EXERCÍCIOS 2006 APOSTILA MATEMÁTICA

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1 EXERCÍCIOS 2006 APOSTILA MATEMÁTICA Professor: LUIZ ANTÔNIO 1

2 >>>>>>>>>> PROGRESSÃO ARITMÉTICA P. A. <<<<<<<<<< Uma criança anêmica pesava 8,3 kg. Iniciou um tratamento médico que fez com que engordasse 150 g por semana durante 4 meses. Quanto pesava ao término de 15ª semana de tratamento? a) 22,50 kg b) 15 kg c) 10,7 kg d) 10,55 kg e) 10,46 kg Solução: Resolvendo aritmeticamente, temos: 150 g 15 = 2250 g = 2,25 kg 8,3 kg + 2,25 kg = 10,55 kg alternativa d. Problemas desse tipo onde há um valor inicial: 8,3 kg que chamaremos de primeiro termo (a 1 ), um aumento constante: 150 g chamado de razão (r) e um número de acréscimo: 16 1, número de termos menos um (n 1) são resolvidos com maior abrangência, usando a expressão do termo genérico da progressão aritmética: a n = a 1 + (n 1). r, onde a n neste caso é a 16 a 16 = (16 1) 150 = g = 10,55 kg Definição: P. A. é uma seqüência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior mais uma constante (chamada razão). EXERCÍCIOS 1. Numa P. A. a 1 = 7, r = 3, calcule o vigésimo termo. 2. Quantos termos possui a P. A. (6, 9, 12, 15,..., 231)? 3. Numa P. A. dados a 15 = 35 e a 6 = 15, calcule a 1, r e a Numa P. A. é dado a 6 = 11 e a 11 = 31. Pede-se a 40. 2

3 >>>>>>>>>>PROGRESSÃO GEOMÉTRICA P. G. <<<<<<<<<< Uma dívida de R$ 2000,00 é aumentada mensalmente de 10%. Qual será o valor da dívida depois de 5 meses? Valor inicial: 2000 Solução: Depois de: 1 mês: % de 2000 = = 2000.(1,1) = 2200, meses: % de 2200 = = (1,1) = 2420, meses: % de 2420 = = (1,1) = 2662, meses: % de 2662 = = (1,1) = 2928, meses: 2928, % de 2928,20 = 2928,20. (1,1) = 3221,02 Resposta: o valor da dívida será de R$ 3221,02. 3

4 Perceba que a dívida de um determinado mês é igual à dívida do mês anterior multiplicado por 1,1 (chamada de razão da seqüência e indicada por q). Generalizando para uma seqüência com n termos, temos: a 1 = a 1 a 2 = a 3 = a 2. q = a 1. q. q = a 4 = a 3. q = a 1. q 2. q = a 1. q 3 a n = a 1. q (n 1) Fórmula do termo geral de uma P. G. Voltando ao problema proposto acima, temos: a 1 = 2000 e a 6 =? (Depois de 5 meses estamos no 6º mês, por isso devemos calcular a 6 ). a 6 = (1,1) 5 a 6 = 3221,02. Definição: P.G. é uma seqüência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante (chamada razão). EXERCÍCIOS 5. Sabendo que x, x + 9, x + 45 estão em P.G. determinar o valor de x. 6. Qual é o 5º termo da P.G. (243, 81, 27,...)? 7. Determine a razão q numa P.G. de seis termos onde o último termo vale 972 e o primeiro Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (5, 10, 20,...). 4

5 >>>>>>>>>>PORCENTAGEM <<<<<<<<<< A razão cujo denominador é 100 recebe o nome de razão centesimal. São exemplos de razão centesimais: 30, 4, 135 e 27, Existe ainda outra forma de representar essas razões centesimais: 30 = 30% 4 = 4% 135 = 135% 27,9 = 27,9% Tais razões estão expressas em taxas percentuais. passaria a custar? Uma bolsa é vendida por R$ 32,00. Se seu preço fosse aumentado em 20%, quanto Solução: Temos: 1º) o aumento seria 20% de 32 = 0,2 32 = 6,40; 2º) o novo preço seria ,40 = R$ 38,40. EXERCÍCIOS 9. O preço de venda de uma TV é de R$ 380,00. Uma loja em promoção de Natal oferece desconto de 20% para pagamento à vista. Qual será, então, o preço da TV à vista? 5

6 10. Nas eleições municipais de 1996 em São Paulo, devido às fortes chuvas, 4% dos eleitores foram impedidos de chegar a tempo aos locais de votação. Se havia 6 milhões de eleitores inscritos, quantos eleitores efetivamente votaram? 11. Um hipermercado oferece a seus clientes duas formas de pagamento: à vista, com 5% de desconto sobre o preço marcado, ou no cartão de crédito, com um acréscimo de 10% sobre o preço marcado. a) Qual é o preço marcado de um produto que, à vista, custa R$ 30,40? b) Quanto custará, à vista, um produto que, no cartão, sai por R$ 55,00? 12. A prefeitura de uma cidade deseja asfaltar todas as suas vias. Atualmente, a taxa percentual de vias asfaltadas é de 84%. Quando forem asfaltadas mais 30 vias, essa taxa se elevará a 90%. Quantas vias ainda precisarão ser asfaltadas para que o objetivo seja atingido? >>>>>>>>>> ANÁLISE COMBINATÓRIA <<<<<<<<<< a) Princípio Fundamental da Contagem Se um acontecimento A pode ocorrer da a modos diferentes, um acontecimento B de b modos diferentes e um acontecimento C e de c modos diferentes, então, o número de modos diferentes de ocorrer o acontecimento A, seguido de B, seguido de C é: a. b. c. Exemplo: 1. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de quatro algarismos podemos escrever? = 1296 Resposta: 1296 números 6

7 EXERCÍCIOS 13. Uma pessoa possui 5 camisas, 3 calças e 2 pares de sapatos. Usando apenas essas peças, de quantas maneiras diferentes essa pessoa pode se vestir? 14. Com os algarismos 2, 4, 6 e 8, quantos números de dois algarismos podemos escrever? 15. Usando somente os algarismos 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 8, quantos números: a) de três algarismos podemos formar? b) de três algarismos distintos podemos formar? b) Arranjo Simples Dado um conjunto com n elementos, chama-se arranjo simples de p elementos distintos qualquer grupo formado por p dos n elementos (p n), de modo que um grupo difere do outro pela natureza dos elementos ou pela ordem dos elementos. Indicamos o número total de arranjos simples de n elementos distintos, tomados p a p distintos, pelo símbolo: A n,p, onde: n número total de elementos p número de elementos de cada grupo. Para determinarmos o número total de arranjos simples de n elementos distintos, tomados p a p distintos, pelo símbolo: A n, p = n! (n p)! 7

8 Exemplo: Num concurso de beleza em que participam 8 candidatas, de quantas maneiras diferentes pode ser formado o grupo das 2 primeiras colocadas? Observe que neste problema temos: n = 8 e p = 2 Assim, A 8, 2 = 8! = ! = 8. 7 = 56. (8 2)! 6! Logo, podemos ter 56 modos diferentes de formar o grupo das duas primeiras colocadas. c) Permutação Simples Dado o conjunto com n elementos distintos, chama-se permutação simples de n elementos distintos qualquer grupo formado pelos n elementos. Indicamos o número total de permutação simples de n elementos distintos pelo símbolo: P n, onde n número total de elementos. Para determinarmos o número total de permutação simples de n elementos distintos sem escreve-los, usamos a expressão: P n = n! Exemplo: Quantos são os anagramas da palavra LUSA? P 4 = 4! P 4 = P 4 = 24 Logo, o número de anagramas é 24. d) Combinação Simples Dado um conjunto com n elementos, chama-se combinação simples de p elementos (p n) qualquer subconjunto formado por p dos n elementos. Indicamos o número total de combinação simples de n elementos tomados p a p distintos pelo símbolo: 8

9 C n, p, onde: n número total de elementos p número de elemento de cada grupo. Para determinarmos o número total de combinações simples de n elementos distintos tomados p a p distintos sem escreve-los, usamos a expressão: C n, p = n! O p! (n- p)! Exemplo: Com um grupo de 10 pessoas, quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas? Observe que: n = 10 e p = 4, assim: C n, p = 10! = 10! = ! = = 210 4! (10 4)! 4! 6! 4! 6! Logo, podemos formar 210 comissões. EXERCÍCIOS 16. Determine o valor de x: A x, 2 = De quantos modos podem ser escolhidos o presidente, o vice-presidente e o tesoureiro de uma firma entre os seus 10 sócios? 9

10 18. Quantos são os anagramas da palavra REAL? 19. Com relação à palavra BONITA: quantos anagramas existem? 20. Determine o valor de x: C x, 2 = Em uma sala de aula com 20alunos, quantas comissões de 3 alunos podemos formar? >>>>>>>>>> CONJUNTOS <<<<<<<<<< Exercício Resolvido Numa pesquisa feita em uma cidade sobre o consumo de um determinado produto, das três marcas apresentadas tivemos os resultados indicados na tabela abaixo: Produto Marca N de Consumidores A 120 B 100 C 80 A e B 50 B e C 30 A e C 25 A, B e C 8 10

11 Observe que nesta pesquisa todas as pessoas consumiram pelo menos três produtos. Então, pergunta-se: a) Quantas consumiram apenas o produto B? b) Quantas consumiram somente um dos três produtos? c) Quantas consumiram mais de um produto? Colocamos inicialmente n (A B C) = 8. Em seguida n (A B) = 50, n (A C) = 25 e n (B C) = 30, subtraindo 8 de cada um. Finalmente, completamos A, B e C levando-se em conta os elementos já colocados. a) 28 pessoas b) = 114 pessoas c) = 89 pessoas 11

12 EXERCÍCIO 22. Foi realizada uma pesquisa para avaliar o consumo de três produtos designados por A, B e C. todas as pessoas consultadas responderam à pesquisa e os resultados estão indicados no quadro a seguir Produto N de Consumidores A 25 B 36 C 20 A e B 6 B e C 4 A e C 5 A, B e C 0 Observação: O consumidor de dois produtos está incluído também como consumidor de cada um destes dois produtos. Com base nestes dados, calcule o número total de pessoas consultadas? 12

13 >>>>>>>>>> CONJUNTOS NUMÉRICOS <<<<<<<<<< = {0, 1, 2, 3,...} números naturais. = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} números inteiros. = a / a e b * números racionais (podem ser escritos na forma de fração) b números irracionais. Ex.: 2,,, π, 7 etc. ( = - ) = números reais. 13

14 EXERCÍCIO 23. Das afirmações a seguir, quatro são falsas. Quais são? a) 2 b) 0 c) 1 3 d) 3 7 e) 0,2 f) 3 g) 25 h) 4 i) 7 j) k) l) m) 0, n) 0,5 o) 2 >>>>>>>>>> PRODUTO CARTESIANO <<<<<<<<<< Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 4}, vamos construir um novo conjunto a partir de A e B, formado por todos os pares ordenados, onde o primeiro elemento de cada par pertença ao conjunto A e o segundo elemento pertença ao B. Esse novo conjunto chama-se produto cartesiano de A e B. Indica-se: A x B, (lê-se: A cartesiano B.) A x B = {(1, 2), (1,4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)} Representamos esse produto em diagrama:

15 EXERCÍCIOS 24. Dados: A x B = {(1, 5), (1, 6), (1, 7)} e C x D = {(1, 1), (1, 4), (3, 1), (3, 4)}, determine os conjuntos: a) A b) B c) C d) D >>>>>>>>>> RELAÇÃO <<<<<<<<<< Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 4}. Temos A x B = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)}. Vamos considerar alguns subconjuntos de A x B: a) R 1 = {(1, 2), (1, 4)} b) R 2 = { (2, 4)} c) R 3 = {(1, 2), (2, 2), (3, 4)} 2 4 Esses subconjuntos de A x B são todos relações. OBS: A relação de A em B é um subconjunto de A x B

16 EXERCÍCIO 25. Dado o produto cartesiano A x B abaixo, assinale quais das relações dadas são relações de A em B: A x B = {(1, 3), (1, 4}), (1, 5), (2, 3), ( 2, 4), (2, 5)} a) R = {(1, 3), (2, 5)} b) R = {(1, 3), (4, 1), (1, 5)} c) R = {(2, 3), (2, 4), (1, 3)} d) R = {(1, 3), (2, 3), (5, 2)} >>>>>>>>>> FUNÇÃO <<<<<<<<<< Seja o produto cartesiano: A x B E a relação de A em B: R = {(1, 2), (2, 2), (3, 4)} Em diagrama: Im (Conjunto Imagem) A (Domínio) B (contra- domínio) Notamos nessa relação que para todo elemento de A há um único correspondente em B. Então, dizemos que essa relação é uma função de A em B. Indicação: f: A B. (Lê-se: função de A em B.) O conjunto A é chamado de domínio da função (conjunto de partida) e o conjunto B é chamado de contra-domínio da função (conjunto de chegada). EXERCÍCIO 26. Identifique apenas os diagramas que representam uma função e, nesse caso, assinale o conjunto imagem: 16

17 a) b) f) g) c) h) d) i) j) e) 17

18 >>>>>>>>>> FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM <<<<<<<<<< É toda função que pode ser colocada na forma f: definida por f(x) = ax + b ou y = ax + b, sendo a 0 e {a e b}. O gráfico da função do 1º grau é uma reta. O número real a é chamado de coeficiente angular da reta, ou seja, é o valor da tangente do ângulo que a reta da função forma no sentido horário {sentido dos ponteiros de um relógio} com o eixo x {abscissa}. O número real b é chamado de coeficiente linear da reta, ou seja, é a interseção do gráfico da função com o eixo y {ordenada}. Exemplo: F(x) = 3x + 6 Cálculo para x = 0 Cálculo para y = 0 y = 3x + 6 y = 3x + 6 y = = 3x + 6 y = 6 3x = -6 x = -6 / 3 = -2 y x y Ponto 0 6 D -2 0 E 6 D E -2 0 x 18

19 >>>>>>>>>> FUNÇÃO IDENTIDADE <<<<<<<<<< consideremos uma função f de em tal que, para todo x, tenhamos f(x) = x; esta função será chamada função identidade. Observemos algumas determinações de imagens na função identidade: Exemplo: X = 0 f (0) = 0 y = 0; logo, (0; 0) é um ponto do gráfico dessa função. X = 1 f (1) = 1 y = 1; logo, (1; 1) é um ponto do gráfico dessa função. y 0 45º x 19

20 >>>>>>>>>> FUNÇÃO CONSTANTE <<<<<<<<<< Vamos iniciar agora o estudo de algumas importantes funções de variável real. Consideremos então uma função f de em tal que, para todo x, tenhamos f (x) = c, onde c ; esta função será chamada de função constante. O gráfico da função constante é uma reta paralela ou coincidente com o eixo dos x; podemos ter três casos: a) C > 0 b) C = 0 c) C < 0 y y y c x x x c Observações: Na função constante, f ( ) = {c}; o conjunto-imagem é unitário. A função constante não é sobrejetora, não é injetora e não é bijetora; e, em conseqüência disto, ela não admite inversa. 20

21 >>>>>>>>>> FUNÇÃO LINEAR <<<<<<<<<< Consideremos uma função f de em tal que, para todo x, tenhamos f(x) = ax, onde a *; esta função será chamada de função linear. Observemos que, se fizermos x = 0, teremos f(0) = a. 0, ou seja, f(0) = 0 e, portanto, y = 0; logo, o gráfico dessa função também passa pela origem, ou seja, pelo ponto (0; 0). Exemplo: Se fizermos x = 1, teremos f(1) = a. 1, ou seja, f (1) = a e, portanto, y = a; logo, o gráfico dessa função passa pelo ponto (1; a). y a - 1 x 21

22 >>>>>>>>>> FUNÇÃO QUADRÁTICA OU DO 2º GRAU <<<<<<<<<< Consideremos uma função f de em tal que, para todo x, tenhamos f(x) = ax 2 + bx + c, onde a * e b, c ; esta função será chamada de função quadrática. Pode-se mostrar que o gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y e com vértice no ponto V de coordenadas b ; - Δ. 2a 4a >>>>>>>>>> FUNÇÃO EXPONENCIAL <<<<<<<<<< Consideremos uma função f de em tal que, para todo x, tenhamos f(x) = a x, onde a, a > 0 e a 1; esta função será chamada função exponencial de base a. Exemplo: Na função exponencial f(x) = 3 x, teremos a = 3; vejamos algumas imagens dadas por esta função: f(0) = 3 0 = 1, f(1) = 1 = 3, f (2) = 3 2 = 9, f(3) = 3 3 = 27, f 1 = 3 1/2 =, f 2 = 3 2/5 = =, f (-1) = 3-1 = 1, f (-4) = 3-4 = 1 =

23 EXERCÍCIO 27. Examinando o gráfico da função abaixo, classifique cada afirmativa em verdadeira ou falsa. 1) Se f(x) > 0 então x > 2 ( ) 2) f(x) > 0 somente se x >2 ( ) 3) f(x) < 0 somente se x < 0 ( ) 4) Se f(x) = 0, então x = 1 ( ) 5) Se f(x) = 1, então x = 0 ( ) 6)f(x) = 0, somente se x = 2 ( ) 28. Os vértices de um triângulo são representados pelas coordenadas A(3, 2), B(2, -3) e C(4, - 3). O lado AB está contido em quais quadrantes? a) 1º e 4º c) 1º, 2º e 3º b) 1º e 2º d) 2º, 3º e 4º 29. O gráfico de uma função f do 1º grau intercepta os eixos coordenados nos pontos P(4, 0) e Q (0, 3). a) 1/4 b) 1/3 c) 4 d) 3/2 e) 12 23

24 30. O gráfico abaixo é determinado pela função: a) f(x) = 4x + 2 b) f(x) = x + 2 c) f(x) = x 4 d) f(x) = 2x + 4 e) f(x) = x Os valores de m para os quais a equação 3x 2 mx + 4 = 0 tem duas raízes reais iguais são: 32. Com relação ao gráfico da função f(x) = 2 (x 1) 2 4 são feitas as seguintes afirmações: I. é uma parábola com concavidade voltada para cima; II. é uma parábola cujo vértice é o ponto (-2; 4); III. o ponto de intersecção com o eixo y é (0; 2 2). Nessas condições: a) Somente a afirmação I é verdadeira. b) Somente a afirmação III é verdadeira. c) As afirmações I, II e III são verdadeiras. d) As afirmações I e II são verdadeiras. e) As afirmações II e III são verdadeiras. 33. Uma bola é largada do alto de um edifício em direção ao solo. Sua altura h em relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão h = - 25t após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo? a) 2,5 b) 5 c) 7 d) 10 e) O valor de x que soluciona a equação = 64 é: 24

25 a) 6 b) 12 c) 24 d) 36 e) nenhuma das respostas anteriores. 25

26 >>>>>>>>>> LIMITE <<<<<<<<<< Dizemos que o limite de uma função f(x), definida em um intervalo ao qual o ponto a pertence, é b se, para todo ε > 0 existir em correspondência algum δ > 0, tal que para todo x, x a, temos: EXERCÍCIO 0 < x - a < δ f(x) b < ε lim f(x) = b x a 35. Calcule o limite: lim x x 3 x 2 x 1 x >>>>>>>>>> DERIVADAS <<<<<<<<<< Seja uma função real y = f(x), se existe, finito, o limite de f(x) f(x 0 ) quando x tende a x 0, ele é chamado derivada de f no ponto x = x 0. Indicamos a derivada por f (x 0 ) (lê-se: f linha de x 0 ). Assim, definimos: EXERCÍCIO F (x 0 ) = lim f (x) f (x 0 ) = lim Δ y x x 0 x x 0 Δx 0 Δ x 36. Calcule f (x) para a função, usando diretamente a definição: f(x) = x 2 + 4x 26