MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 13 FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Transcrição

1 MATEMÁTICA - 3 o ANO MÓDULO 13 FUNÇÃO LOGARÍTMICA

2 y a > 1 0 < a < 1 y 0 1 x 0 1 x Função crescente Função decrescente

3 y a > 1 0 < a < 1 y x x - 0 < x < 1 log a x < 0 x = 1 log a x = 0 x > 1 log a x > 0 0 < x < 1 log a x > 0 x = 1 log a x = 0 x > 1 log a x < 0

4 y a > 1 0 < a < 1 y log a x 2 1 x 1 x 2 0 x log a x 1 log a x x 1 x 2 x log a x 2 log a x 2 > log a x 1 x 2 > x 1 mantém log a x 2 < log a x 1 x 2 > x 1 inverte

5 Como pode cair no enem (ENEM) A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada com M w ), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. M w e M 0 se relacionam pela fórmula: M w = 10,7 + 2/3 log 10 (M 0 ) Onde M 0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é dina.cm. O terremoto de Kobe, registrado no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos tremores que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude M w = 7,3. (U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes. Disponível em: Acesso em: 1 maio 2010 [adaptado].) (U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy. Disponível em: Acesso em: 1 maio 2010 [adaptado].) Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M 0 do terremoto de Kobe (em dina.cm)? a) 10 5,10 d) 10 21,65 b) 10 0,73 e) 10 27,00 c) 10 12,00

6 Fixação 1) (UFG) Se a curva da figura representa o gráfico da função y = log x, x > 0 o valor da área hachurada é: y a) log 2 d) log 5 b) log 3 e) log 6 c) log x

7 Fixação 2) (UERJ) Há números em que, para cada um deles, o quadrado do logaritmo decimal é igual ao logaritmo decimal do seu respectivo quadrado. Logo, a soma dos valores reais dos números que satisfazem essa igualdade é: a) 90 d) 101 b) 99 e) 201 c) 100

8 Fixação 3) (UERJ) Jorge quer vender seu carro por R$ ,00. Pedro, para comprá-lo, dispõe de R$ 5.000,00, e aplica esse valor em um investimento que rende juros compostos a uma taxa de 28% a cada dois anos. Considere que a desvalorização do carro de Jorge seja de 19% a cada dois anos, calculada sobre o valor do carro no período de dois anos imediatamente anterior. Calcule o tempo mínimo em que Pedro terá dinheiro suficiente para comprar o carro de Jorge. Utilize, em seus cálculos, log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.

9 Fixação 4) (UERJ) Um pesquisador, interessado em estudar uma determinada espécie de cobras, verificou que, numa amostra de trezentas cobras, suas massas M, em gramas, eram proporcionais ao cubo de seus comprimentos L, em metros, ou seja, M = a x L³, em que a é uma constante positiva. Observe os gráficos abaixo: I) II) log M log M log L log L III) log M IV) log M log L log L Aquele que melhor representa log M em função de log L é o indicado pelo número: a) I b) II c) III d) IV

10 Fixação 5) (UFF) Segundo Resnick e Halliday, no livro Física (vol. 2, 4 a ed.), a intensidade relativa I R de uma onda sonora, medida em decibel (db), é definida por: I R = 10 log i 10 sendo I a intensidade I0 sonora medida em Watt/m 2 e I o a intensidade sonora de referência (correspondente ao limiar da audição humana) também medida em Watt/m 2. Apresentam-se, a seguir, os valores em db das intensidades relativas (I R ) das ondas sonoras correspondentes a algumas situações particulares. Situação Particular IR (db) Limiar da audição humana 0 Sussurro médio 20 Conversa normal 65 Limiar da dor 120 Na unidade Watt/m 2, pode-se afirmar que: a) a intensidade sonora do sussurro médio é menor que 10 vezes a intensidade sonora do limiar da audição humana; b) a intensidade sonora do limiar da dor é 120 vezes a intensidade sonora do limiar da audição humana; c) a intensidade sonora do limiar da dor é igual a vezes a intensidade sonora de um sussurro médio; d) a intensidade sonora do limiar da dor é, aproximadamente, o dobro da intensidade sonora de uma conversa normal; e) a intensidade sonora de uma conversa normal é menor que 10 4 vezes a intensidade sonora de um sussurro médio.

11 1) (UFF) O valor mínimo da função de variável real f definida por f(x) = log10 x + 1 é obtido para x igual a: a) 10 2 d) 10 b) 10 1 e) 10 2 c) 1

12 2) (UFF) Determine o domínio da função de variável real f definida por f(x) = log 10 (8 - x 2-2x).

13 3) (UERJ) No sistema cartesiano abaixo, estão representadas as funções y = log 2 (x + a) e y = 3, onde a é número real diferente de zero. y y = log 2 (x + a) y = 3 Assim, o valor de a é: a) 5 b) 6 c) 8 d)10 2 x

14 4) (UFRJ) Ao passar a limpo seu caderno de matemática, um aluno deparou-se com a seguinte expressão: log b 2 = 0, Embora a base b do logaritmo estivesse borrada, o aluno lembrava-se de que b era um número natural de um algarismo. Determine b.

15 5) (UERJ) Considere a soma: S = log (3/2) + log (4/3) + log (5/4) log (n/n - 1), onde n é um número natural. Determine o menor valor de n para o qual S > 1.

16 6) (UFF) Após acionado o flash de uma câmera fotográfica, a bateria começa imediatamente a recarregar o capacitor que armazena uma quantidade de carga elétrica (medida em Coulomb) dada por Q = Q(t) = Q 0 (1 e l t ), sendo: Q(t) a carga elétrica armazenada até o instante t, medido em segundo; Q 0 a carga máxima; l uma constante. Considerando l = ½ e ln 10 = 2,3, determine: a) a expressão de t em função de Q. b) o tempo necessário para que o capacitor recarregue 90% da sua carga máxima.

17 7) (UERJ) A intensidade I de um terremoto, medida pela escala Richter, é definida pela equação abaixo, na qual E representa a energia liberada em kwh. 2 E 3 E 0 I = log 10 O gráfico que melhor representa a energia E, em função da intensidade I, sendo E 0 igual a 10-3 kwh, está indicado em: a) c) E E 0 I 0 I b) d) E E 0 I 0 I

18 8) (UERJ) Em uma cidade, a população que vive nos subúrbios é dez vezes maior do que a que vive nas favelas. A primeira, porém, cresce 2% ao ano, enquanto a segunda cresce 15% ao ano. Admita que essas taxas de crescimento permaneçam constantes nos próximos anos. a) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios hoje é igual a 12,1 milhões de habitantes, calcule o número de habitantes das favelas daqui a um ano. b) Essas duas populações serão iguais após um deter- 1 minado tempo t, medido em anos. Se t =, determine log x o valor de x.

19 9) (UERJ) Um grupo de 20 ovelhas é libertado para reprodução numa área de preservação ambiental. Submetidas a um tratamento especial, o número N de ovelhas existentes após t anos pode ser estimado pela seguinte fórmula: N = (0,81) t Admita que a população de ovelhas seja capaz de se manter estável, sem esse tratamento especial, depois de atingido o número de 88 ovelhas. a) Calcule o número de ovelhas existentes após seis meses. b) Considerando ln 2 = 0,7, ln 3 = 1,1 e ln 5 = 1,6, calcule a partir de quantos anos não haverá mais a necessidade de tratamento especial do rebanho.

20 10) (UERJ) Seja β a altura de um som, medida em decibéis. Essa altura β está relacionada à intensidade do som, I, pela expressão abaixo, na qual a intensidade padrão, I 0, é igual a W / m 2. I β = 10 x log I 0 Observe a tabela a seguir. Nela, os valores de I foram aferidos a distâncias idênticas das respectivas fontes de som. Fonte de som I (W/m2) turbina 1,0 x 10 2 amplificador 1,0 triturador de lixo 1,0 x 10-4 TV 3,2 x 10-5 Sabendo que há risco de danos ao ouvido médio a partir de 90 db, o número de fontes da tabela cuja intensidade de emissão de sons está na faixa de risco é de: a) 1 c) 3 b) 2 d) 4

21 11) (UFF) Sejam x, y e p números reais positivos e p 1. Se log p (x + y) = m e log p x + log p y = x + y n, então log 10 é igual a: xy a) m n b) m/n c) m x n d) m + n e) m n

22 12) (UNIRIO) Se N(t) = N 0. e kt, t 0 e N(2) = 3N 0, então o valor de k é: a) log e 3 d) log 4 e b) 1 log 2 e 3 e) log 2 e c) 1 log 3 e 3

23 13) (UNIRIO) Sabendo-se que log c a = log c a log c b, onde a, b, c > 0 e b, c 1, o valor de log = 3 1/2 12 é igual a: (considere log 2 3 = x) a) -2x d) 2 + x 3 9 b) -(2 + x) e) 2 + x 9 3 c) -(2 + x) 3

24 14) (UERJ) Observe no gráfico a função logaritmo decimal definida por y = log(x). y 1 0,8 0,6 0,4 0, x Admita que, no eixo x, 10 unidades correspondem a 1 cm e que, no eixo y, a ordenada log(1000) corresponde a 15 cm. A escala x:y na qual os eixos foram construídos equivale a: a) 5:1 b) 15:1 c) 50:1 d) 100:1

25 15) (UFRJ) A figura a seguir mostra os gráficos das funções f e g, definidas no intervalo ]0,4] por: y M N f(x) = x - in x e g(x) = x - (Inx) P Q 4 x onde ln expressa o logaritmo na base neperiana e (e 2,7). Sejam M, N os pontos de interseção dos dois gráficos e P, Q suas respectivas projeções sobre o eixo x. Determine a área do trapézio MNQP.