Matemática I Capítulo 13 Logaritmos

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1 Nome: Nº Curso: Controle Ambiental Integrado Disciplina: Matemática I 1 Ano Prof. Leonardo Data: / /2017 Matemática I Capítulo 13 Logaritmos Logaritmos Chamamos de logaritmo de b na base a o expoente real x ao qual se deve elevar a para se obter b. com a > 0, b > 0 e a 1 A operação por meio da qual obtemos x na igualdade é utilizada: é chamada logaritmação. A seguinte nomenclatura Quando a base de um logaritmo é 10, costuma-se omiti-la na sua representação. O conjunto formado por todos os logaritmos de base 10 é chamado de sistema de logaritmos decimais ou sistema de logaritmos de Briggs. Outro sistema bastante utilizado é o sistema de logaritmos naturais ou sistema de logaritmos neperianos, pois tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza. Esses logaritmos têm base e, o número irracional conhecido como número de Euler, que equivale a 2, Costuma-se utilizar a notação esse tipo de logaritmo., para representar Condições de existência de um logaritmo Para que tenha significado para todo x real, precisamos estabelecer que: O logaritmando b deve ser positivo. Por exemplo:, não existe, pois não há x real tal que., não existe, pois não há x real tal que. A base a deve ser positiva e diferente de 1. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 1

2 Exercícios de Fixação Definição 01. (UNIFESP 2008) A tabela apresenta valores de uma escala logarítmica decimal das populações de grupos A, B, C,... de pessoas. Grupo A B C D E F População (p) Log 10 (p) 0, , , , , ,00039 Por algum motivo, a população do grupo E está ilegível. A partir de valores da tabela, pode-se deduzir que a população do grupo E é a) b) c) d) e) (UFRN 2003) Na década de 30 do século passado, Charles F. Richter desenvolveu uma escala de magnitude de terremotos - conhecida hoje em dia por escala Richter -, para quantificar a energia, em Joules, liberada pelo movimento tectônico. Se a energia liberada nesse movimento é representada por E e a magnitude medida em grau Richter é representada por M, a equação que relaciona as duas grandezas é dada pela seguinte equação logarítmica: log 10 E = 1,44 + 1,5 M Comparando o terremoto de maior magnitude ocorrido no Chile em 1960, que atingiu 9.0 na escala Richter, com o terremoto ocorrido em San Francisco, nos EUA, em 1906, que atingiu 8.0, podemos afirmar que a energia liberada no terremoto do Chile é aproximadamente a) 10 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA. b) 15 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA. c) 21 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA. d) 31 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA. 03. (UFC 2002) Suponha que o nível sonoro e a intensidade I de um som estejam relacionados pela equação logarítmica =120+10log 10 I, em que é medido em decibéis e I, em watts por metro quadrado. Sejam, I 1 a intensidade correspondente ao nível sonoro de 80 decibéis de um cruzamento de duas avenidas movimentadas, e I 2 a intensidade correspondente ao nível sonoro de 60 decibéis do interior de um automóvel com ar-condicionado. A razão I 1 /I 2 é igual a: a) 1/10 b) 1 c) 10 d) 100 e) (PUCSP 2000) A energia nuclear, derivada de isótopos radiativos, pode ser usada em veículos espaciais para fornecer potência. Fontes de energia nuclear perdem potência gradualmente, no decorrer do tempo. Isso pode ser descrito pela função exponencial P = P 0 e -t/250, na qual P é a potência instantânea, em watts, de radioisótopos de um veículo espacial; P o é a potência inicial do veículo; t é o intervalo de tempo, em dias, a partir de t o =0; e é a base do sistema de logaritmos neperianos. Nessas condições, quantos dias são necessários, aproximadamente, para que a potência de um veículo espacial se reduza à quarta parte da potência inicial? (Dado: In2=0,693) a) 336 b) 338 c) 340 d) 342 e) 346 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 2

3 05.(UFRN 1999) Sendo N um número real positivo e b um número real positivo diferente de 1, diz-se que x é o logaritmo de N na base b se, e somente se, b x =N. Assinale a opção na qual x é o logaritmo de N na base b. a) N = 0,5; b = 2; x = -2 b) N = 0,5; b = 2;x = 1 c) N = 0,125; b = 2; x = -4 d) N = 0,125; b = 2; x = (UNESP 2006) Uma droga na corrente sangüínea é eliminada lentamente pela ação dos rins. Admita que, partindo de uma quantidade inicial de Q o miligramas, após t horas a quantidade da droga no sangue fique reduzida a Q(t) = Q o (0,64) t miligramas. Determine: a) a porcentagem da droga que é eliminada pelos rins em 1 hora. b) o tempo necessário para que a quantidade inicial da droga fique reduzida à metade. Utilize log 10 2 = 0, (UNITAU 1995) O domínio da função y = log x (2x - 1) é: a) x > 1/2. b) x > 0. c) x < 1/2 e x 1. d) x > 1/2 e x 1. e) x 1/2. GABARITO 01 E 04 E 07 D 02 D 05 D a) 36% b) 1,5h 03 D Consequências da definição Caso as condições de existência dos logaritmos estejam satisfeitas, verifica-se que: Justificativa O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a 0. Exemplo O logaritmo da própria base é igual a 1. O logaritmo de uma potência da base é igual ao expoente. O logaritmo de b na base a é o expoente ao qual devemos elevar a para obter b Propriedades dos logaritmos Logaritmo de um produto O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores, tomados na mesma base, ou seja:, com a > 0, b > 0, c > 0 e a Logaritmo de um quociente O logaritmo de um quociente é igual a diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor, tomados na mesma base, ou seja:, com a > 0, b > 0, c > 0 e a 1 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 3

4 Logaritmo de uma potência O logaritmo de uma potência equivale ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência, ou seja:, com a > 0, b > 0, c > 0 e a Mudança de base Todas as propriedades operatórias dos logaritmos são válidas somente quando aplicadas a logaritmos de mesma base. Além disso, nas calculadoras científicas existem teclas que calculam apenas logaritmos decimais e logaritmos neperianos. Para resolver esses problemas, existe uma fórmula conhecida como fórmula da mudança de base, a qual permite transformar o logaritmo de uma base em outra:, com a > 0, b > 0, c > 0, a 1 e c 1 Exercícios de Fixação Propriedades Básicas e Fundamentais 01. O número, em centenas de indivíduos, de um determinado grupo de animais, x dias após a liberação de um predador no seu ambiente, é expresso pela seguinte função: Após cinco dias da liberação do predador, o número de indivíduos desse grupo presentes no ambiente será igual a: a) 3 b) 4 c) 300 d) Adotando log 2 = 0,301, a melhor aproximação de log 5 10 representada por uma fração irredutível de denominador 7 é a) 8/7. b) 9/7. c) 10/7. d) 11/7. e) 12/ O brilho de uma estrela percebido pelo olho humano, na Terra, é chamado de magnitude aparente da estrela. Já a magnitude absoluta da estrela é a magnitude aparente que a estrela teria se fosse observada a uma distância padrão de 10 parsecs (1 parsec é aproximadamente km). As magnitudes aparente e absoluta de uma estrela são muito úteis para se determinar sua distância ao planeta Terra. Sendo m a magnitude aparente e M a magnitude absoluta de uma estrela, a relação entre m e M é dada aproximadamente pela fórmula M = m + 5. log 3 (3.d -0,48 ) onde d é a distância da estrela em parsecs. A estrela Rigel tem aproximadamente magnitude aparente 0,2 e magnitude absoluta - 6,8. Determine a distância, em quilômetros, de Rigel ao planeta Terra. 04. Conhecendo-se os valores aproximados dos logaritmos decimais, log = 1,114 e log = 1,176, então, o valor de log é a) 0,062. b) 0,947. c) 1,056. d) 1,310. e) 2, (PUCSP 2005) Se x e y são números reais tais que log 8 2 x = y + 1 e log 3 9 y = x - 9, então x - y é igual a: a) 5 b) 8 c) 10 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 4

5 d) 12 e) (UFRS 2004) A soma é igual a a) -log20. b) -1. c) log2. d) 1. e) 2. log2/3 + log3/4 + log4/ log19/ (UFRN 2001) Trabalhando com log 10 (3)=0,477 e Iog 10 (2)=0,301, assinale a opção cujo valor mais se aproxima de log10(61). a) 1,079 b) 1,255 c) 1,556 d) 1, (UNIRIO 1998) Um professor propôs aos seus alunos o seguinte exercício: "Dada a função f: IR+* IR determine a imagem de x=1024" f(x) = log 2 64x 3 Qual não foi sua surpresa quando, em menos de um minuto, um aluno respondeu corretamente que a imagem era: a) 30 b) 32 c) 33 d) 35 e) (CESGRANRIO 1995) Se log = 2,09, o valor de log 10 1,23 é: a) 0,0209 b) 0,09 c) 0,209 d) 1,09 e) 1, (UEL 1996) Admitindo-se que log 5 2 = 0,43 e log 5 3 = 0,68, obtém-se para log 5 12 o valor a) 1,6843 b) 1,68 c) 1,54 d) 1,11 e) 0, (UECE 1996) Seja k um número real positivo e diferente de 1. Se então 15k + 7 é igual a: a) 17 b) 19 c) 27 d) 32 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 5

6 GABARITO 01 C 05 E 09 B 02 C 06 B 10 C 03 7,29x D 11 C 04 E 08 E Equações logarítmicas Chamamos de equações logarítmicas as equações envolvendo logaritmos e cujas incógnitas podem aparecer no logaritmando ou na base. Ao resolvermos este tipo de equação, devemos sempre verificar se os valores obtidos para a incógnita satisfazem as condições de existência. Exemplo 1 Resolva a equação : Resolução Pela definição de logaritmo: Resolvendo a equação do 2º grau: Verificando se os valores encontrados para x satisfazem as condições de existência: Para x = -3: Base positiva e diferente de 1: Logaritmando positivo: Para x = 5: Observe que x = 5 satisfaz todas as condições de existência da equação, enquanto x = -3 não. Portanto, Exercícios de Fixação Equações Logarítmicas 01. (UFRN 2006) Um paciente de um hospital está recebendo soro por via intravenosa. O equipamento foi regulado para gotejar x gotas a cada 30 segundos. Sabendo-se que este número x é solução da equação log 4 x = log 2 3, e que cada gota tem volume de 0,3 ml, pode-se afirmar que o volume de soro que este paciente recebe em uma hora é de a) 800 ml b) 750 ml c) 724 ml d) 500 ml e) 324 ml 02. (FMTM 2005) Sendo a e b reais positivos diferentes de 1 tais que x = log b a e y = log a b, a soma dos inversos de x e y, em função de x, é igual a a) 2x 1 2 x 2x 1 b) x c) x 2 1 x d) x 2 - x + 1 e) x 2-2x + 1 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 6

7 03. (MACK 2005) Se log 2 x + log 2 x 1 = -1 então log 4 x é igual a: a) 4 1 b) 2 1 c) -1 d) 1 e) (UFSM 1998) Se log 2 x + log 4 x + log 8 x + log 16 x = - 6,25, então x é igual a a) 8 b) 6 c) 1/4 d) 1/6 e) 1/8 05. (UNIFESP 2008) Uma das raízes da equação 2 2x x + 12 = 0 é x = 1. A outra raiz é a) 1 + log 10 (3/2). b) 1 + (log 10 3/ log 10 2). c) log d) (log 10 6)/2. e) log 10 (3/2). 06. (UNESP 2004) A expectativa de vida em anos em uma região, de uma pessoa que nasceu a partir de 1900 no ano x (x 1900), é dada por L(x) = 12.(199.log 10 x - 651). Considerando log 10 2 = 0,3, uma pessoa dessa região que nasceu no ano 2000 tem expectativa de viver: a) 48,7 anos. b) 54,6 anos. c) 64,5 anos. d) 68,4 anos. e) 72,3 anos. GABARITO 01 E 03 D 05 B 02 D 04 A 06 D Função logarítmica A função exponencial definida de, com a > 0 e a 1, é bijetora, portanto admite função inversa. Vamos determinar a função inversa de : Trocamos x por y e y por x: Pela definição de logaritmo: A função inversa da função exponencial chama-se função logarítmica. Denominamos função logarítmica de base a, a função que associa cada elemento x ao seu logaritmo, nessa base. Não podemos esquecer as condições de existência: a base a deve ser positiva e diferente de 1 e o logaritmando x deve ser positivo. Sendo assim, o domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos, pois engloba os valores que x pode assumir.,sendo a > 0 e a 1, IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 7

8 Como os gráficos de funções inversas são simétricos em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrantes, já podemos construir o gráfico da função logarítmica: Vamos analisar a função nos casos a > 1 e 0 < x < 1: a > 1 0 < x < 1 Note que, ou seja, quanto maiores os valores de x, maiores os valores de f(x). Assim, se a > 1, a função é crescente. Note que, ou seja, quanto maiores os valores de x, menores os valores de f(x). Assim, se 0 < x < 1, a função decrescente. Nos dois gráficos acima, podemos observar que: O gráfico nunca intercepta o eixo vertical, pois o domínio da função é. O gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0), ou seja,, logo a raiz da função é x = 1. y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é Im =. Exercícios de Fixação Gráficos 01.(UECE 2008) Na figura a seguir estão representados seis retângulos com lados paralelos aos eixos coordenados e vértices opostos sobre o gráfico da função f(x) = log 2 x, x > 0. é A soma das áreas dos seis retângulos é igual a a) 2 unidades de área b) 3 unidades de área c) 4 unidades de área d) 5 unidades de área IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 8

9 02. (UFRS 2007) Na figura a seguir, a área do retângulo sombreado é 1/2, e as curvas são gráficos das funções f(x) = n x e g (x) = log n x, sendo n um número real positivo Então, o valor de f(2) - g(2) é a) -1. b) 1/4. c) 3/4. d) 1. e) 5/ (FGV 2007) O gráfico que representa uma função logarítmica do tipo f(x) = 2 + a. log (b. x), com a e b reais, passa pelos pontos de coordenadas (1/50, 6) e (1/5, 2). Esse gráfico cruza o eixo x em um ponto de abscissa a) 3 10 )/4. b) 14/25. c) ( 10 )/5. d) 7/ (FATEC 2006) Na figura abaixo está representada a função real f, dada por f(x) = log n x, para todo x > 0 De acordo com os dados da figura, é correto concluir que a área do trapézio ABC0, em unidades de superfície, é a) 4 b) 4,5 c) 5 d) 5,5 05. (FGV 2006) Neste plano cartesiano, estão representados o gráfico da função y = log 2 x e o retângulo ABCD, cujos lados são paralelos aos eixos coordenados: Sabe-se que - os pontos B e D pertencem ao gráfico da função y = log 2 x ; e - as abscissas dos pontos A e B são, respectivamente, 1/4 e 8. Então, é CORRETO afirmar que a área do retângulo ABCD é a) 38,75. b) 38. c) 38,25. d) 38,5. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 9

10 06. (UFJF 2007) Na figura a seguir, encontram-se representados o gráfico da função f : ]0,+ [ IR, definida por f(x) = log 2 x, e o polígono ABCD. Os pontos A, C e D estão sobre o gráfico de f. Os pontos A e B estão sobre o eixo das abscissas. O ponto C tem ordenada 2, o ponto D tem abscissa 2 e BC é perpendicular ao eixo das abscissas Sabendo que os eixos estão graduados em centímetros, a área do polígono ABCD é: a) 2,5 cm 2. b) 3 cm 2. c) 3,5 cm 2. d) 4 cm 2. e) 4,5 cm (UFF 2000) A figura representa o gráfico da função f definida por f(x)=log 2 x. A medida do segmento PQ é igual a: a) 6 b) 5 c) log 2 5 d) (UFMG 2000) Observe a figura. Nessa figura, os pontos B e C estão sobre o gráfico da função y=log 2 x, os pontos A e D têm abscissas iguais a 8/3 e 12, respectivamente, e os segmentos AB e CD são paralelos ao eixo y.então, a área do trapézio ABCD é a) 64/3 b) 70/3 c) 74/3 d) 80/3 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 10

11 09.(UFMG 1997) Observe a figura. Nessa figura, está representado o gráfico de f(x)=log n x. O valor de f(128) é: a) 5/2 b) 3 c) 7/2 d) 7 10.(UFRJ 1998) Sejam x e y duas quantidades. O gráfico abaixo expressa a variação de log y em função de log x, onde log é o logaritmo na base decimal. Determine uma relação entre x e y que não envolva a função logaritmo. GABARITO 01 A 05 A 09 C 02 E 06 C 10 Y=100x 2 03 C 07 B 04 E 08 B Inequações logarítmicas Chamamos de inequações logarítmicas as inequações que apresentam a incógnita envolvida com logaritmos. Para resolvermos equações desse tipo, devemos lembrar dos gráficos dos dois casos da função logarítmica: IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 11

12 Sendo assim, procedemos da seguinte maneira: 1) Transformamos a inequação em uma desigualdade de logaritmos de mesma base, caso ela ainda não seja; 2) Conforme as relações vistas, se a base for maior que 1, a desigualdade se mantém para os logaritmandos, e, se a base for um número entre 0 e 1, a desigualdade se inverte para os logaritmandos; 3) Verificamos as condições de existência; 4) A solução será a intersecção entre as condições para x encontradas nos itens 2 e 3. Exercícios de Fixação Inequações Logarítmicas 01.(PUCPR 2005) Os valores de x que satisfazem à inequação log 4 (x + 3) 2 estão contidos no intervalo: a) x 2 b) - 2 x 2 c) 0 x 20 d) 2 x 15 e) 13 x < 02. (PUCCAMP 1995) As soluções reais da inequação a seguir são todos os números tais que a) -3 < x < -2 b) x > -3 c) x > -2 d) x < -2 e) 0 < x < 3 ( 1 2 ) log 5 (x+3) > 1 GABARITO 01 E 02 A IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 12