométrica. Veja alguns exemplos: O intervalo dos números reais entre 4 e 0. A representação geométrica desse intervalo na reta numérica é: A representação algébrica desse intervalo pode ser: {z R z > 3} ou ] 3, + [. O símbolo representa infinito. Nesse caso, dizemos que é uma semirreta aberta de origem em 3. Agora, se o intervalo fosse {z R z 3}, ou seja, se o 3 pertencesse ao intervalo, diríamos que a representação geométrica é uma semirreta de origem em 3. Observe o quadro resumo de todas as possibilidades de representação de um intervalo de números reais (consideramos a e b números reais tais que a < b). Observe que, nas extremidades 4 e 0, usou-se uma bolinha aberta (o). Isso significa que os números 4 e 0 não estão dentro do intervalo. Nesse caso, chamamos o intervalo de intervalo aberto. A representação algébrica desse intervalo pode ser: {x R 4 < x < 0} ou ] 4, 0[ A indicação 4 < x < 0 é o agrupamento de x > 4 (portanto, 4 < x) e x < 0. O intervalo dos números reais entre 1 3 (inclusive o 1 3 ) e 1 2. A representação geométrica desse intervalo é: Observe que o extremo 1 pertence ao intervalo, 3 por isso foi usada uma bolinha fechada ( ) no ponto correspondente a esse número. Dizemos, então, que o intervalo é fechado à esquerda. A representação algébrica desse intervalo pode ser: {y R 1 3 y < entre 1 2 } ou Observação: O intervalo em que aparece + é aberto à direita e o intervalo em que aparece é aberto à esquerda. Operações com Intervalos Vamos analisar como realizar as operações de união, intersecção e diferença com intervalos numéricos utilizando o recurso da representação geométrica.

6 Exemplos a. Dados os conjuntos A = {x R 3 x < 2} e B = {x R 0 < x 8}, determine A B. Inicialmente, representamos a união desses conjuntos A e B em retas de números reais, paralelas. Em seguida, representamos a união desses conjuntos em uma terceira reta real paralela às anteriores. Como o conjunto procurado é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B, temos: A B = {x R 3 x 8} ou [ 3, 8] b. Dados os conjuntos A = {x R 1 x < 4} e B = {x R 2 x 7}, determine A B. Inicialmente, representamos os conjuntos A e B. Em seguida, representamos a intersecção desses conjuntos. Módulo 2 Função Função definição A ideia de função é encontrada no dia a dia com facilidade e muitas vezes não é levada em consideração, sendo assim, vamos exemplificar situações nas quais podemos identificar a ideia de função. Consumo: Sabendo que, em certa padaria, o preço do pão integral é R$ 1,81 por unidade, podemos calcular o valor a ser pago em uma compra relacionando duas grandezas: a quantidade de pães comprados e o preço correspondente a essa quantidade. A variável preço está em função da variável quantidade de pães, sendo assim, na medida que aumentar o número de pães, aumenta o preço a ser pago. Meteorologia: Todos os dias, antes de ir para o trabalho, Luciana consulta a previsão do tempo pela internet. Pelas medições do serviço meteorológico, é possível fazer a relação mensal da temperatura média de uma cidade a cada dia e registrar em uma tabela. O conjunto procurado será o conjunto de todos os elementos que pertencem a A e a B ao mesmo tempo: A B = {x R 2 x < 4} ou [2, 4[ c. Dados os conjuntos A = {x R x < 2 ou x 3} e B = {x R 4 < x 7}, determine A B. Vamos determinar A B: Como a operação A B indica que devemos encontrar o conjunto de todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B, temos: A B = {x R x 4 ou x > 7} ou ], 4] ]7, + [ Assim sendo, podemos então definir função da seguinte forma: Dados os conjuntos A e B, uma função definida em A e com valores em B é uma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder um único elemento de B. O conjunto A é chamado domínio de f e é simbolizado por D(f). B é chamado contradomínio ou campo de valores de f. Representação: : A x (x) Exemplos: Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7} a) : A, representado no diagrama abaixo, é uma função de A em B (para cada elemento de A só há um elemento de B): Domínio de uma Função - D(f) Quando definimos uma função y=f(x), o domínio D(f) é o conjunto dos possíveis valores reais assumidos por x. Esses possíveis valores podem estar implícitos ou explícitos:

7 - Se é dado apenas f(x)=3x + 2, sem esclarecer qual é o domínio, está implícito que x pode ser qualquer número real, ou seja, D(f)=R - Se é dado f(x)=3x + 2, com 5 < x < 20, está explícito que o domínio da função dada pertence ao conjunto dos número reais entre 5 e 20, ou seja, D(f) = {xr 5 < x < 20}. - Se é dado apenas vejamos: - O domínio D(f) não está explícito; - Há valores variáveis no divisor; - Divisão por zero não é definida em R. Logo, o domínio D(f)={x R x 4 }, ou seja, x será qualquer número real, com exceção de 4, pois se x = 4, teremos uma divisão por 0. Note que quando x = 4, o divisor ficará ((2. 4)-8). - Se é dado apenas f(x)=, sem explicitar D(f), está implícito que (x-5) pode ser qualquer número real não negativo, ou seja, x-5 0 ou x 5. Logo, D(f)={x R x 5} Conjunto Imagem de uma Função - Im(f) O conjunto imagem, ou simplesmente imagem de uma função y=f(x), é o conjunto dos valores de y que estão associados a algum valor de x do domínio da função. A letra x pode assumir qualquer valor do primeiro conjunto e é por isso que é chamada variável independente. A letra y é a variável dependente, pois depende do valor de x. Exemplos: Procurando D(f) e Im(f), sendo f(x)= 2x+3, função de A em B, onde: A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 5, 7, 9,11, 13, 15} A função f(x) multiplica x por 2 e adiciona 3. Observe a tabela abaixo: 7 é a imagem de 2 e pela função, indica-se f(2)=7; 9 é a imagem de 3 e pela função, indica-se f(3)=9; 11 é a imagem de 4 e pela função, indica-se f(4)=11; 13 é a imagem de 5 e pela função, indica-se f(5)=13. Gráfico de uma Função Sendo f uma função, o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, f(x) = y) de um plano cartesiano (plano coordenado), onde x pertence ao domínio de f. Exemplos: O gráfico da função f(x)= 2x+3, consiste em todos os pares (x, y) ou (x, f(x)) R tais que y=2x+3. Em outras palavras, é a coleção de todos os pares ordenados (x, 2x+3) do plano xy. Vamos utilizar uma tabela de valores para traçarmos o gráfico: Estudo do Gráfico no Plano Cartesiano Observando o gráfico de uma função no plano cartesiano, podemos determinar o seu domínio e a sua imagem da seguinte forma. No gráfico abaixo temos: Veja os diagramas: D(f) = {1, 2, 3, 4, 5} Im(f) = {5, 7, 9, 11, 13} Conjunto B é o contradomínio Im(f) B No exemplo dado: 5 é a imagem de 1 e pela função, indica-se f(1)=5; O domínio de uma função é o intervalo expresso pela projeção do gráfico sobre o eixo das abscissas. E a imagem é o intervalo expresso pela projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas. Para cada x do domínio deve existir em correspondência um único y na imagem.

8 Função Inversa Denomina-se função inversa da função bijetora f : A B a função f-1: B A que se obtém trocando de posição os elementos de todos os pares ordenados da função f. Este gráfico não representa uma função, pois ao ser projetada uma reta sobre o eixo das abscissas encontra-se o gráfico em dois pontos diferentes. Ou seja, há para o mesmo x dois y correspondentes. Exemplo: f(-3)=4 e f(-3)=-4 Quando x=-3, temos y=-4 e y=4 Função Crescente e Decrescente a) Função Crescente : Se A B, então f é crescente em A [x2 > x1 = f ( x2 ) > f ( x1 ), x1, x2 A] Isto é, a um maior valor de x corresponde um maior valor de f(x). 3)} f = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)} f-1 = {(4,1), (5, 2), (6, Observação: Para se obter a inversa de uma função, devemos proceder da seguinte forma: - isola-se o x - troca-se x por y e y por x O gráfico abaixo, representa uma função e a sua inversa. Observe que as curvas representativas de f e de f -1, são simétricas em relação à reta y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. b) Função Decrescente : Se A B f é decrescente em [A ), x1, x2 A] x2 > x1 = f ( x2 ) < f ( x1 Exemplo: Dar a inversa da função:

9 Resolução: ( 5x + 1)y = 2x - 3 5xy + y = 2x - 3 5xy - 2x = - y - 3 x(5y - 2) = - y 3 x = = Assim: Função Constante Uma função é chamada de função constante quando é do tipo f(x) = k, onde k não depende de x. Exemplos: a) f(x) = 5 b) f(x) = -3 Obs : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x. Veja o gráfico a seguir: Função Composta Devemos entender que a função composta nada mais é que uma função dentro de outra. Usam-se duas notações para se representar uma composição de funções, ou seja: (1) F(g(x)) (2) Fog. Quando por exemplo, calculamos f(1) na função f(x) = x + 2, basta substituirmos todas variáveis x pelo valor 1, então teríamos, pelo exemplo f(1) = 1 +2, então f(1) = 3. No caso da função composta é a mesma coisa, a mudança é apenas que ao invés de substituirmos o x por algum número, substituímos o x por uma função correspondente. Função Inversa Devemos entender que a função inversa transforma o que é domínio em imagem e transforma o que é imagem em domínio. Antes de fazermos essa transformação, devemos tomar cuidado para ver se a função é bijetora (injetora e sobrejetora) ao mesmo tempo), pois se não for, não existirá função inversa. Siga então os passos listados para encontrar a função inversa de dada função: (1) Verifique se a função dada é bijetora (2) Em caso afirmativo, substitua, onde existir x na função troque por y e vice-versa. (3) Isole o y Esses são os passos para se encontrar a função inversa. A notação para a função inversa é dada a seguir: Função inversa= f-1 Ou seja, a notação da inversa é a função elevada a menos 1. Devemos lembrar que a notação f(x) é a mesma coisa que y. Definição: Dada a função ƒ: A em B, chama-se função inversa de ƒ, indicada por ƒ -1(x), a função ƒ -1 : B em A que associa cada y de B ao elemento x de A, tal que y = ƒ(x). Cálculo de uma função composta Para podermos calcular essa composição, devemos começar representando as funções de fora para dentro, ou seja, primeiro a função f(x) e logo em seguida a função g(x), dentro da primeira função. OBS.: 1) Apenas as funções bijetoras admitem função inversa. Nota sobre Função Bijetora Uma função ƒ: A em B é bijetora quando ƒ é sobrejetora e injetora.

10 Exemplo: Módulo 3 - Função Afim 2) Regra Prática para obtenção de uma Função Inversa: Trocar ƒ(x) ou a função que está representada por y. Trocar x por y e y por x. Isolar y para representá-lo como função de x. Trocar y por ƒ -1 (x). Exemplo: 1) Obter a função inversa da função ƒ(x) = 3x 2. ƒ(x) = 3x 2 y = 3x 2 x = 3y 2 3y = x + 2 y = (x + 2)/3 ƒ -1 (x) = (x + 2)/3 Lei de formação da função afim A lei de formação da função afim é dada por: y=f(x)=ax+b com a 0, pois com a=0 a função seria constante. Exemplos de função afim: a) y=2x+3 em que a=2 e b=3 b) y=-12x em que a=-12 e b=0 O que é coeficiente angular (taxa de crescimento)? Dada uma função f(x)= ax + b, o termo a é denominado de taxa de crescimento ou de coeficiente angular (em caso de gráfico), porque é ele que determina o quanto a função cresce. Exemplo: Um táxi cobra um valor fixo de bandeirada no valor de R$ 5,20 e a cada quilômetro rodado cobra um valor adicional de R$ 3,00. Determine a função que modela o preço da corrida em função dos quilômetros rodados. Caso uma pessoa entre no táxi e não ande, o preço da corrida será de R$ 5,20. Ao andar 1 quilômetro, o preço subirá para R$ 8,20. Ao andar 2 quilômetros, o preço será de R$ 11,20. Repare que a taxa de crescimento a cada quilômetro é de R$ 3,00. Logo, a taxa de crescimento da função é 3 e a lei de formação será f(x) = 3x+5,20, onde x é a quantidade de quilômetros rodados. O que é coeficiente linear? Dada uma função afim f(x) = ax + b, bé o coeficiente linear da função. Pelo coeficiente linear, é possível determinar onde o gráfico da função afim intersecta, ou seja, toca o eixo das ordenadas (eixo dos y) e isso acontece com o x=0. Exemplo: f(x) = 3x + 2 A função irá intersectar (tocar) a o eixo das ordenadas no ponto (0,2) f(0)=3.0+2=2 O gráfico de uma Função Afim O gráfico da função afim sempre será uma reta e ela pode ser crescente (caso a taxa de crescimento seja

11 maior que zero a>0) ou decrescente (caso a taxa de crescimento seja menor que zero a<0). Exemplos de gráfico de uma função crescente: Já que para realizarmos o estudo da variação do sinal precisamos conhecer previamente a raiz da função, de uma forma geral, uma função afim definida por, terá a seguinte raiz: Coeficiente Angular Maior que Zero (a > 0) Em uma função crescente quanto maior o x, maior será o f(x). Exemplos de gráficos decrescente: Em uma função decrescente quanto maior o x, menor será f(x). Raiz da função afim A raiz da função afim ocorre quando f(x)=0. Assim, em uma função f(x)=ax+b, a raiz da função será ax+b=0. ax=-b x=-b/a Estudo do Sinal de uma Função Afim Agora como base nestes conhecimentos, já podemos voltar ao tema central desta página. Estudar a variação do sinal de uma função polinomial do 1 grau nada mais é que identificar para quais valores de x temos f(x) com valor negativo, nulo ou positivo. Como citado acima, para saber se uma função afim é crescente ou decrescente isto vai depender do seu coeficiente angular (a) ser maior ou menor que zero. Então para a > 0 temos um gráfico crescente que pode ser semelhante a este: Neste gráfico vemos que f(x) < 0 para valores de x menores que a raiz. Nestas condições o sinal da função é oposto ao sinal de a, já que f(x) < 0 e estamos analisando a situação quando a > 0. Ao continuar a análise do gráfico vemos que para valores de x maiores que a raiz, temos f(x) > 0, então neste caso a função possui o mesmo sinal de a. Nem é preciso dizer que para valores de x iguais à raiz temos que f(x) = 0, isto é, a função é nula. Coeficiente Angular Menor que Zero (a < 0) Vamos voltar ao gráfico da função e analisá-lo deste outro ponto de vista. Para valores de x menores que a raiz, isto é, x < 3, vemos que f(x) < 0, pois estes pontos estão abaixo do eixo das abscissas. Para valores de x iguais à raiz temos que a função é nula, isto é, f(x) = 0. Para valores de x maiores que a raiz, ou seja, x > 3, vemos no gráfico que f(x) > 0, já que estes pontos estão acima do eixo das abscissas. Generalizando o Estudo da Variação do Sinal de uma Função Afim Agora vamos analisar a situação quando temos a < 0, a qual representamos através deste outro gráfico: Podemos notar que quando a < 0 o sinal da função se comporta de maneira oposta ao que tínhamos quando a > 0. Para valores de x menores que a raiz podemos observar que f(x) > 0, possuindo a função, portanto, sinal oposto ao de a, que é menor que zero.

12 Já para valores de x maiores que a raiz vemos que f(x) < 0, logo possuindo a função o mesmo sinal de a. Lembrando que a raiz da função é, para uma melhor compreensão dos textos acima, podemos assim resumir estas explicações na seguinte tabela: f(x) < 0 f(x) = 0 f(x) > 0 a < 0 a > 0 Estudando o sinal da função, porém através da tabela: Como a = 3 e, a > 0, utilizaremos os dados a última coluna, além disto foi visto anteriormente que a raiz desta função também é igual a 3. Vamos reconstruir a tabela substituindo a raiz pelo seu valor 3 e eliminando a coluna a < 0 só para facilitar o entendimento, visto que neste caso a é positivo: f(x) < 0 f(x) = 0 a > 0 Agora, algumas propriedades a respeito das desigualdades: Reflexiva: x x Antissimétrica: x y e y x x=y Transitiva: x y e y z x z Compatibilidade com a Adição: x y x+z y+z Compatibilidade com a Multiplicação: x y e z 0 xz yz Exemplo:Tomemos agora x, y, z e w, quaisquer números Reais e vamos descobrir se há uma relação de ordem entre eles dados x y e z w. Pela compatibilidade com a adição podemos dizer que: x y x+z y+z z w y+z y+w Agora, pela propriedade transitiva temos: x+z y+zy+z y+w} x+z y+w Concluindo: x yz w} x+z y+w Resolvendo inequações do primeiro grau Exemplo: Resolver a inequação: 3x+4<x 8, inicialmente solucionamos como uma equação do primeiro grau comum, isolando as variáveis conservando a regra de sinais: 3x x< 4 8 2x< 12 x< 122 x< 6 Dessa forma, o conjunto solução da equação será: S={x R:x< 6} A solução também pode ser escrita na notação de intervalos reais ou representado na reta real como: f(x) > 0 Concluindo o estudo da função, partir da tabela temos que: A função é negativa para. A função é nula para. A função é positiva para. Inequações de 1º grau Uma inequação é uma expressão que conterá, ao contrário do sinal de igual (=) de uma equação, outros sinais que determinarão uma relação de ordem entre os seus elementos. Geralmente, o conjunto solução de inequações será definido no conjunto dos números Reais. Abaixo as desigualdades e relações de ordem de números Reais: Se x y, dizemos que x é maior ou igual a y; Se x>y, então x é maior do que y; Se x y, dizemos que x é diferente de y. S=], 6[ Exemplo: Agora, note a solução da inequação 3x+4 7x 8: 3x 7x 4 8 4x 12 Pode-se perceber que neste ponto, ambos os lados da desigualdade estão negativos. Convenientemente, podemos trocar o sinal de ambos os lados da igualdade multiplicando toda a expressão por (-1), essa relação é garantida pelo princípio multiplicativo das equações e inequações. Porém, numa inequação (ou seja, desigualdade), quando invertemos o sinal de toda a expressão, também invertemos a desigualdade, o que nos leva a: 4x 12 x 124 x 3 Escrevendo então o conjunto solução desta equação nas três possíveis representações temos:

13 S={x R:x 3} S=[3,+ [ Sinais de inequações Estudar sinais de inequações permite saber todas as possibilidades para determinar o valor de variáveis em uma expressão. Veja os exemplos abaixo: Exemplo: Estudar o sinal da expressão x-4. Perceba que esta expressão não está definida em uma igualdade ou desigualdade. Podemos dizer então que existem três possibilidades, são elas: x 4>0 x>4 x 4<0 x<4 x 4=0 x=4 Escolhendo valores maiores, menores ou iguais a 4, vemos que o seu sinal sofrerá mudanças à medida que variarmos o valor de x. Supondo que escolha um valor de x que seja menor do que 4, por exemplo, 3. Pela expressão teríamos: x 4 3 4= 1 Então, para qualquer valor menor do que quatro, o resultado da expressão será sempre um número negativo. Agora um valor maior que 4, pode ser o 5: x 4 5 4=1 Qualquer valor maior do que 4 a expressão resultará sempre em um número positivo. E se o valor de x fosse 4, teríamos o zero: x 4 4 4=0 Por fim, se analisarmos o resultado obtido pelo nosso estudo de sinal na reta real, chegaríamos à seguinte representação: Como a nossa inequação originalmente era 3x+1x 5>0 vemos que após o estudo do sinal, nossa solução não estará entre 13 e 5, pois neste intervalo qualquer valor de x terá valor negativo. Substituindo o valor de x na equação original por 13 temos: 3 ( 13) =0 13 5=0 A nossa inequação originalmente dizia quer o valor da expressão deve ser maior do que zero, logo 13não estará contido no nosso conjunto solução. Vamos agora substituir por 5: 3 (5)+15 5=160= Então, 5 também não estará contido no intervalo do conjunto solução. Por fim, a solução para esta equação será: S={x R:x< 13 ou x>5} S=], 13[ ]5,+ [ O que significa que qualquer valor à direita da reta sempre nos retornaria um valor positivo, à esquerda valores negativos e quando x for 4 a expressão será igual a zero. Exemplo: Existem algumas inequações onde, para obtermos uma solução, é necessário estudar o comportamento do sinal. Vamos solucionar a inequação 3x+1x 5>0: Como esta inequação está na forma de uma fração, devemos inicialmente estudar o sinal dos dois termos separadamente assim como fizemos no exemplo 4 e depois comparar as análises com a inequação completa:

14 Módulo 4 Função quadrática Função Quadrática Função quadrática ou função do segundo grau é uma aplicação F de que associa a cada x o elemento (ax² + bx + c), em que a, b e c são números reais dados e a 0. Pois se a = 0, não teremos mais uma função quadrática e sim uma função afim: y = bx +c. O que é função? Sendo A e B conjuntos não vazios, uma relação F de A B (lê-se A em B) é denominada aplicação de A domínio, conjunto de partida em B contradomínio, conjunto de chegada, ou função definida em A com imagens em B se para todo x A existe um só y B, tal que (x,y) F. Zeros da Função Quadrática Os zeros ou raízes da função são os valores de x para os quais. Utilizando a forma canônica temos: i) ii) Mas sabemos que Portanto:, então: Exemplos de funções quadráticas: 2x² + 5x + 7, em que a = 2, b = 5 e c = 7. -x², em que a = -1 e b = c = 0. x² + x + 1, em que a = b = c = 1. 6x² + 5, em que a = 6, b = 0 e c = 5. Gráfico da Função Quadrática O gráfico da função quadrática é uma parábola (isso será provado em Geometria Analítica): Concavidade A parábola representativa da função quadrática pode ter sua concavidade voltada para cima ou para baixo. Isso dependerá do sinal de a: Se a > 0, a concavidade será voltada para cima. Se a < 0, a concavidade será voltada para baixo. Observemos que, para existir raízes reais na equação do segundo grau, precisamos que seja real. Logo, temos três casos: i) e, portanto, a equação apresentará duas raízes reais e distintas, que serão:. ii) e, portanto, a equação apresentará duas raízes reais e iguais, que serão:. iii) e sabemos que, neste caso,, portanto, diremos que a equação não apresentará raízes reais. Interpretando geometricamente, os zeros da função quadrática são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo x. Máximo e Mínimo Sendo o conjunto imagem, dizemos que é o valor de máximo da função se, e somente se, para qualquer. E então, o número, sendo o conjunto domínio, é chamado de ponto de máximo da função. Dizemos que é o valor de mínimo da função se, e somente se, para qualquer. E então, o número é chamado de ponto de mínimo da função. Sucintamente, podemos dizer que:

15 i) Se, a função quadrática admite o valor máximo. ii) Se, a função quadrática admite o valor mínimo. A função é positiva para. A representação também pode ser assim realizada: Vértice da Parábola O ponto é chamado vértice da parábola. Estudo do Sinal de uma Função Quadrática Estudar a variação do sinal de uma função polinomial do 2 grau é identificar para quais valores de x temos f(x) com valor negativo, nulo ou positivo. Vamos analisar novamente o gráfico da função : Para x < 1 ou x > 3, vemos no gráfico que f(x) > 0, já que estes pontos estão acima do eixo das abscissas. Para x = 1 ou x = 3 temos que a função é nula, isto é, f(x) = 0. Para x > 1 e x < 3 vemos no gráfico que f(x) < 0, visto que estes pontos estão abaixo do eixo das abscissas. Então para a função temos que: A função é negativa para. A função é nula para.

16 Módulo 5 Função modular Módulo de um número real O módulo ou valor absoluto de um número real r, que é representado por r é considerada igual a r se r 0 e igual a r se r 0. Exemplo: 2 = 2 e 2 = ( 2) = 2 Em resumo, temos: r = r, se r 0 r = r se r 0. Propriedades envolvendo módulos 1ª propriedade: Para todo r R, temos que r = r 2ª Propriedade: Para todo x R, temos que x² = x 2 = x². Daqui, podemos concluir que: x² = x 3ª propriedade: Para todo x e y R, temos que x. y = x. y 4ª propriedade: Para todo x e y R, x + y x + y 5ª propriedade: Para todo x e y R, x y x y Valor de x a partir do módulo de x x = 0 x = 0 Não existe x R, tal que o x = a com a < 0. x = a e a >0 x = a ou x = - a. Distância entre dois pontos na reta real Na reta, se a é a coordenada do ponto A e b é a coordenada do ponto B, a distância entre A e B pode ser escrita como a b ou b a que são iguais. Equação modular Chamamos de equações modulares as equações em que aparecem módulos de expressões que contêm incógnita. Exemplos de equações modulares: x = 7 x + 6 = x + 6 x 3 + 4x = 7 x + 2 = 4 Formas de resolução Exemplo 1 x + 2 = 4 Condições: x + 2 = 4 ou x + 2 = 4 Resolução: x + 2 = 4 x = 4 2 x = 2 x + 2 = 4 x = 4 2 x = 6 S = { 6; 2} Exemplo 2 4x 8 = x + 1 Condições: 4x 8 0, dessa forma a equação só é possível se x + 1 0, x 1. 4x 8 = x + 1 4x 8 = x + 1 ou 4x 8 = (x + 1) Resolução: 4x 8 = x + 1 4x x = x = 9 x = 9/3 x = 3 4x 8 = (x + 1) 4x 8 = x 1 4x + x = x = 7 x = 7/5 Verifique que x = 3 e x = 7/5, satisfazem a condição x 1, portanto o conjunto solução é {7/5; 3} Exemplo 3 x + 1 = x 3 x + 1 = x 3 x x = 3 1 0x = 4 (impossível) x + 1 = (x 3) x + 1 = x +3 x + x = 3 1 2x = 2 x = 1 Solução: {1} Exemplo 4 x² 5x + 6 = 2 x² 5x + 6 = 2 x² 5x = 0 x² 5x + 4 = 0 (Bháskara: possui duas raízes reais) x = 1 e x = 4 x² 5x + 6 = 2 x² 5x = 0 x² 5x + 8 = 0 (Bháskara: não possui raízes reais) Solução: {1,4} Função Modular Função é uma lei ou regra que associa cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B de contradomínio. A função modular é uma função que apresenta o módulo na sua lei de formação. De maneira mais formal, podemos definir função modular como: f(x) = x ou y = x A função f(x) = x apresenta as seguintes características: f(x) = x, se x 0 ou f(x) = x, se x < 0 Essas características decorrem da definição de módulo. Exemplo 1. Construa o gráfico da função f(x) = x Solução: primeiro vamos analisar o gráfico da função acima sem a utilização do módulo na sua lei de formação, ou seja, vamos fazer o gráfico de g(x) = x

17 Daí, segue que: O módulo presente na lei da função faz com que a parte do gráfico que se localiza abaixo do eixo x reflita no momento em que toca o eixo x. Mas por quê? Simples, a parte do gráfico abaixo do eixo x representa os valores negativos de y e, como o módulo de um número é sempre um valor positivo, o gráfico de f(x) = x fica: Unindo as partes dos dois gráficos que se encontram acima do eixo x teremos o gráfico da função f(x) = x 2 3x A parte do gráfico que está azul é parte que sofreu ação do módulo. Exemplo 2. Construa o gráfico da função f(x) = x 2 3x Solução: pela definição de módulo, temos que: f(x) = x 2 3x, se x 0 e f(x) = (x 2 3x), se x<0 Daí, segue que: x 2 3x = 0 x = 0 ou x = 3, logo : Temos também que: (x 2 3x) = 0 x = 0 ou x = 3 Inequação modular Inequação modular é toda inequação cuja incógnita aparece em módulo. Veja alguns exemplos: x > 6 x 4 x + 3 > 7 4x Podemos utilizar as propriedades a seguir para resolver esse tipo de inequação: x > a x < a ou x > a. x < a a < x < a. x a a x a. x a x a ou x a. x a b b x a b a b x a + b Resolução de inequações modulares Para resolver os exemplos a seguir, será preciso aplicar as propriedades vistas anteriormente. As resoluções estão feitas a seguir, mas antes disso, tente resolver cada um dos exemplos, sem utilizar da resposta formalizada! Veja as resoluções a seguir: x > 6 x < 6 ou x > 6 S = {x R x < 6 ou x > 6} x 4 4 x 4 S = {x R 4 x 4} x + 3 > 7 x + 3 < 7 ou x + 3 > 7

18 Se x + 3 < 7, então: x < 7 3 x < 10 Se x + 3 > 7, então: x > 7 3 x > 4 S = {x R x < 10 ou x > 4} 4x x ou 4x Se 4x + 1 3, então: 4x 3 1 4x 4 x 1 Se 4x + 1 3, então: 4x 3 1 4x 2 x ½ S = {x R x 1 ou x ½} Módulo 6 Potenciação e função exponencial Potenciação Potência de um número real com expoente natural Dado um número real a qualquer e um número natural n sendo n>1, a potência a n é o produto de n fatores iguais ao fator a. a n = a. a. a. a... a Exemplos: a) 5³ = b) 4² = 4. 4 Potência de um número real com expoente inteiro Os números inteiros dividem-se em inteiros positivos, inteiros negativos e o número zero. Sendo assim, a maneira de calcular as potências quando o expoente é negativo, difere do cálculo para expoentes positivos. Potência com expoente negativo Seja x - y uma potência de expoente negativo, o resultado dessa operação é: o inverso de x elevado a y, em termos matemáticos: (1/x) y. Exemplos: a) b) Definições Todo número elevado à zero é igual a um a 0 =1 Potência com expoente 1 Qualquer número, elevado a 1 será igual a ele mesmo. De modo geral: a¹=a Toda potência de base 1 é igual ao próprio 1. Nas potências com base 1, dados por 1 n, sendo n pertencente aos reais, não importa o valor de "n", será sempre 1. 1 n =1 Potências com base igual a 0 Toda potência com base igual a 0, 0 n, sendo o expoente n >0, será igual a zero. 0 n = 0 Propriedades de Potência Produto de Potências de mesma base: No produto de potências de mesma base, repete-se a base e soma-se os expoentes. Exemplo: 2³. 2² = = 2 5. Quociente de Potências de mesma base: No quociente de potências de mesma base, repete-se a base e subtrai-se os expoentes. Exemplo: 2³. 2² = = 2 1.

19 Potência de Potência: Nos casos em que há uma potenciação elevada a um outro expoente, existem duas situações que devem ser analisadas. 1ª situação: Caso em que a primeira potência está separada da segunda por parênteses. Exemplo: (3²)³ - Nesses casos, resolve-se primeiro a primeira potência para que assim, possa-se resolver a potência externa aos parênteses. Assim, 3² = 3. 3 = 9 e 9³ = = 729. Mas há uma outra maneira de resolver estes tipos de potências, basta que se multiplique o expoente de dentro do parêntese pelo expoente que está fora. Desse modo, temos: (3²)³ = 3 6 = = ª situação: Caso a primeira potência não esteja separada por parênteses da segunda, elevamos primeiro os expoentes um ao outro, e depois resolvemos a potência com a base inicial. Potência de uma multiplicação: A multiplicação de dois ou mais fatores elevados a um dado expoente é igual a multiplicação desses fatores, cada um elevado ao mesmo expoente: Exemplo: (a. b) n = (a n. b n ) Potência de uma divisão: A divisão de dois fatores elevados a um dado expoente é igual a divisão desses fatores, cada um elevado ao mesmo expoente. Exemplo: Potência de base 10 Na potência de base 10 algumas definições são importantes: 1ª: O número de zeros na potência é igual ao valor do expoente. Exemplo: 10² = 100; 10³ = º: Quando a potência possui expoente negativo, o resultado será um número decimal, onde o número de zeros a esquerda do 1, é igual ao valor absoluto do expoente. Exemplo: 10-1 = 0,1; 10-2 = 0,01; 10-3 = 0,001 3º: Quando se multiplica um número decimal por 10, 10², 10³,..., a vírgula do número decimal se desloca para a direita, ou seja, o valor desse número tende a aumentar. Exemplo: 0, = 6,5; 7,6. 10² = 7, = 760,0 4º: Quando se multiplica um número decimal por uma potência de base 10, porém com expoente negativo, o produto será também um decimal, e a vírgula, desloca-se para a esquerda, ou seja, o valor desse número diminuirá. Exemplo: 45, = 45,8. 1/10 = 45,8/10 = 4,58. Notação científica Em notação científica, um dos fatores é um número maior ou igual a 1 e menor ou igual a 10 e o outro fator é uma potência de 10. Equação exponencial Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em expoente. Exemplos de equações exponenciais: 3 x =81 (a solução é x=4) 2 x-5 =16 (a solução é x=9) 16 x -4 2x-1-10=2 2x-1 (a solução é x=1) 3 2x-1-3 x -3 x-1 +1=0 (as soluções são x =0 e x =1). Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade: a m n = a m = n ( a 1 e a 0) Exemplo: 3 x =81 Resolução: Como 81=3 4, podemos escrever 3 x = 3 4. Logo, x=4. Função exponencial Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente. A função f:ir IR + definida por f(x)=a x, com a IR + e a 1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR + (reais positivos, maiores que zero). Gráfico cartesiano da função exponencial Temos 2 casos a considerar: quando a>1; quando 0<a<1. Acompanhe os exemplos seguintes: Exemplo 1: y=2 x (nesse caso, a=2, logo a>1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: x y 1/4 1/ Exemplo 2: y=(1/2) x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: x y /2 1/4

20 Nos dois exemplos, podemos observar que: o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes; o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR +. Além disso, podemos estabelecer o seguinte: a>1 f(x) é crescente e Im=IR+ Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1 y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido) 0<a<1 1) 2) 3 2 x 4 3) x-2 x x (a solução é x 4) 2 x 1 3 x (que é satisfeita para todo x real) (que é satisfeita para x -3) 4) (que é satisfeita para 2 x 3) Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade: a>1 0<a<1 a m > a n m>n a m > a n m<n (as desigualdades (as desigualdades têm mesmo têm sentidos sentido) diferentes) Exercício resolvido: x 1 x x ) Resolução : 4 x x 11 A inequação pode ser escrita Multiplica ndo ambos os lados por 4 temos : 4 ( ).4 Porém, Como a base (4) é maior que 1, obtemos 4 x x Portanto S = IR x x x 11, ou seja : 11 - x x 0 4 x (reais negativos) x x 11 e daí, : 4 x 1 f(x) é decrescente e Im=IR+ Para quaisquer x1 e x2 do domínio: x2>x1 y2<y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes) Inequações exponenciais Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a incógnita aparece em expoente. Exemplos de inequações exponenciais:

21 Módulo 7 - FUNÇÃO LOGARÍTMICA Introdução A função f:ir + IR definida por f(x)=log ax, com a 1 e a>0, é chamada função logarítmica de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR + (reais positivos, maiores que zero) e o contradomínio é IR (reais). Gráfico cartesiano da função logarítmica Temos 2 casos a considerar: quando a>1; quando 0<a<1. Acompanhe nos exemplos seguintes, a construção do gráfico em cada caso: y=log 2x (nesse caso, a=2, logo a>1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: Para quaisquer x 1 e x 2 do domínio: x 2>x 1 y 2>y 1 (as desigualdades têm mesmo sentido) 0<a<1 X 1/4 1/ Y y=log (1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo: x ¼ 1/ y Nos dois exemplos, podemos observar que o gráfico nunca intercepta o eixo vertical; o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é x=1; y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é Im=IR. Além disso, podemos estabelecer o seguinte: a>1 Para quaisquer x 1 e x 2 do domínio: x 2>x 1 y 2<y 1 (as desigualdades têm sentidos diferentes) Equações logarítmicas Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. Exemplos de equações logarítmicas: log 3x =5 (a solução é x=243) log(x 2-1) = log 3 (as soluções são x =-2 e x =2) log 2(x+3) + log 2(x-3) = log 27 (a solução é x=4) log x+1(x 2 -x)=2 (a solução é x=-1/3) Alguns exemplos resolvidos 1) log 3(x+5) = 2 Resolução: Condição de existência: x + 5 > 0 => x > -5 log 3(x+5) = 2 => x + 5 = 3 2 => x = 9-5 => x = 4 Como x=4 satisfaz a condição de existência, então o conjunto solução é S={4}. 2) log 2(log 4 x) = 1 Resolução: Condição de existência: x > 0 e log 4x > 0 log 2(log 4 x) = 1 ; sabemos que 1 = log 2(2), então: log 2(log 4x) = log 2(2) => log 4x = 2 => 4 2 = x => x = 16

22 Como x=16 satisfaz as condições de existência, então o conjunto solução é S={16}. 3) Resolva o sistema: logx + logy = 7 3.log x 2.log y = 1 Resolução: Condições de existência: x>0 e y>0 Da primeira equação temos: log x+log y=7 => log y = 7-log x Substituindo log y na segunda equação temos: 3.log x 2.(7-log x)=1 => 3.log x-14+2.log x = 1 => 5.log x = 15 => => log x =3 => x=10 3 Substituindo x= 10 3 em log y = 7-log x temos: log y = 7- log 10 3 => log y = 7-3 => log y =4 => y=10 4. Como essas raízes satisfazem as condições de existência, então o conjunto solução é S={(10 3 ;10 4 )}. Inequações logarítmicas Chamamos de inequações logarítmicas toda inequação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. Exemplos de inequações logarítmicas: 1) log 2x > 0 (a solução é x>1) 2) log 4(x+3) 1 (a solução é 3<x 1) Para resolver inequações logarítmicas, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base; 2º) aplicação da propriedade: a>1 0<a<1 log am > log an m>n>0 (as desigualdades têm mesmo sentido) log am > log an 0<m<n (as desigualdades têm sentidos diferentes) Módulo 8 Sequência e Progressões Sequências numéricas A ideia de sequências e/ou sucessões numéricas, acontecem diariamente na vida e dessa forma, torna-se importante que a noção matemática seja apresentada. Temos, como exemplo de sucessão ou sequências, os seguintes casos: A sequência dos dias da semana; A sequência dos números inteiros; A sequência de meses do ano; Nessas situações supracitadas, observamos sempre que para a formação desses conjuntos, obedecemos uma ordem de elementos. Esses elementos são chamados de termos de uma sequência. Se representarmos, por exemplo, a sequência dos meses do ano, teremos os seguintes termos: (Janeiro, fevereiro, março, abril,..., dezembro). Os termos de uma sequência, receberão a nomenclatura de a n, onde cada n representará a posição do termo na sequência dada. Assim temos: a 1 = janeiro; a 2 = fevereiro... Definição: Uma sequência finita de n termos é uma função cujo domínio é o conjunto numérico: {1, 2, 3,..., n}. Os números do contradomínio são indicados por a 1, a 2,... Uma sequência infinita é uma função f cujo domínio é N * = {1, 2, 3,..., n,...}. Determinação de uma sequência Algumas sequencias são dadas por regras ou leis matemáticas, chamadas de leis de formação, que determinam a explicitação dos seus termos a partir dela. Exemplo: A sequência de termo geral a n = 2n 1 com n pertencendo a N *. Temos: A 1 = = 1; A 2 = = 3; A 3 = = Progressão aritmética (PA) Definição: é toda sequência de números na qual a diferença entre cada termo (a partir do segundo) e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é chamada de razão da progressão e é representada pela letra r. Exemplos: 1. A sequência {2, 7, 12, 17...} é uma progressão aritmética infinita de razão 5, em que A 1 = 2 e r = A sequência {20, 10, 0, -10, -20} é uma P.A de cinco termos onde o 1º termo é A 1 = 20 e a razão é r = -10. Fórmula do termo geral de uma PA. Em uma progressão aritmética (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) de razão r, partindo do 1º termo, para avançar um termo basta somar r ao 1º termo (a 2 = a 1 + r) para avançar dois termos tem-se que somar 2r ao primeiro termo (a 3= a 1+2r) e assim sucessivamente.

23 Dessa maneira, encontra-se o termo geral de ordem n, denominado termo geral da PA, que é dado por: a n = a 1 + (n-1)r Nessa fórmula temos: a n = termo geral. a 1 = 1º termo. N = número de termos (até o a n). r = razão. Soma dos termos de uma PA finita S n = (a1+an)n 2 Essa fórmula permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma PA. Progressão geométrica (PG) Assim como em uma progressão aritmética, a Progressão Geométrica (P.G) também é representada por uma sequência, porém seus elementos são dados pelo produto do termo anterior por uma constante que chamaremos de razão q. Em outras palavras, dada a sequência: (a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n) Temos que: a 2 = a 1. q a 3 = a 2. q = (a 1. q). q = a 1. q 2 a 4 = a 3. q = (a 2. q). q = [(a 1. q). q ]. q = a 1. q 3... Naturalmente, se quisermos obter a razão de uma P.G., devemos dividir um termo a n pelo seu anterior, assim: q=a2a1=a3a2=a4a3=...anan 1 Ao continuarmos a operação para determinar um termo qualquer em uma P.G., obtemos então a fórmula do termo geral: an=a1 qn 1 E supondo um caso em que não sabemos qual é o seu primeiro termo, podemos usar uma forma generalizada do termo geral da P.G. Sejam m e n posições consecutivas quaisquer dos elementos, temos: an=am qm n Interpretação geométrica da P.G. Podemos representar o termo geral de uma P.G. como uma função do tipo f(x), onde podemos reescrever a fórmula em função de x e também desenhar o gráfico da função. Dizemos então que: f(x)=aq qx Supondo conhecidos os valores de a 1 e de q, a sua razão, a fórmula do termo geral assumirá então a forma de uma função exponencial. Vejamos um exemplo em que a n = ½ e que q = 2, escrevemos: f(x)=12 (2)x Sabemos, por definição que esta P.G. será dada por: (12,1,2,4,8,...) Neste exemplo, o nosso primeiro termo será dado por f(0)=12 o que claramente já foi dado, confirmando então que o zero da função é o termo a 1. Abaixo segue o gráfico da função onde estão indicados os quatro primeiros termos da P.G.: Vemos que os valores de f(1), f(2),..., f(x) com x sendo um número inteiro serão os termos da P.G. Tipos de progressão geométrica Crescente Quando a razão q >1 e os termos são positivos ou quando 0 < q < 1 e os termos são negativos. Exemplos: (1, 4, 16, 64,...), onde q = 4 (-150, -30, -6,...), onde q = ½ Decrescente Quando 0 < q < 1 e os termos são positivos, ou quando q > 1 e os termos negativos. Por exemplo: (200, 100, 50,...), onde q = ½ (-1, -3, -9,...), onde q = 3 Oscilante Quando q < 0, ou seja: (3, -6, 12, -24,...), onde q = -2 Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita Seja uma P.G. (a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n) e S n soma dos seus termos, podemos então escrever: Sn=a1+a2+a3+a4+...+an 1+an Multiplicando ambos os lados da equação por q temos: q Sn=q (a1+a2+a3+a4+...+an 1+an) q Sn=q a1+q a2+q a3+q a4+...+q an 1+q an) E que pela definição: q Sn=a2+a3+a4+...+an+q an Podemos então dizer que: Sn q Sn=(a1+a2+a3+...+an 1+an) (a2+a3+...+an+q an) O que nos resulta em: Sn q Sn=a1 q an E pela equação do termo geral, an=a1 qn 1 pode-se: Sn q Sn=a1 q (a1 qn 1) Isolando as variáveis, tem-se: Sn(1 q)=a1(1 qn)

24 Por fim, obtemos então a fórmula da soma da P.G. finita: Sn=a1 (1 qn)(1 q) OBS: Se a razão for igual a um (q=1), em outras palavras, se a P.G. for constante (onde todos os seus termos são iguais) então não será possível obter a soma dos seus termos. Módulo 9 Matemática Financeira Razão e proporção O número 3 representa a metade do número 6, assim como o número 10 representa a metade do número 20, como também é número 9 representa a metade do número 18. Dizemos então que 3, 10 e 9 são diretamente proporcionais aos números 6, 20 e 18, respectivamente. Podemos então afirmar que: Os números reais a, b, c, d,..., n são diretamente proporcionais ao números a, b, c, d,..., n, nessa ordem, se e somente se: a a = b b = c c = d d = = n n Obs.: A FRAÇÃO IRREDUTIVEL EQUIVALENTE A a a É CHAMADO DE COEFICIENTE DE PROPORCIONALIDADE (K). Dizemos que os números reais não nulos a,b,c,..., n são inversamente proporcionais aos números reais a, b, c, d,..., n, respectivamente, quando são diretamente proporcionais aos números 1, 1, 1, 1,..., 1. a b c d n Ou seja, a 1/a = b 1/b = c 1/c = d 1/d = = n 1/n Porcentagem A porcentagem é uma forma usada para indicar uma fração de denominador 100 ou qualquer representação que tenha representação equivalente a ela. Exemplo: 50% é o mesmo que Aumentos e descontos Na comparação entre dois valores distintos de uma mesma grande. F>1 indica que houve um aumento em relação ao valor inicial e f<1 indica que houve um desconto no valor inicial. O fator f = 1 indica que o valor inicial não sofreu variação nem de aumento e nem de desconto. valor novo f = valor velho f>1 aumento f<1 desconto f=1 não há variações. Exemplo: Uma mercadoria que custava R$ 450,00 reais sofreu um reajuste de 15% de acordo com a inflação do período. Qual é o seu preço atual? Podemos determinar 15% de R$ 450 = R$ 67,50 e somar o valor a R$ 450, obtendo R$ 517,50. Mas também podemos utilizar uma forma mais direta de cálculo, observe: Sabemos que o valor a ser reajustado corresponde a 100% e, na situação, sofrerá um reajuste de 15%, dessa forma, o novo valor corresponderá a 115% ou 115/100 = 1,15. Assim, podemos realizar a seguinte multiplicação: R$ 450,00 * 1,15 = R$ 517,50. O valor 1,15 corresponde ao fator de reajuste referente a 15%. Observe a tabela a seguir, ela demonstrará alguns fatores de aumento e desconto. Aumento Desconto que é equivalente a ½. Porcentagem de uma dada quantia Se uma dada mercadoria custa o valor de R$850,00 e está com um desconto de 45%, como calcular essa quantia? Devemos 45 de 850,00 = calcular. 850,00 (Lembra que, em multiplicação de frações, multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador). Exemplo: Uma loja de eletrodomésticos está oferecendo um desconto de 14% nas compras feitas com pagamento à vista. Qual o valor de uma geladeira de R$ 1.200,00 na promoção oferecida? 100% 14% = 100/100 14/100 = 1 0,14 = 0,86 (fator de desconto) R$ 1.200,00. 0,86 = R$ 1.032,00 Portanto, o preço da geladeira na promoção será de R$ 1.032,00.

25 Juros Simples e juros compostos A taxa de juros é um conceito central da Matemática Financeira que está bastante presente em nossas vidas cotidianas. Sempre que realizamos uma compra ou simplesmente ouvimos e lemos uma propaganda, nos deparamos com este conceito. Juros é um atributo de uma aplicação financeira, isto é, é uma determinada quantia em dinheiro que deve ser paga por um devedor (a pessoa que pede o dinheiro emprestado) pela utilização de dinheiro de um credor (a pessoa que empresta o dinheiro). Existem dois tipos de juros: os juros simples e os juros compostos. Juros simples Os juros simples referem-se aos acréscimos somados ao capital inicial no final da aplicação. O capital é o valor financiado na compra de produtos ou nos empréstimos em dinheiro. Calcular os juros simples é: j = C. i.t Sendo que: j = juros, C = capital, i = taxa, t= tempo. Exemplo: Uma pessoa empresta a outra uma quantia de R$ 2.000,00, a juros simples, pelo prazo de 3 meses, com uma taxa de 3% ao mês. Quanto será pago de juros? Observe que: O capital aplicado ( C ) é a quantia do empréstimo (R$2.000); o tempo de aplicação (t) é de 3 meses e a taxa (i) é de 3% ou 0,03 ao mês (a.m.). Para realizar o cálculo, usa-se a fórmula e teremos que: J = C.i.t -> J = x 3 x 0,03 -> R$ 180,00. A pessoa pagará o valor de R$ 180,00 de juros ao final do empréstimo. Juros compostos Os juros compostos (juros sobre juros) referem-se aos acréscimos somados ao capital, ao fim de cada período de aplicação, formando um novo capital com essa soma. Os bancos e as lojas normalmente utilizam os juros compostos na cobrança do dinheiro emprestado. A fórmula para calcular os juros compostos é: M = C. (1 + i) t, em que: M = montante C = capital i = taxa t = tempo Exemplo: Considere o mesmo problema utilizado no exemplo dos juros simples, veremos que: Capital aplicado ( C ) = R$ 2.000,00 Tempo de aplicação (t) = 3 meses Taxa de aplicação (i) = 0, 03 (3% ao mês) Com a aplicação da fórmula, teremos que: M = (1 + 0, 03)³ -> M = (1,03)³ -> M = R$ 2.185,45. A pessoa pagará R$ 185,45 de juros ao final do empréstimo. Módulo 10 Semelhança de triângulos Tales de Mileto foi um importante filósofo, astrônomo e matemático grego que viveu antes de Cristo. Ele usou seus conhecimentos sobre Geometria e proporcionalidade para determinar a altura de uma pirâmide. Em seus estudos, Tales observou que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinada e eram paralelos, dessa forma, ele concluiu que havia uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos, observe a ilustração: Com base nesse esquema, Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide com base no tamanho da sua sombra. Para tal situação ele procedeu da seguinte forma: fincou uma estaca na areia, mediu as sombras respectivas da pirâmide e da estaca em uma determinada hora do dia e estabeleceu a proporção: O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de correspondência: Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes. Para compreender melhor o teorema observe o esquema representativo a seguir:

26 Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação: Exemplo: Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir: Semelhança de Triângulos Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, seus três ângulos são congruentes (na mesma ordem) e seus lados homólogos são proporcionais. AB = 2x 3 BC = x + 2 A B = 5 B C = 6 Determinando o valor de x: AB = 2x = 5 BC = x = 6 Exemplo: Determine o valor de x na figura a seguir: ABC DEF O símbolo significa semelhante. Cada um dos lados homólogos está em um triângulo e ambos são opostos a ângulos congruentes. Razão de semelhança A razão entre dois lados homólogos ou entre dois triângulos semelhantes (k) é chamada de razão de semelhança. ABDE=BCEF=ACDF=k Exemplo: Por exemplo, os triângulos abaixo são semelhantes: Os ângulos são congruentes (iguais) e os lados homólogos são proporcionais. Note que AB/DE=BC/EF=AC/DF 4/2=8/4=6/3=2.

27 A razão de semelhança será k = 2. Podemos dizer que o triângulo ABC é 2 vezes maior que DEF ou que DEF é duas vezes menor que ABC. Propriedades Da definição de triângulos semelhantes decorrem as seguintes propriedades: 1. reflexiva: um triângulo é semelhante a ele mesmo. ABC ABC 2. simétrica: se ABC o é semelhante ao DEF, então o DEF é semelhante ao ABC. ABC ABC DEF ABC 3. transitiva: se o ABC é semelhante ao DEF, e DEF é semelhante a outro JKL, então o ABC é semelhante ao JKL. { ABC DEF DEF JKL ABC JKL Teorema fundamental Se houver uma reta paralela a um dos lados de um triângulo e ela intercepta os outros dois lados em pontos distintos, dois triângulos serão formados e eles serão semelhantes. {AB/DE=BC/EF {B F ABC DEF Caso LLL (Lado, Lado, Lado) Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem os três lados respectivamente proporcionais. AB/DE=BC/EF=AC/DF ABC DEF Razão entre áreas A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é dada pelo quadrado da razão de semelhança entre eles. Observe a pequena demonstração: Casos de semelhança Para se verificar que dois triângulos são semelhantes, não é necessário conferir se todos os lados homólogos são proporcionais e que todos os ângulos são congruentes. Há alguns casos em que a detecção da semelhança é facilitada. Caso AA (Ângulo, Ângulo) Sejam dois triângulos ABC e DEF. Eles serão semelhantes se, e somente se, dois de seus ângulos forem congruentes. {B E {C F ABC DEF Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado) Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem dois lados respectivamente proporcionais e se os ângulos formados por esses lados forem congruentes. A área do triângulo ABC será: AABC=BC AM/2. A área do triângulo DEF será: ADEF=EF DN/2. Dividindo a área do primeiro pela do segundo temos: AABC/ADEF=BC AM/2/EF DN/2=BC AM/2 2/EF D N=BC AM/EF DN Mas, como os triângulos são semelhantes, temos que BCEF=AMDN=k. Assim: AABC/ADEF=BC AM/EF DN=BC/EF AM/DN= =k k=k² Portanto, teremos que: AABC/ADEF=k² Congruência de triângulos Dois triângulos são congruentes de a razão de semelhança for k = 1. Esses triângulos possuem os ângulos e os lados homólogos ambos congruentes.

28 Módulo 11 Trigonometria no triângulo retângulo A Trigonometria é o estudo das relações entre ângulos e lados de um triângulo. Os triângulos retângulos são aqueles que possuem um ângulo reto. Os triângulos retângulos Considere o triângulo: ABC DEF A D; B E E C F e AB DE, AC DF, BC EF. Exemplo: As figuras abaixo nos mostram pares de triângulos semelhantes, dessa forma calcule os valores de e x e y: O triângulo ABC é reto em A, isto é, o ângulo em A mede 90º graus. Elementos: a Hipotenusa c e b representam as medidas dos catetos; Os ângulos B e C são agudos e complementares (B + C = 90º). Quadro-resumo sobre os triângulos retângulos: Relação entre os lados (Relação de Pitágoras): a² = b² + c²; Relação entre os ângulos: A+B+C = 180º; Relações entre lados e ângulos: SenB = b a ; CosB = c a ; tgb = b c Observando os lados e os ângulos, os lados homólogos são: AB e DE, AC e DF, BC e EF. Assim, para encontrar y fazemos: AB/DE=BC/EF 18/y=12/9 12.y=162 y=162/12=27/2=13,5 Para encontrar x fazemos: AC/DF=BC/EF x/18=12/9 9x=216 x=216/9=24. SenC = c a ; CosC = b a ; tgc = c b Relações entre seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos: Sen²B + cos²b = 1 Sen²C + cos²c = 1 TgB= senb cosb TgC= senc cosc SenB = cosc SenC = cosb, pois B+C = 90º Módulo 12 Resolução em triângulos quaisquer As relações trigonométricas não estão restritas apenas a triângulos retângulos. Na situação abaixo, PÔR é um triângulo obtusângulo, então não podemos utilizar das relações trigonométricas conhecidas. Para situações como essa, utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos, de acordo com o mais conveniente. Importante sabermos que: sen x = sen (180º - x) cos x = - cos (180º - x)

29 Lei dos senos Resolvendo a situação da figura 1, temos: Iremos aplicar a lei dos senos x² = 50² + 80² cos60º x² = ,5 x² = x² = 4900 x = 70 m Seriam gastos 70 metros de cano Pela tabela de razões trigonométricas: Lei dos cossenos a² = b² + c² - 2*b*c*cosA b² = a² + c² - 2*a*c*cosB c² = a² + b² - 2*a*b*cosC Exemplo Analise o esquema abaixo: Se optarmos pelo bombeamento da água direto para a casa, quantos metros de cano seriam gastos?