INTRODUÇÃO À ENGENHARIA

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1 INTRODUÇÃO À ENGENHARIA 2015 NOTA AULA PRÁTICA No. 07 LOGARITMOS E ESCALAS LOGARÍTMICAS PROFS. ANGELO BATTISTINI, RODRIGO DI MÔNACO NOME RA TURMA NOTA Montagem sobre a figura de J. S. Bach, criador da escala musical temperada

2 Objetivos do experimento: Nesta atividade estudam-se os conceitos de logaritmos e a construção de escalas logarítmicas, bem como exemplos de utilização. Conhecimentos desenvolvidos durante a aula: Funções exponenciais e logarítmicas, escalas. Habilidades necessárias: Medidas, construção de escalas, cálculo de logarítmo. Atitudes esperadas: A partir da aula espera-se que o aluno esteja apto a construir escalas logarítmicas e gráficos com esse tipo de escala. INTRODUÇÃO: Exponenciação é a operação que define que um determinado número que é multiplicado por ele mesmo um certo número de vezes. Por exemplo, se multiplicarmos 4 vezes o número 2 teremos: = 16 Ao invés de repetir o fator várias vezes (no caso, 2), podemos representar essa operação por uma operação de exponencial: 2 4 = 16 Sendo que neste caso o 2 é chamado de base e o 4 de expoente. O logaritmo é a operação inversa da exponenciação. Assim, se quisermos saber quantas vezes o numero 2 deve ser multiplicado por ele mesmo para obter 16, calculamos o logaritmo de 16 na base 2, matematicamente escrevemos assim: log 2 16 = 4 Embora qualquer número possa servir de base para o cálculo de logaritmos, as mais comuns são 2, 10, e e ( e é um número irracional de valor 2, , conhecido como número de Neper). ALGUMAS CONVENÇÕES: Se a base do logaritmo não é mostrada, entende-se que essa base é 10. Portanto, log é o mesmo que log 10. Para a base e (número de Neper) escreve-se ln, ou logaritmo neperiano. Assim: log e = ln PROPRIEDADES: 1. log(a.b) = log(a) + log(b) 2. log(a/b) = log(a) log(b) 3. log(1) = 0 4. log(1/a) = - log(a) 5. log(a) b = b.log(a) 6. log b (a) = log(a)/log(b) OBS.: não existem logaritmos de números negativos nem logaritmo de 0. 2

3 Antes de existirem calculadoras eletrônicas, para realizar multiplicações ou divisões entre dois números, o uso dessas propriedades tornava-as muito mais fáceis. Simplesmente se achavam os logaritmos dos dois números (para multiplicar e dividir) ou o primeiro número (potência ou raiz, onde um número já é um expoente) em uma tabela de logaritmos comuns, realizava-se uma operação mais simples neles, e se encontrava o resultado numa tabela. Réguas de cálculo realizavam as mesmas operações usando logaritmos, mas mais rapidamente e com menor precisão do que usando tabelas. Figura 1: detalhe de uma régua de cálculo ESCALAS LOGARÍTMICAS: Na engenharia, quando analisamos comportamentos de alguma grandeza que varia muitas ordens de grandeza 1, a representação gráfica do fenômeno pode ser feita com escalas logarítmicas, que são uma forma de representar a grandeza com uma variação não linear, ou seja, ao invés de utilizarmos 1, 2, 3, 4, 5,... usamos uma variação que pode ser em décadas (1, 10, 100, 1.000, ,... ) ou em oitavas 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32,...). 1 Reveja na aula 3 a definição de ordem de grandeza. 2 Na música, uma oitava significa a oitava nota de uma escala. Se iniciamos a escala em Dó, teremos Dó (1 a ), Ré (2 a ), Mi (3 a ), Fá (4 a ), Sol (5 a ), Lá (6 a ), Si (7 a ) e Dó (8 a ). Essa última nota, a oitava da escala, possui o dobro da frequência da primeira. Se prosseguirmos na escala, o próximo Dó terá o dobro desse último e assim por diante. Por isso, a cada vez que dobramos o valor da frequência, temos uma oitava. Assim, quando criamos uma escala logarítmica de base 2, dizemos que está construída em oitavas. 3

4 ATIVIDADE PRÁTICA: 1. Com o auxilio de uma calculadora científica, calcule os valores dos logaritmos dos números indicados na tabela 1 (use 4 algarismos significativos): Tabela 1 n log (n) Ainda com o uso da calculadora, determine os logaritmos dos números listados abaixo: Tabela 2 n ,5 0,05 0,005 0,0005 log (n) 4

5 3. Observe os resultados. Agora, SEM USAR CALCULADORA, preencha a tabela:!tabela 3 n log (n) ,8451 1,9542 4,4771 6, CONSTRUINDO UMA ESCALA LOGARITMICA. Para construir uma escala logarítmica, façamos o seguinte: a) Estabelecemos um comprimento padrão (L) que corresponderá a uma década qualquer (de 1 a 10, ou de 10 a 100, ou de 0,01 a 0,1...). No nosso caso, usaremos o comprimento da escala L = 10 cm e a década de 1 a 10. b) Agora, marcamos na escala o valor 2 (lembre que log(1) = 0 e que log(10) = 1). Como log(2) = 0,3010, para calcular o ponto onde será colocado o 2, para um comprimento L de 10 cm, na escala de 1 a 10, a distância entre 1 e 2 será de: 10 cm x 0,3010 = 3,01 cm. 5

6 c) Da mesma forma, para marcar o 3, log(3) = 0,4771:. d) Agora, na figura abaixo, termine a escala, marcando os valores de 4, 5, 6, 7, 8 e 9.. e) Observe que se fizéssemos a escala em outra década, o procedimento seria o mesmo. Então, complete a escala logarítmica para a década de 10 a 100 (até o 30 fizemos pra você, complete com 40, 50, 60, 70, 80 e 90) : f) Agora, juntamos as duas décadas (complete a escala): g) Podemos também fazer décadas para números menores que 1 (e maiores que zero). Crie uma escala log que vá de 0,1 até 1: 6

7 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1. Na aula prática no. 1 utilizamos um gráfico (de uma função exponencial) que representava o volume de água em um reservatório furado, ao longo do tempo. Abaixo é dada a tabela referente àquele gráfico. Na página final deste roteiro construa no eixo horizontal (tempo) a mesma escala usada anteriormente (linear). No eixo VERTICAL, construa uma escala LOGARÍTMICA (volume de água) indo de 10 a (são 3 décadas: de 10 a 100, de 100 a e de a ), em seguida trace a curva relativa a esse gráfico. tempo (h) volume (l) , , , , , , , , , ,

8 RESPONDA: o que você observou? Justifique a resposta 2. Utilizando a escala logarítmica feita no item 4d, meça, com uma régua, a distância entre os números 1 e 2. Em seguida meça a distâncias entre 1 e 3. Depois, some esses valores: d12 = d13 = d12 + d13 = Volte à escala e, partindo do número 1, veja qual número corresponde à distância "d12 + d13. Responda: Que número corresponde a essa distância? Qual a propriedade dos logaritmos que explica o resultado? 8

9 CONCLUSÕES: EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Utilizando a tabela 2 (próxima página): a) construa o gráfico referente aos dados apresentados com escalas lineares b) construa o gráfico com a escala vertical logarítmica. (lembre sempre de colocar nos eixos as grandezas e unidades) 9

10 Tabela 2 tempo (s) corrente elétrica (ma) 0 2,00 0,5 1,76 1 1,56 1,5 1,37 2 1,21 2,5 1,07 3 0,94 3,5 0,83 4 0,74 4,5 0,65 5 0,57 5,5 0,51 6 0,45 6,5 0,39 7 0,35 7,5 0,31 8 0,27 8,5 0,24 9 0,21 9,5 0, ,16 2. Um sistema de instalações elétricas lançará mão da energia nuclear para o processo, e para isso é preciso avaliar sua viabilidade, equacionando sua oferta de energia. O material radioativo se desgasta ao longo do tempo, esse desgaste é determinado pela meia vida do elemento. A meia vida é o intervalo de tempo em que uma quantidade útil desse elemento se reduz à metade. Este intervalo de tempo também é chamado de período de semidesintegração (T). E é com base nessas semidesintegrações que o processo será delineado. A equação que rege o consumo do material radioativo é: 10

11 Onde: M" é a massa útil de material radiativo no instante t (em anos) Mo"é a massa inicial de material radiativo X" é a relação entre o instante t" e o período de meia vida (T): Para o reator ter bom nível de aproveitamento útil, deve ser alimentado com uma quantidade inicial de 100 kg de um material radioativo que possui semidesintegração de 10 anos, que gerará energia elétrica suficiente para alimentar todo polo industrial de uma determinada região. a) Complete a tabela a seguir, construa os gráficos em escala linear e logarítmica (no eixo vertical). b) Determine nos gráficos qual o período de semidesintegração (T). c) Determine graficamente quantos períodos de semidesintegrações (T) deverão transcorrer para que o resíduo (M) atinja menos de 1 kg. Tabela 3 X M = Mo/2 X (kg)

12 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Holtzapple, M. T. e Reece, W. D.; Introdução à Engenharia; LTC Editora, Rodrigues, Neves; Logaritmos; EDILD, Maor, Eli; 'e', A HISTÓRIA DE UM NÚMERO : Editora Record. ESPAÇO PARA O GRÁFICO 1 o EXERCÍCIO COMPLEMENTAR 12