Mat.Semana. PC Sampaio Alex Amaral Rafael Jesus. (Roberta Teixeira)

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1 10 PC Sampaio Alex Amaral Rafael Jesus Semana (Roberta Teixeira) Este conteúdo pertence ao Descomplica. Está vedada a cópia ou a reprodução não autorizada previamente e por escrito. Todos os direitos reservados.

2 CRONOGRAMA 06/04 Inequação produto e inequação quociente Equação, inequação e função exponencial 08:00 11:00 1:00 07/04 Equação, inequação e função exponencial - continuação 8:00 13/04 Exercícios de exponencial Logaritmos: definição e propriedades 08:00 11:00 1:00 0/04 Logaritmos: definição e propriedades Função e inequação logarítmica 08:00 11:00 1:00

3 7/04 Exercícios de logaritmos Exercícios de revisão geral: 10 exercícios 08:00 11:00 1:00 8/04 Sequências: lei de recorrência e Fibonacci 08:00

4 Logaritmos 0 abr Definição e propriedades 01. Resumo 0. Exercícios de Aula 03. Exercícios de Casa 04. Questão Contexto

5 RESUMO Ainda nos resta aprender sobre duas propriedades dos logaritmos: Equações logarítmicas: Mudança de base: log b a = log b a = 1 log a b log log c c a b São aquelas em que a variável se encontra no logaritmando ou na base de um logaritmo. Lembrando que o logaritmando é sempre maior que 0 e a base sempre maior que 0 e diferente de 1. Sistemas de logaritmos Sistema decimal (base 10): Nos exercícios, é mais usual usarmos logaritmos na base 10. Dessa maneira, podemos omiti-la. Ex: log 100 = log =, pois 10² = 100. Sistema neperiano (base e): O número e, chamado de número de euler, pertence ao conjunto dos números irracionais e vale, aproximadamente,,7. e, O logaritmo neperiano, também chamado de logaritmo natural, é o logaritmo de base e e é apresentado pela letra n: ln x loge x Ex: log x 4 + log 4 x = Percebe-se que há uma restrição de que x tem que ser positivo ( x>0 ) e diferente de 1. Fazendo 4 log x = a, temos: a + 1/a = a² + 1 = a a² - ª + 1 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau temos que a = 1. Assim, log 4 x = 1, então 4¹ = x. x = 4 e satisfaz a restrição de ser maior que 0 e diferente de EXERCÍCIOS DE AULA 1. Em uma calculadora científica de 1 dígitos, quando se aperta a tecla LOG, aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava no visor. Se a operação não for possível, aparece no visor a palavra ERRO. Depois de digitar 4 bilhões, o número de vezes que se deve apertar a tecla LOG para que no visor apareça ERRO pela primeira vez é: a) duas b) três c) quatro d) cinco e) oito

6 . A acidez de frutas cítricas é determinada pela concentração de íons hidrogênio. Uma amostra de polpa de laranja apresenta ph =,3. Considerando log = 0,3, a concentração de íons hidrogênio nessa amostra, em mol.l 1, equivale a: Obs: ph = - log[h + ] a) 0,001 b) 0,003 c) 0,005 d) 0, O número de bactérias numa certa cultura duplica a cada hora. Se, num determinado instante, a cultura tem mil bactérias, daí a quanto tempo, aproximadamente, a cultura terá um milhão de bactérias? Aproximação importante: 10 = Utilizando logaritmos, considere: log 10 0,3. 4. a) horas b) 3 horas c) 5 horas d) 10 horas e) 100 horas No dia 6 de junho de 000, um terremoto atingiu a cidade de Ancara, na Turquia, com registro de 5,9 graus na escala Richter e outro terremoto atingiu o oeste do Japão, com registro de 5,8 graus na escala Richter. Considere que m1 e m medem a energia liberada sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre por terremotos com registros, na escala Richter, r1 e r, respectivamente. Sabe-se que estes valores estão relacionados pela fórmula: 80 r1 r = log 10 (m1 / m). Considerando-se que r1 seja o registro do terremoto da Turquia e r o registro do terremoto do Japão, pode-se afirmar que (m1 / m) é igual a: a) 10-1 b) c) (0,1)10 d) 10/0,1 e) 1/0,1

7 5. A intensidade do som, representada por I, é a potência do som recebida por unidade de área de uma superfície, e é medida na unidade W/m². A intensidade mais baixa que o ser humano ainda consegue ouvir é I 0 = 10-1 W/m². Quando ouvimos um som de intensidade I, o nível sonoro, representado por β, é o número dado por cuja unidade chama-se decibel (db). β =10.log I I 0 Certo dia, na rua São Clemente no Rio de Janeiro, ao meio dia, foi medida a intensidade sonora do tráfego de veículos de 10-4 W/m². Nesse momento, o nível sonoro foi de: EXERCÍCIOS PARA CASA 1. a) 100 db. b) 80 db. c) 60 db. d) 40 db. e) 90 db. Em física, denominamos por lei de Weber-Fechner a seguinte sentença: a resposta a qualquer estímulo é proporcional ao logaritmo da intensidade do estímulo. Essa lei aplica-se aos cinco sentidos, mas as suas implicações são melhor entendidas quando se refere aos estímulos provocados pelo som. Por exemplo o nível sonoro (N) de um ambiente, em decibéis (db), pode ser calculado por ela,por meio da fórmula 81 N= onde representa a intensidade sonora medida em watts por metro quadrado (W/ m²). Se, em um ambiente fechado, o nível sonoro de uma pessoa é 40dB, qual a sua intensidade sonora? a) 10-8 W/m² b) 3.3x10-1 W/m² c) 3.3x10 W/m² d) 108 W/m²

8 . A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número real tal que 0 I 8,9 sendo 8,9 a intensidade do maior terremoto já conhecido. Nessa escala, a intensidade é dada pela expressão representando E a energia liberada pelo terremoto, medida em quilowatt-hora, E 0 = 7 X 10-3 kwh. a) 5x10-9 b) 5x1015 c) 7x109 d) 7x A meia-vida é o parâmetro que indica o tempo necessário para que a massa de uma certa quantidade de radioisótopos se reduza à metade de seu valor. Considere uma amostra de 53 I 133, produzido no acidente nuclear, com massa igual a g e meia-vida de 0 h. Após 100 horas, a massa dessa amostra, em miligramas, será cerca de: 4. a) 6,5 b) 15 c) 50 d) 500 Eduardo tem atualmente uma dívida de R$ 6 300,00, que é resultado de um empréstimo de R$ 4 00,00, que não teve nenhum valor pago. 8 Como o empréstimo foi feito a juros compostos à taxa de 0% ao ano, e considerando que log = 0,3 e log 3 = 0,48, é CORRETO afirmar que o empréstimo foi feito aproximadamente há: a) anos b) anos e 3 meses c) anos e 6 meses d) 3 anos. 5. Qual o valor de x na equação log log (x + 6) =? a) 47 b) 17 c) 64 d) 4 e) 39

9 6. 7. A raiz da equação loglog (3x - 3) = pertence ao intervalo: a) [1,] b) [,4] c) [4,6] d) [6,8] e) [8,10] Ao resolver uma equação, João encontrou as raízes x1 e x. Se x1 = log3 e x = log9 4, a razão x1/x é igual a: a) 1 b) c) 3 d) 4 8. O número x > 1, tal que log x = log 4 x é: a) 83 b) c) d) e) 4

10 QUESTÃO CONTEXTO Rio-016 admite erro em tratamento da água e atletas se incomodam com cloro. O Comitê Organizador da Rio-016 admitiu erro no tratamento da água do Parque Aquático Maria Lenk, no Parque Olímpico. A água da piscina de saltos ornamentais apareceu verde nas provas desta terça-feira (9). uol.com.br/noticias/ redacao/016/08/10/ rio-016-admite-erro-emtratamento-da-agua-eatletas-se-incomodam-comcloro.htm A Fina emitiu um comunicado explicando que produtos químicos vazaram dos tanques de água, alterando o ph e a cor. "A Fina pode confirmar que a cor incomum da água observado durante as competições de saltos ornamentais na Rio-016 se deu porque alguns produtos químicos dos reservatórios de água utilizados no processo de tratamento de água vazaram para a piscina. Como resultado, o ph da água estava fora do valor habitual, fazendo com que houvesse a descoloração". Suponha que o ph da piscina olímpica, naquele momento, era 10 e que o ph ideal de uma piscina seja aproximadamente 7. Sabendo que ph = - log [H + ], diga a quantidade mínima de íons H+ que poderia estar na piscina e quantidade de íons que, de fato, estavam. 84

11 GABARITO 01. Exercícios para aula 1. d. c 3. d 4. b 5. b 03. Questão contexto [H + ] = 10-7 e [H + ] = 10-10, respectivamente. 0. Exercícios para casa 1. d. c 3. a 4. b 5. a 6. d 7. a 8. b 85