LOGARITMOS. Mottola. 4) (FUVEST) Se log 10 8 = a então log 10 5 vale (a) a 3 (b) 5a - 1 (c) 2a/3 (d) 1 + a/3 (e) 1 - a/3

Transcrição

1 LOGARITMOS 1) (UFMG) Para a função f() = log a (1 + 2 ), com a > 1, assinale a alternativa incorreta. (a) A função é definida para todo R. (b) A função tem valor mínimo para = 0. (c) A função assume valores negativos. (d) A função é satisfeita pelo par (0,0). (e) A função não é crescente 2) (UFB) O conjunto de valores que satisfazem a relação log (2-8) < log é (a) { R/ < 0} (b) { R/ 0 < 2} (c) { R/ 4 < < 8} (d) { R/ 8 < 12} (e) { R/ > 12} ) (UFGO) Os gráficos das funções reais y = log e y = log (a) interceptam-se em um único ponto. (b) interceptam-se em dois pontos. (c) interceptam-se em três pontos. (d) são coincidentes. (e) não se interceptam. 4) (FUVEST) Se log 10 8 = a então log 10 5 vale (a) a (b) 5a - 1 (c) 2a/ (d) 1 + a/ (e) 1 - a/ 5) (UFGO) Se log 2 (-y) = a e + y = 8, então log 2 ( 2 - y 2 ) vale (a) 2 + a (b) a (c) + a (d) 8a (e) 8 + a 1

2 6) (FUVEST) A função inversa de (a) y log 5 ( ) (b) y log ( ) 5 (c) y log ( ) (d) y 5 y 5 ( ) y 5 é (e) 1 y y 5 7) (UFRGS) Considere as funções numeradas de 1 até 5 e os gráficos de A até E. ( a ) y ( b ) y ( c ) y ( d ) y ( e ) y (1) y = log() (2) y = 10 () y = (1/10) log () (4) y = 10 (5) y = log (10 ) Associando-se as funções a seus gráficos, obtêm-se os pares (a) (1, A), (2, B), (, C), (4, D), e (5, E) (b) (1, A), (2, B), (, C), (4, E), e (5, D) (c) (1, A), (2, C), (, B), (4, D), e (5, E) (d) (1, B), (2, A), (, C), (4, D), e (5, E) (e) (1, B), (2, C), (, A), (4, E), e (5, D) 2

3 8) (VUNESP) A figura representa o gráfico de y = log 10 y C B A O a b c Sabe-se que 0A = BC. Então se pode afirmar que (a) log a b = c (b) a + b = c (c) a c = b (d) ab = c (e) 10 a + 10 b = 10 c 9) A epressão log(a) é equivalente a log(b) (a) log(a) - log(b) (b) log(a - b) (c) log b (a) (d) log a (b) (e) log(a/b) 10) Seja f definida por f() = log 1,72 (). Podemos afirmar que (a) f é uma função decrescente (b) f tem uma assíntota horizontal (c) não eiste f(2) (d) f -1 é definida por f -1 () = 1,72 (e). f() > 0 para todo 11) Uma epidemia inicia com um contaminado. No segundo dia, este contaminado contamina dois novos indivíduos. A cada novo dia, cada indivíduo contaminado irá contaminar dois novos indivíduos. Considerando log()=0,4771, a quantidade total de indivíduos contaminados dia 101 está no intervalo (10 n, 10 m ), para n e m, respectivamente, (a) 10 e 20 (b) 20 e 0 (c) 0 e 40 (d) 40 e 50 (e) 50 e 60

4 12) (UFRGS) Os conjuntos de soluções reais das desigualdades log (1) > 0, log() > 0, log(1) > são, respectivamente, (a), (1, + ) e (-, 0) (b), (0, + ) e (-, 0) (c), (1, + ) e (0, + ) (d) (0, + ), (1, + ) e (-, 0) (e) (0, + ), (0, + ) e (-, 0) 1) A solução de = 0, com log(2)=a, é (a) (1 - )/a (b) 1/a + (c) 1/a - (d) 1 + a (e) 1 a 14) O domínio máimo real, da função real definida por f() = log ( - 1), é (a) (-, 2] (b) [-2, + ) (c) [2, + ) (d) R (e) 15) Em um terremoto, considere as variáveis: A: amplitude relativa da onda sísmica a 100 km do epicentro. M=log(A): magnitude do sismo. M A As magnitudes formam uma escala logarítmica chamada de escala Richter. Quando a magnitude de um terremoto passa de 4 para 6, a amplitude relativa da onda sísmica é multiplicada por (a) 2 (b) log(2) (c) log(6)/log(4) (d) 10 (e) 100 4

5 16) (UFRGS) A raiz da equação log(log ( + 1) ) = 0 é (a) 0 (b) 1 (c) 9 (d) 10 (e) 11 17) (UFRGS) Encontre o par de gráficos que melhor representa a função y = log 0,1 () e sua inversa, nessa ordem. ( I ) y ( II ) y ( III ) y ( IV ) y ( V ) y (a) I e III (b) II e IV (c) II e V (d) I e II (e) IV e III 18) (OSEC) Sabendo-se que a, b e c são três números inteiros e positivos e que log 10 (ab) = 12,6 e log 10 (ac) = 0,2, então log 10 (b/c) vale (a) 12,8 (b) 12,4 (c) 2,52 (d) 6, (e) 6 5

6 19) (PUC) Um aluno do Ensino Médio deve resolver a equação 2 = com o uso da calculadora. Para que seu resultado seja obtido em um único passo, e aproime-se o mais possível do valor procurado, sua calculadora deverá possuir a tecla que indique a aplicação da função f definida por (a) f(s) = s 2 (b) f(s) = 2s (c) f(s) = 2 s (d) f(s) = log(s) (e) f(s) = log 2 (s) 20) (UFRGS) Na figura abaio está representado o gráfico da função f() = log b (). f() = log b (2) -1 0,5 2 (a) 2 (b) 2,2 (c) 2,5 (d) 2,8 (e) A área da região sombreada é 21) (UFRGS) Para todo n > 1, tem-se que log n (n + 1) é (a) 1 (b) n (c) maior do que 1 (d) menor do que 1 (e) maior do que n 6

7 22) (PUC) O número real está no visor de uma calculadora. Ao pressionarmos duas vezes seguida a tecla log a (), obtemos resultado zero. O valor de é (a) 0 (b) 1 (c) a (d) a 2 (e) 2 a 2) (UFGRS) Dentre os gráficos abaio, o que pode representar a função é log f ( ) log 2 y y y y y (a) (b) (c) (d) (e) 24) (UNIFOR) O conjunto solução da equação (log ) 2-2. log + 1 = 0, no universo R, é (a) {0} (b) {0,1} (c) {1} (d) {10} (e) {100} 25) A alternativa que contém o valor mais próimo de é (a) (b) (c) 10 0 (d) (e) Dado: log(2)=0,01 7

8 RESOLUÇÃO 1) Em f() = log a (1 + 2 ), vamos atribuir um valor maior do que 1 para a base a, por eemplo, a=2. f(0) = log 2 ( ) = log 2 (1) = 0 f(1) = log 2 ( ) = log 2 (2) = 1 f(-1) = log 2 (1 + (-1) 2 ) = log 2 (2) = 1 f(2) = log 2 ( ) = log 2 (5), que é um número entre 2 e. f(-2) = log 2 (1 + (-2) 2 ) = log 2 (5), que é um número entre 2 e. 2 f() = log 2 (1 + 2 ) (a) é V: A função é definida para todo R. (b) é V: A função tem valor mínimo para = 0. (c) é F: A função é sempre positiva. (d) é V: O gráfico passa por (0,0). (e) é V: A função não está sempre crescendo. Obs.: 1) é sempre maior do que 1, pois 2 nunca é negativo. O logaritmo base 2 de números maiores do que 1 nunca é negativo. 2) O gráfico não é o de uma parábola, pois deve apresentar uma ponta em (0,0). 2) log (2-8) < log 2 8 < (base 10 1, não inverte o sinal da desigualdade). < 8 Porém, 2 8 tem que ser positivo, ou seja, e < 8 { R / 4 < < 8} ) O número de soluções do sistema y log y log dos gráficos. é o número de pontos de intersecção Igualando os y, temos: log() = log() log( ) = log () = = 0 ( 2 ) = 0 = 0 ou = ou = - Como tem que ser positivo, o único possível é. Uma só solução. 8

9 4) log 10 (8) = a log 10 (2 ) = a log 10 (2) = a log 10 (2) = a/ log 10 (5) = log 10 (10/2) = log 10 (10) log 10 (2) = 1 a/ 5) log 2 ( y) = a e + y = 8. log 2 ( 2 y 2 ) = log 2 (( + y)( y)) = log 2 ( + y) + log 2 ( y) = log 2 (8) + a = 8 a + a. 6) ( ) f ( ) 5 : (elevar ao cubo) (eponencial base 5) ( ) 5 Inversa: log 5 () (logaritmo base 5) (tirar a raiz cúbica) log 5 ( ) 7) (1) y = log() é uma função logarítmica base 10 1, logo é crescente: A (2) y = 10 é uma função eponencial base 10 1, logo é crescente: C () y = (1/10) é uma função eponencial base 1/10<1, logo é decrescente: B (4) y = 10 log () =, que é a identidade, mas tem que ser positivo: D (5) y = log (10 ) = log(10) =, que é a identidade: E Resposta: (1, A), (2, C), (4, D), (5, E) 8) y = log() log(c)=c log(b)=b log(a)=a O a b c log(a)=a, log(b)=b, log(c)=c. OA tem tamanho A=log(a). BC tem tamanho C-B= log(c)-log(b). Se AO=BC, então log(a)=log(c)-log(b). log(a)=log(c/b) a=c/b ab=c 9

10 9) Passando log b (a) para a base 10, temos: log( a) log b( a). log( b) 10) f() = log 1,72 (). (a) é F: Quando a base é maior do 1, a função é crescente. (b) é F: As funções logarítmicas básicas têm Y como assíntota vertical. (c) é F: Funções logarítmicas não são reais apenas para negativos ou zero. (d) é V: A inversa da logarítmica base 1,72 é a eponencial base 1,72. (e) é F: Observando o gráfico, para (0,1), f() < 0. f() 1 11) Dia Novos Contaminados Total de Contaminados 1 1 1= = 1 6 9= = = log( 100 ) = log() 100 log() = log() 100 0,4771 = log() 47,71 = log() = 10 47,71 está entre e

11 12) a) log (1) 0 y = log (1) não é uma função logarítmica básica. A base não pose ser variável. Vamos passar para a base constante 10: log(1) 0 log (1). Se o denominador for nulo, não eiste. Caso contrário é log( ) log( ) zero. De qualquer forma, nunca será maior do que zero. O conjunto que satisfaz é vazio. b) log() > 0 Analisando o gráfico da função y = log(), observamos que os afastamentos tais que y é positivo são os maiores do que 1. O conjunto que satisfaz é (1, + ). y=log() 1 c) log(1) > log(1) = 0 Temos: 0, ou seja, < 0. O conjunto que satisfaz é (-, 0) 1) 4 2 = 5 2 = 5/4 log(2 ) = log(5/4) log(2) = log(5) log(4) log( 5) log( 4) 10 log( 5) log log(10) log( 2) 1 a. log( 2) 2 log(4)=log(2 2 1 a 2a 1 a 1 )=2log(2)=2a. Logo,. a a a 14) Se f() = log( 1), então log( 1) tem que ser maior do que zero. 0 1 y=log() y=log(-1) Os afastamentos para os quais y=log(-1) é positivo, são os maiores do que 2. 11

12 15) A: amplitude relativa da onda sísmica a 100 km do epicentro. M=log(A): magnitude do sismo M A 1 A 2 A log(a 1 )=M 1 e log(a 2 )=M 2 log(a 1 )=4 e log(a 2 )= =A 1 e 10 6 = A 2 A 2 =100A 1 Logo, é multiplicada por ) log (log( 1)) 0 10 log( 1) 10 1 log 1 ( 1) 10 1 = ) y=log 0,1 () é uma logarítmica básica decrescente, pois a base é 0,1<1. Logo, seu gráfico tem a forma: A inversa da logarítmica y=log 0,1 () é a eponencial y=0,1, que á uma eponencial básica decrescente. Logo, o seu gráfico tem a forma: Assim, os gráficos que melhor representam y=log 0,1 () e a sua inversa são os de números II e IV. 12

13 18) log 10 (ab) = 12,6 log 10 (ac) = 0,2 - log(ab) - log(ac) = 12,4 ab log 12,4 ac b log 12,4 c 19) 2 = equivale a dizer que log 2 () =. Se tivermos uma função definida por f(s) = log 2 (s) e substituirmos s por, teremos f() = log 2 (), que é o procurado. 20) f() = log b (2) h h=f(2) -1 0,5 2 A área do retângulo é obtida por base altura. A base é 2 e a altura h. Logo, A = 2 h. h é f(2). Se descobrirmos a lei da função f, obteremos h. Na lei da função f, b é uma letra a ser determinada. O ponto (1/2, -1) pertence ao gráfico da f. Substituindo este ponto na epressão y = log b (), temos: -1 = log b (1/2) b -1 = 1/2 b = 2 Logo, f() = log 2 (). h = f(2) = log 2 (2) = 1. A = 2 1 = 2. 1

14 21) n > 1. Queremos o valor de log n (n + 1). log n (n + 1) = n = n + 1 y = n y = n Temos n = n + 1 para um valor maior do que 1. 22) Pressionando duas vezes a tecla log a () temos log a (log a ()). Se log a (log a ()) = 0, então a 0 = log a (). Ou seja, 1 = log a (). Se log a () = 1, então a 1 =. Logo, = 1. 2) log log 2 log 2 log 1 1 f ( ), que é uma constante k. log log log 2 log log 2 Logo, f() = k, correspondendo ao gráfico da alternativa (a). k 14

15 Obs.: A questão deveria ser anulada, pois f(0) e f(1) não estão definidas, uma vez que envolveria log(0) e divisão por zero. Assim, o gráfico correto deveria ser o seguinte: k ) (log ) 2-2. log + 1 = 0 Seja t = log() Substituindo, t 2 2t + 1 = 0. Resolvendo, temos t =t =1 Como t=log(), temos que log()=1. Logo, =10 25) 1º Modo = log (2 100 ) = log() 100 log(2) = log() 100 0,01 = log() 0,1 = log() = 10 1 Logo, o valor mais próimo é º Modo log(2) = 0, ,01 = = (10 0,01 ) 100 = 10 0, º Modo = = (2 10 ) 10 = = (10 ) 10 =

16 RESPOSTAS 1) C 2) C ) A 4) E 5) C 6) A 7) C 8) D 9) C 10) D 11) D 12) A 1) C 14) C 15) E 16) C 17) B 18) B 19) E 20) A 21) C 22) C 2) A 24) D 25) C 16