MATEMÁTICA ELEMENTAR II:

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1 Marcelo Gorges Olímpio Rudinin Vissoto Leite MATEMÁTICA ELEMENTAR II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia 009

2 009 IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais. CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ L55m Leite, Olímpio Rudinin Vissoto. Matemática elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia. / Olímpio Rudinin Vissoto Leite, Marcelo Gorges. Curitiba, PR: IESDE, p. Sequência de: Matemática elementar I ISBN Matemática (Ensino médio). I. Gorges, Marcelo. II. Inteligência Educacional e Sistemas de Ensino. III. Título CDD: 50 CDU: 5 Capa: IESDE Brasil S.A. Imagem da capa: Júpiter Images/DPI Images Todos os direitos reservados. IESDE Brasil S.A. Al. Dr. Carlos de Carvalho,.48. CEP: Batel Curitiba PR

3 Olímpio Rudinin Vissoto Leite Mestre em Gestão de Negócios pela Universidade Católica de Santos. Graduado em Licenciatura em Matemática pela USP. Marcelo Gorges Licenciado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica do Paraná.

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5 Sumário Números e operações Números naturais Números inteiros 4 Números racionais 7 Números reais 0 Porcentagem 4 Fator de aumento 6 Fator de redução 7 Geometria e medidas Comprimento e massa Área, volume e capacidade 7 Volume e capacidade 4 Estimativas e arredondamentos 46 Teorema de Tales 5 Teorema de Pitágoras 58 Gráficos 65 Tipos de gráficos 65 Introdução às funções 8 Conceito intuitivo de função 8 Gráfico cartesiano 85 Domínio e imagem de uma função 88 Uma nova notação para função 89

6 Função afim 97 Gráfico da função afim 97 Função linear 98 Função identidade 98 Função constante 99 Coeficientes da função afim 00 Interseção da reta com eio (raiz da função afim) 0 Equações da reta 08 Função quadrática 5 Gráfico de uma função quadrática 5 Domínio e imagem da função quadrática 6 Máimo ou mínimo de uma função quadrática 7 Tópicos complementares de funções 5 Função definida por várias sentenças 5 Estudo da variação das funções 9 Valores etremos de uma função 4 Estudo do sinal de uma função 47 Inequação 49 Funções eponenciais 55 Potenciação 55 Propriedades das potências 56 Notação científica 57 Função eponencial 6 Equações eponenciais 69

7 Função logarítmica 75 O que é logaritmo? 75 Propriedades dos logaritmos 78 Função logarítmica 86 Equação logarítmica 90 A função eponencial de base e e de base e 9 Logaritmo natural 9 Introdução à trigonometria 97 As razões trigonométricas 97 Como calcular o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo? 99 Seno, cosseno e tangente de um ângulo obtuso Lei dos senos 9 Lei dos cossenos 9 Progressão Aritmética (P.A.) 5 Sequência numérica 5 Progressão Aritmética (P.A.) 8 Progressão Geométrica (P.G.) 4 Progressão Geométrica 4 Classificação de P.G. 4 Sistemas lineares 59 Matrizes 59 Determinantes 65 Sistemas lineares 69

8 Princípio fundamental da contagem 79 Princípio fundamental da contagem 79 Tipos de agrupamentos 8 Análise combinatória 87 Fatorial 87 Permutação simples 88 Permutação com repetição 89 Arranjo simples 9 Combinação simples 95 Noções de probabilidade 99 Eperimentos aleatórios 99 Probabilidade 00 Probabilidade condicional 06 Matemática Financeira Porcentagem Porcentagem de uma quantia 4 Porcentagem de um número em relação a outro 4 Aumento 5 Desconto 7 Juros 0

9 Geometria espacial 7 Prismas 7 Paralelepípedo reto-retângulo 9 Cubo 0 Pirâmides 4 Cilindro 9 Cone 4 Esfera 4 Estatística 45 Notações 45 Tipos de variáveis 45 Medidas de tendência central 46 Medidas de dispersão 50 Apresentação de dados estatísticos 5 Frequências 54 Circunferência trigonométrica 59 Circunferência trigonométrica 59 Relações trigonométricas 6

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11 Função logarítmica Olímpio Rudinin Vissoto Leite O que é logaritmo? Reproduzimos, a seguir, um trecho da tabela que Henry Briggs publicou em 67. Na versão original, os números indicados na coluna 0 m variam de a 000 e os indicados na coluna m apresentam até 4 casas decimais: 0 m m ,004 0, ,087 04,070 05, Analisando um trecho da tabela de Briggs, podemos escrever: 0,004 = 0 0, = 0 0,087 = 0 0,070 = 04 0,089 = 05

12 76 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia Os epoentes de 0 são denominados logaritmos. Assim: O epoente,004 é o logaritmo de 0 na base 0. O epoente, é o logaritmo de 0 na base 0. O epoente,087 é o logaritmo de 0 na base 0. E assim por diante. O que significa dizer que o número,004 é o logaritmo de 0 na base 0? Significa que 0,004 é igual a 0 (na verdade, aproimadamente igual). Na escrita, usa-se a notação log para abreviar o termo logaritmo. Escrevemos: log 0 0 =,004. Definição de logaritmos Considere N e b números reais positivos, com b log b N = a b a = N, onde: b: base do logaritmo N: logaritmando a: logaritmo de N na base b. Definimos: As restrições impostas à base b do logaritmo (b > 0 e b ) garantem a eistência e a unicidade (único valor) do logaritmo de qualquer número positivo. Eemplos: log 0 05 =,089, pois a 0,089 = 05 log 9 =, pois a = 9 log 5 5 =, pois a 5 = 5 log 7 = 0, pois 7 0 = log 0 0, =, pois 0 = 0, log 5 = 5, pois 5 = 5

13 Função logarítmica 77 Observação: Quando a base do logaritmo é 0, é comum não indicá-la e o logaritmo é chamado decimal. Assim, log 0 N = log N. Eemplos: Descobrir o valor de, em cada item: a) log = 5 b) log 5 5 = c) log 8 = d) log0 = 7 Solução: Pela definição de logaritmo, se log a N = b então a b = N. a) log = 5 5 =. Portanto, = b) log 5 5 = 5 = 5, log 5 = 5. Portanto, = c) log 8 = = 8. Portanto = d) log 0 = 7 log 0 0 = 7, então 0 = 0. Portanto, = 7 A tecla log A calculadora científica tem uma tecla especial para o cálculo do logaritmo decimal (base 0). Em geral, essa tecla tem a seguinte configuração: log. Essa tecla permite determinar o logaritmo de qualquer número positivo. Eemplo: Usando uma calculadora, determinar: a) Solução: log 5 Ao operar com calculadoras eletrônicas, devemos considerar que o número de casas decimais e o modo de digitar variam de acordo com o tipo de máquina:

14 78 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia a) Digitar 5 e em seguida apertar a tecla log. Aparecerá no visor o valor b) 0,6990, isso considerando quatro casas decimais. Para alguns modelos de calculadoras, o processo é um pouco diferente:.º) aperta-se a tecla log.º) aperta-se a tecla 5.º) apertando-se a tecla = aparecerá o valor 0,6990 no visor. Propriedades dos logaritmos Observe os logaritmos decimais de,, 6 e 8: log = 0,0 log = 0,477 log 6 = 0,778 log 8 = 0,90 Veja as coincidências: a) log + log = log 6, isto é, log + log = log (. ) b) log 6 log = log, isto é, log 6 log = log 6 c) log 8 =. log, isto é, log =. log Na verdade, essas coincidências são propriedades dos logaritmos. Vamos demonstrá-las: Considere m, n, e a números reais positivos com a log a m = a = m e log a n = y a y = n. Lembrando que log a a =, temos:. Considere, ainda, que Propriedade de um produto m. n = a. a y = a + y Portanto, log a (m. n) = log a (a + y ) = + y = log a m + log a n. Assim: log a (m. n) = log a m + log a n

15 Função logarítmica 79 Propriedade de um quociente m : n = a : a y = a y Portanto, log a (m : n) = log a (a y ) = y = log a m log a n. Assim: log a (m : n) = log a m log a n Propriedade de uma potência Considere r um número real. Então, m r = (a ) r = a r. Portanto, log a m r = log a a r =. r = r. log a m. Assim: log a m r = r. log a m Eemplos:. a) b) c) d) Dados log = 0,0 e log = 0,477, calcular: log 5 log 8 log 6 log 0,06 0,5 e) log Solução: a) log 5 = log 0 = log 0 log = 0,0 = 0,699 4 b) log 8 = log = 4. log = 4. 0,477 =,908 c) log 6 = log 4. 9 = log 4 + log 9 = log + log =. log +. log = =. 0,0 +. 0,477 = 0,60 + 0,954 =,556 d) log 0,06 = log 6 00 = log 6 log 00 = log. log 0 = = log + log. log 0 = 0,0 + 0,477 =, 0,5 e) log = 0,5. log =. 0,477 = 0,9

16 80 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia. Dado log 7 = 0,845098, calcular: a) b) c) d) log 70 log 700 log 0,7 log 0,07 Solução: a) log 70 = log (7. 0) = log 7 + log 0 = 0, =, b) log 700 = log (7. 00) = log 7 + log 00 = 0, =, c) log 0,7 = log (7. 0,) = log 7 + log 0 = 0, = 0,5490 d) log 0,07 = log (7. 0,0) = log 7 + log 0 = 0, =,5490. Conhecidos log = 0,0 e log 7 = 0,845, calcular tal que = 7. Solução: Se = 7, então log = log 7. Pela propriedade de uma potência:. log = log 7 Logo,. 0,0 = 0,845, isto é, = 0,845 0,0 =,807 Solução: 4. Calcular o valor de log 7 Chamando log 7 =, temos = 7. Se = 7, então log = log 7. Pela propriedade de uma potência:. log = log 7 Daí, = log 7 log Conclusão: log 7 = log 7 log Usando a calculadora encontramos: log 7 = log 7 log =,0 0,477 =,579 Esse eemplo sugere um caminho para obter o logaritmo de um número em qualquer base.

17 Função logarítmica 8 Propriedade de mudança de base Do eemplo anterior, concluímos que o logaritmo de um número pode ser escrito como quociente de dois logaritmos em uma base qualquer. Considere a, b e n números reais positivos e diferentes de. Para obter log b a, fazemos log b a =, ou seja, b = a. Se b = a, então log n b = log n a. Aplicando a propriedade de uma potência, obtemos:. log n b = log n a. Daí, = log n a log n b Assim: log b a = log n a log n b Eemplo: Solução: Dados log = 0,0 e log 5 = 0,70, calcular log 5. Usando a propriedade de mudança de base, podemos escrever: log 5 = log 5 0 log 0 = log 5 log = 0,70,4 0,0 Quanto vale o logaritmo decimal de? No estudo de logaritmos que fizemos até aqui, tivemos a oportunidade de utilizar valores de log com aproimações diferentes: log = 0,0; log = 0,0 etc. Por ser mais prático, usamos o símbolo de igualdade (=) no lugar do símbolo de aproimadamente igual ( ). Podemos provar que log é irracional (como ou ), isto é, apresenta infinitas casas depois da vírgula que não formam período. O número de casas depois da vírgula é fiado em função da precisão eigida pelos cálculos.

18 8 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia Eercícios. Aplicando a definição de logaritmo, calcule: a) log b) log c) log 8 d) log 4,5. Sabendo que log 0 é um logaritmo decimal e costuma ser indicado por log, calcule: a) log b) log 0 c) log 00

19 Função logarítmica 8 d) log 000 e) log 0,. Determine o valor numérico de em cada um dos itens a seguir: a) log = 4 b) log 8 = c) log 7 = d) log = 0 e) log = 4. Calcule: a) log

20 84 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia b) log c) log d) log, sendo a um número real positivo e diferente de a 5. Sabendo que log =,4, use as propriedades dos logaritmos e calcule: a) log 0 b) log 00 c) log, d) log 0, e) log f) log 0

21 Função logarítmica São dados log = 0,0 e log 7 = 0,845. Usando as propriedades dos logaritmos, calcule: a) log 4 b) log,5 c) log 70 d) log 8 e) log 8 7 f) log 7

22 86 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia Função logarítmica Denomina-se função logarítmica, qualquer função ƒ: * +, dada por uma lei da forma y = log a, em que a é um número real positivo e diferente de. Eistem condições para que a função logarítmica eista. São elas: a base a deve ser um número real positivo e diferente de (um); a variável deve ser maior que zero, logo, o seu domínio é o conjunto dos números reais positivos. Como se constrói o gráfico da função logarítmica? Para construir o gráfico da função logarítmica devemos atribuir alguns valores convenientes para a variável e calcularmos os valores correspondentes para a variável y. Os pares ordenados obtidos corresponderão a alguns pontos do gráfico. Eemplos:. O gráfico a seguir é da função y = log : y (, y) 9 9,, 0 (, 0) (, ) 0 y (9, ) A partir desse gráfico é possível concluir que: a) Se = 9, então y =, isto é, log 9 = b) Se = 5, então y,5, isto é, log 5,5 c) > y >, isto é, > log >

23 Função logarítmica 87. Observe o gráfico da função y = log : y y (, y) 9 9,, 0 (, 0) (, ) 9 (9, ) 0 A B C 9 D E A partir desse gráfico, é possível concluir que: Se = 9, então y =, isto é, log 9 = Se = 5, então y =,5, isto é, log > y <, isto é, > log Observação: 5 =,5 < Em geral, função logarítmica é toda função cuja lei é dada pela equação y = log b, sendo b um número real positivo e diferente de. O gráfico da função logarítmica y = log b ou ƒ() = log b tem as seguintes características: Passa pelo ponto P (, 0); Apresenta uma das seguintes configurações: y y y = log b y = log b 0 0 b > 0 < b <

24 88 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia O domínio da função logarítmica é formado eclusivamente pelos números reais positivos. Observe que não são definidos log b 0, log b ( ). Portanto, a função y = log b com b > 0 e b tem domínio * + e conjunto imagem. Comportamento da função logarítmica: crescente ou decrescente? Se y = log b, com > 0, temos:.º caso: b >.º caso: 0 < b < y y log b log b 0 0 log b log b função crescente função decrescente > log b > log b > log b < log b Eercícios 7. Em cada item, construa uma tabela para os seguintes valores de : 4,,, e 4. Construa o gráfico da função logarítmica, dê o domínio e o conjunto imagem da função: a) y = log b) y = log

25 Função logarítmica Observe a base do logaritmo e esboce o gráfico da função y = log. 9. Observe a base do logaritmo e esboce o gráfico da função y = log. 0. Se [, 4], qual é o conjunto imagem da função y = log? 4. Esboce o gráfico da função y = log sendo [0, 5; 6]. Qual o conjunto imagem dessa função?. De acordo com a Receita Federal, depreciação é a diminuição do valor de um bem, que resulta do desgaste pelo uso, pela ação da natureza ou pela obsolescência. Em uma fábrica, uma máquina recém-adquirida custou R$50.000,00 e sabe-se que ela sofre uma desvalorização (depreciação) de % ao ano. Daqui quanto tempo o valor da máquina será reduzido à metade? Dados: log 0,88 0,0555 e log 0,5 0,00.

26 90 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia Equação logarítmica É toda equação cuja incógnita é apresentada no logaritmando ou na base de um logaritmo. A seguir, alguns eemplos de equações logarítmicas: a) log = 5 b) log8 = c) log ( 6) + log ( + 5) =. log Uma propriedade importante dos logaritmos, muito utilizada na resolução das equações logarítmicas é a seguinte: log b m = log b n m = n, sendo m, n * e b > 0 e b Eemplos:. Resolva as equações logarítmicas a seguir: Solução: a) log = 5 b) log ( + 5) = c) log ( ) + log ( ) = d) log ( 6) = log ( + 0) 5 5 a) log = 5 Aplicando a definição de logaritmos, temos: log = 5 = 5, logo = 4 Devemos lembrar que o logaritmando deve ser maior do que zero. Sendo assim, a condição de eistência (CE) é representada po > 0. Como = 4 satisfaz a condição de eistência, temos que 4 é a solução da equação. S = {4}

27 Função logarítmica 9 b) log ( + 5) = Aplicando a definição de logaritmos, temos: log ( + 5) = + 5 =, então + 5 = 8, logo = Condição de eistência: + 5 > 0 Como para = a condição de eistência é satisfeita, temos que: S = {} c) log ( ) + log ( ) = Aplicando a propriedade dos logaritmos: log a (m. n) = log a m + log a n, a equação pode ser escrita de outra forma, vejamos: log ( ). ( ) = Aplicando a definição de logaritmos, temos: log ( ). ( ) = ( ). ( + ) =, logo 4 = 8 = = = Condição de eistência: + > 0 e >0 Das raízes obtidas, apenas = + satisfaz a condição de eistência da equação inicial, então temos que: S = { } d) log ( 6) = log ( + 0) 5 5 Primeiramente, temos que aplicar a propriedade fundamental da igualdade de logaritmos: * b, M, N + log b M = log b N M = N b Logo: ( 6) = ( + 0) = 6 Condição de eistência: 6 > 0 e + 0 > 0 Como = 6 satisfaz a condição de eistência, temos que: S = {6}.

28 9 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia A função eponencial de base e e de base e O número e é empregado na resolução de muitos problemas. Antes de ver alguns eemplos, vamos observar os gráficos a seguir: Gráfico de y = e Como a base é maior que (e,78), a função y = e é crescente: 5 4 e y Gráfico de y = = e e Como a base é menor que e maior que 0 é decrescente: e 5 y 0,679, a função y = e 4 e Eemplo: No instante t = 0, há mil bactérias numa certa cultura. O número de bactérias varia segundo a lei N = 000e t, onde t é o tempo em minutos. Calcular o número de bactérias para t = 5. (Use e 0 06)

29 Função logarítmica 9 Solução: N = 000e. 5 = 000e Assim, para t = 5 temos N , ou seja, após 5 minutos a cultura terá bactérias. Logaritmo natural Esses logaritmos são muito utilizados no estudo de fenômenos naturais e são, por isso, chamados de logaritmos naturais. log e = In (logaritmo natural de ) Pela definição de logaritmo, temos log e N = a e a = N, com N > 0. Eercícios. Resolva as equações logarítmicas a seguir: a) log (5 0) = 5 b) log ( 5 + 4) = c) log ( 7) = log ( 0) 4. Esboce o gráfico da função y = e, para no intervalo [0, ]. Qual é o conjunto imagem dessa função? (Use e 7,4)

30 94 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia 5. A população de um país cresce de acordo com a fórmula P = P 0 e it, onde P 0 é a população num instante t = 0, t é dado em anos e i é a taa de crescimento anual. Sabendo que In 0,69, calcule em quanto tempo essa população estará duplicada: a) em um país, onde a taa de crescimento é de % ao ano; b) em outro país, onde a taa de crescimento é de,7% ao ano. 6. A massa de uma substância radioativa, que se desintegra segundo uma taa de 5% ao ano, é dada por M = M 0 e it, onde M 0 é a massa num instante t = 0, t é dado em anos e i é a taa anual de desintegração. Nessas condições, M 0 = 00g. Em quanto tempo essa massa estará reduzida a 00g? (Use In = 0,69) 7. Uma das maneiras de se descrever ciclos tecnológicos é a utilização da curva logística, ou curva em S. P (t) k P(t) = (A+e B-t ) t

31 Função logarítmica 95 Nesse modelo podem ser identificadas três fases distintas: um crescimento inicial lento, que representa o alto custo da inovação tecnológica e uma baia penetração no mercado; uma aceleração do crescimento após a aceitação da inovação por parte do público e o barateamento dos custos; e a saturação, época onde podem ser iniciados ciclos de outros produtos com novas tecnologias. Suponha que a curva de penetração no mercado para um determinado produto de alta tecnologia seja descrita pela função a seguir: P(t) = 0 + e 8 t onde P(t) representa a penetração no mercado do produto em % e t representa o período, em anos, desde o início do ciclo. Calcule: a) Qual será a porcentagem do mercado que esse produto terá após 9 anos? (Dado que e 0,7) b) Após quantos anos a porcentagem do mercado do produto será de,4%? (Dado que In,99)

32 96 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia

33 Gabarito Gabarito Função logarítmica.. a) log = = = 0 = 0 Resposta: 0 b) log = = = = Resposta: c) log 8 = = 8 = 4 = 4 Resposta: 4 d) log 4,5 = = 4,5 = 4,5 Resposta: 4,5 a) log = 0 = 0 = 0 0 = 0 Resposta: 0. b) log 0 = 0 = 0 0 = 0 = Resposta: c) log 00 = 0 = 00 0 = 0 = Resposta: d) log 000 = 0 = = 0 = Resposta: e) log 0, = 0 = 0, 0 = 0 = Resposta: a) log = 4 = 4 = 8 Resposta: 8

34 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia b) log 8 = = 8 d) log = a a = = 7 = 7 Resposta: 7 a = a 0 = 0 Resposta: 0 c) log 7 = = 7 = = Resposta: d) log = 0 = 0 = 04 Resposta: a) log 0 = log (. 0) = = log + log 0 =,4 + =,4 b) log 00 = log (. 0 ) = log +. log 0 =,4 +. =,4 c) log, = log (. 0 ) = = log log 0 =,4 = 0,4 d) log 0, = log (. 0 ) 4. e) log = = = Resposta: a) log = 0 = 0 = 0 0 = 0 Resposta: 0 b) log = = = 0 = 0 Resposta: 0 c) log = = = 0 = 0 Resposta: 0 6. = log. log 0 =,4 = 0,866 e) log =. log =.,4 =,4 log 0 f) log 0 = log =,4 = 0,898 a) b) c) log 4 = log (. 7) = log + log 7 = = 0,0 + 0,845 =,46 7 log,5 = log = log 7 log = = 0,845 0,0 = 0,544 log 70 = log (7. 0) = = log 7 + log 0 = 0,845 + =,845 d) log 8 = log (. 7) =. log + + log 7 =. 0,0 + 0,845 =,447 e) 8 log = log =. log log 7 = 7 7 =. 0,0 0,845 = 0,058 f) log 7 = log 7 log = 0,845 0,0 =,807

35 Gabarito 7. y a) y = log y (, y) 4 4,, (, 0) (, ) 4 (4, ) * D = e Im = + y 8. y = log y * D = e Im = + b) y = log y (, y) 4 4, 9. y, 0 (, 0) (, ) 0 4 (4, )

36 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia 0. y 0 4 Im = [, 4]. y 4 0, Im = [, 4]. 00% % = 88% = 0,88 ƒ(t) = (0,88) t ƒ(t) = = (0,88) t = 0,88t 0,5 = 0,88 t log 0,5 = log 0,88 t log 0,5 = t. log 0,88 t = log 0,5 log 0,88 t = 0,0 0,055 t = 5,4 5,4 anos Resposta: 5,4 anos. a) log (5 0) = = = 5 5 = 5 = 7 Condição de eistência: > 0. Essa condição é satisfeita quando = 7. Resposta: S = {7} b) log ( 5 + 4) = = = = 0 = =

37 Gabarito Condição de eistência: > 0. Essa condição é satisfeita quando = e =. Resposta: S = {,} c) log ( 7) = log ( 0) 7 = 0 = = = 4. y 5. Condição de eistência: 7> 0 e 0 > 0. Essa condição é satisfeita quando =. e 7,4 7 Resposta: S = {} Im = [, e ] a) P = P. 0 ei. t i = % = 0,0 P = P 0. e 0,0. t P =. P 0. P 0 = P 0. e 0,0. t = e 0,0. t ln = In e 0,0. t ln = 0,0 t. In e t = In 0,0. In e In = 0,69 lne = log e e = t = t = 69 0,69 0,0. Resposta: 69 anos b) P = P. 0 ei.t i =,7% = 0,07 P = P 0. e 0,07. t P =. P 0. P 0 = P 0. e 0,07. t = e 0,07. t ln = ln e 0,07. t ln = 0,07t ln e ln t = 0,07. ln e ln = 0,69 lne = log e e = t = 0,69 0, M = M 0. e i. t t = 40,58 4,6 anos Resposta: 4,6 anos i = 5% = 0,05 M = M 0. e 0,05. t M 0 = 00 0,05. t M = 00. e

38 Matemática Elementar II: situações de matemática do ensino médio no dia a dia M = = 00. e 0,05. t 00 0,05. t = e 00 0,05. t = e ln = ln e 0,05. t. ln = 0,05t. lne t =. ln 0,05. lne lne = log e e = ln = 69 t =. 0,69 0,05. t =,8 Resposta:,8 anos e 8 t = 7,6,4 e 8 t = ln e 8 t = ln ln =,99 ln e 8 t =,99 (8 t). lne =,99 8. lne t. lne =,99 lne = 8. t. =,99 t =,99 8 t = 6, Resposta: 6 anos 7. a) b) 0 P(t) = + e 8 t t = 9 0 P(9) = + e P(9) = + e e = 0,7 0 P(9) = + 0,7 P(9) = 4,59 4,6% Resposta: 4,6% P(t) = P(t) =,4,4 = 0 + e 8 t 0 + e 8 t,4. ( + e 8 t ) = 0,4 +,4. e 8 t = 0,4. e 8 t = 7,6