Giovanna ganhou reais de seu pai pra fazer. sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no. entanto, resolveu abri mão da festa.

Transcrição

1 LOGARITMOS

2 QUAL É O TEMPO? Giovanna ganhou reais de seu pai pra fazer sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no entanto, resolveu abri mão da festa. É que ela queria comprar um computador. Mas havia um problema: o computador que ela queria custava reais. O jeito era aplicar o dinheiro que tinha, até conseguir o valor necessário.

3 QUAL É O TEMPO? Giovanna foi ao banco e conseguiu uma taxa de 5 % ao mês, capitalizados mensalmente. Chegando em casa, ficou curiosa. Em quanto tempo os 1000 reais aplicados se transformariam nos 1500 reais de que precisava? Ela havia acabado de aprender a calcular juros compostos. Fez, então, as suas contas.

4 VEJA OS CÁLCULOS Capital aplicado: C = Taxa: 5 % ao mês = 0,05 ao mês Montante pretendido: M = 1 500,00 M = C.(1 + i) t 1,05 t = 1, = (1,05) t 1,05 7 1,407 1,05 8 1,477 1,05 9 1,551 Giovanna concluiu, portanto, que seu objetivo seria atingido no final do 9º mês de aplicação.

5 QUAL É O EXPOENTE? Como poderia ser obtido, com uma aproximação razoável e sem utilizar o método das tentativas, o valor de t na equação 1,05 t = 1,6? A teoria dos logaritmos é muito útil em problemas como esse, que envolve a determinação de um expoente.

6 HISTÓRIA A invenção dos logaritmos ocorreu no início do século XVII e é creditada ao escocês John Napier e ao suiço Jobst Burgi. Inicialmente seu objetivo era simplificar os cálculos numéricos, principalmente em problemas ligados à Astronomia e à Navegação. A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se mais simples e mais ágeis cálculos de expressões como

7 HISTÓRIA A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se mais simples e mais ágeis cálculos de expressões como 2,38 2,5 5,1 3, ,4 O valor dessa expressão equivale ao valor de 102,5.log 2,38 + (1/3).log 12,4 3,8.log 5,1

8 HISTÓRIA Foi o matemático inglês Henry Briggs ( ) quem propôs, inicialmente, a utilização do sistema de logaritmos decimais. Afinal, o nosso sistema de numeração utiliza justamente a base 10.

9 HISTÓRIA Atualmente, são inúmeras as aplicações tecnológicas dos logaritmos. Eles são úteis, por exemplo, na resolução de problemas que envolvem desintegração radiotiva, o crescimento de uma população de animais ou bactérias, etc.

10 TRABALHANDO COM POTÊNCIAS DE BASE 10

11 A BASE 10 Todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10, ou como uma aproximação dessa potência. Veja os exemplos: 1 = ,1 = = ,01 = = ,001 = = ,0001 = = ,00001 = 10 5

12 A BASE 10 Na maioria dos casos, torna-se difícil escrever um número como potência de base 10. Em valores aproximados apresentamos os exemplos: 2 = 10 0,301 3 = 10 0,477 7 = 10 0, = 10 1, = 10 1,114

13 EXEMPLOS Usando as igualdades 2 = 10 0,301 e 3 = 10 0,477, escreva os números 4, 5 e 6 como potência de base = 2 2 = (10 0,301 ) 2 = 10 0, = = = , ,301 = 10 0,699 6 = 2.3 = 10 0, ,477 = 100, ,477 = 10 0,778

14 EXEMPLOS Usando as igualdades 2 = 10 0,301 e 3 = 10 0,477, escreva o número 60 como potência de base = = 10 0, , = 100, , = 10 1,778

15 EXEMPLOS Usando as igualdades 2 = 10 0,301 e 3 = 10 0,477, resolva a equação exponencial 2 x = x = 12 2 x = (10 0,301 ) x = (10 0,301 ) , ,301.x = 10 0, , ,301.x = 10 1,079 0,301.x = 1,079 x = 1,079 0,301 x 3,585

16 LOGARITMO COMO EXPOENTE

17 LOGARITMO COMO EXPOENTE O conceito de logaritmo está associado à operação potenciação: mais precisamente à determinação do expoente. Veja: 2 x = 8 x = 3 No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2, é igual ao expoente 3. Em símbolos, log 2 8 = 3

18 LOGARITMO COMO EXPOENTE Observe: calcular o log 2 8 é descobrir o expoente ao qual se deve elevar a base 2, para obter, como resultado, a potência 8. Vale, portanto a equivalência: log 2 8 = = 8 Calcular um logaritmo é obter um expoente. Logaritmo é o mesmo que expoente.

19 DEFINIÇÃO Suponhamos dois reais positivos a e b (a 1). Se a x = b, dizemos que x é o logaritmo de b na base a (simbolicamente log a b = x). log a b = x a x = b a é a base; b é o logaritmando ou antilogaritmo; x é o logaritmo;

20 EXEMPLOS log 2 32 = 5, porque 2 5 = 32 log 3 (1/81) = 4, porque 3 4 = 81 log 10 0,001 = 3, porque 10 3 = 0, log 5 25 = 2/3, porque 5 2/3 = 25 2 De acordo com a definição, calcular um logaritmo é descobrir o expoente, ou seja, resolver uma equação exponencial.

21 EXEMPLOS Calcular log 4 8. log 4 8 = x 4 x = 8 (2 2 ) x = x = 2 3 x = 3

22 EXEMPLOS 5 Calcular log 1/ log 1/3 9 = x 1 3 x 5 = 9 (3 1 ) x = 3 2/5 3 x = 3 2/5 x = 2/5 x = 2/5

23 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DO LOGARITMO Da definição, concluímos que o logaritmo só existe sob certas condições: b > 0 log a b = x a > 0 a 1

24 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA Analise quais seriam os significados de log 2 ( 4), log ( 2) 8, log 7 0, log 1 6 e log 0 2, caso fossem definidos. log 2 ( 4) = x 2 x = 4 impossível log 2 8 = x ( 2) x = 8 impossível log 7 0 = x 7 x = 0 impossível log 1 6 = x 1 x = 6 impossível log 0 2 = x 0 x = 2 impossível

25 OBSERVAÇÃO Muitas vezes, um logaritmo envolve variáveis. Nesse caso, devemos analisar o domínio dessas variáveis. Para isso, usamos as condições de existência do logaritmo.

26 EXEMPLOS Resolver a equação log x (2x + 8) = 2. 1 o. Vamos analisar a condição de existência do logaritmo. 2x + 8 > 0 x > 0 x 1 x > 4 x > 0 x > 0 x 1 x 1 2 o. Usando a definição de logaritmo. log x (2x + 8) = 2 x 2 = 2x + 8 x 2 2x 8 = 0 x = 2 ou x = 4. S = {4}

27 CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

28 CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Admitindo-se válidas as condições de existência dos logaritmos, temos os seguintes casos especiais, que são conseqüências da definição. log a 1 = 0 porque a 0 = 1 log a a = 1 porque a 1 = a log a a k = k porque a k = a k

29 EXEMPLOS log 3 3 = log = log 3,7 3,7 = 1 log 3 1 = log 10 1 = log 3,7 1 = 0 log = 9 log = 3

30 CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Sabemos que log a k é o expoente ao qual se deve elevar a base a para se obter k. Vale por isso, a seguinte igualdade: log a k a = k

31 EXEMPLOS log = log = log 2 6 = 2.6 = 12 log = (3 2 ) log log = = 5 2 = 25 1 log = log = 15 3 = 5

32 SISTEMA DE LOGARITMOS

33 SISTEMA DE LOGARITMOS Sistema de logaritmos é o conjunto de todos os logaritmos numa determinada base. Entre os infinitos sistema de logaritmos, destacam-se dois: O sistema de logaritmos decimais utiliza a base 10. No cálculo de logaritmos decimais, convenciona-se não escrever a base, ou seja, log x é o mesmo que log 10 x. log x logaritmo decimal de x (base 10)

34 EXEMPLOS log 1000 = log = 3 log 0,01 = log = 2 log 1 = log 10 1 = 0 log 100 = log = 2

35 SISTEMA DE LOGARITMOS O sistema de logaritmos naturais ou neperianos, utiliza, como base, o número irracional e. Esse número foi introduzido por Euler, em meados do século XVIII. Seu valor aproximado é e = 2, O logaritmo natural de um número x pode ser indicado por Ln x. Ln x logaritmo natural de x (base e)

36 EXEMPLOS Ln e = log e e = 1 Ln 10 = log e 10 2,3 Ln e 3 = log e e 3 = 3

37 OBSERVAÇÃO Chama-se co-logaritmo de a na base b (em símbolos, colog b a) o oposto do logaritmo de a na base b. colog b a = log b a colog 2 8 = log 2 8 = 3 colog 3 (1/9) = log 3 (1/9) = 2

38 LOGARITMOS DECIMAIS

39 LOGARITMOS DECIMAIS O primeiro a utilizar os logaritmos decimais foi o matemático inglês Henry Briggs ( ). Foi ele quem construiu a primeira tábua de logaritmos decimais.

40 TÁBUA DE LOGARITMOS DECIMAIS log 13 = 1,114 n log n n log n n log n n log n ou , , , ,114 = , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , log 1, = 1, , ,996 ou , , ,544 = 35

41 EXEMPLOS Calcule os logaritmos decimais a) log 10 b) log c) log d) log e) log 0,000001

42 EXEMPLOS Consultando a tábua de logaritmos calcule a) log 60 + log 31 log 5 b) 10 0, , ,69 c) os valores de x e y tais que 10 x = 26 e 1000 y = 15

43 EXEMPLOS Em valores aproximados, a tábua de logaritmos mostra que log 13 = 1,114 ou 10 1,114 = 13. A partir desses valores, sem uso de calculadora, obtenha os números seguintes. a) 10 2,114 ; 10 4,114 ; 10 0,114 e 100 1,557. b) log 130; log 13000; log 1,3 e log 1300 c) os valores de x e y tais que 10 x = 0,13 e 13 y = 10 3,342.

44 MUDANÇA DE BASE

45 MUDANÇA DE BASE Observe uma calculadora científica. Ela permite o cálculo apenas dos logaritmos decimais (tecla log) e dos logaritmos naturais (tecla Ln). Como obter então, numa calculadora, logaritmos em outras bases? Será possível achar, por exemplo, os valores de log 3 5 e log 7 23?

46 MUDANÇA DE BASE Na tábua de logaritmos decimais, encontramos que log = 1,362 e log 10 7 = 0,845. A partir deles, determine o valor log log = 1, ,362 = 23 log 10 7 = 0, ,845 = 7 log 7 23 = log log 10 7 log 7 23 = x 7 x = 23 (10 0,845 ) x = 10 1, ,845.x = 10 1,362 1,362 0,845.x = 1,362 x = = 1,612 0,845

47 FÓRMULA DE MUDANÇA DE BASE De modo geral, podemos calcular log b a, utilizando uma outra base k arbitrária. Para isso, dividimos o logaritmo de a pelo logaritmo de b, na base k escolhida. Log b a = log k a log k b

48 EXEMPLOS Pela tecla Ln (logaritmo natural) de uma calculadora, obtemos Ln 6 = 1,792 e Ln 2 = 0,693. A partir desses valores, calcular log 2 6. log 2 6 = log e 6 log e 2 Ln 6 1,792 = = = 2,586 Ln 2 0,693

49 EXEMPLOS Resolver a equação 5 x = 20, dados os logaritmos decimais log 5 = 0,699 e log 20 = 1, x = 20 x = log 5 20 log 5 20 = log log 10 5 log 20 1,301 = = = 1,861 log 5 0,699

50 EXEMPLOS Se log k x = 2, calcular log x (1/k). log x (1/k) = log k (1/k) log k x = 1 2

51 EXEMPLOS Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcular log o. Vamos a fórmula de mudança de base. log 2 3 = log 3 log 2 = 0,48 0,30 = 1,6 Observe que, log 2 3 = 1,6 2 1,6 = 3.

52 EXEMPLOS Escrevendo os logaritmos numa mesma base, obtenha o valor mais simples do produto log 2 7. Log Log o. Vamos a fórmula de mudança de base. 1 log 7 log log 13 log log 2 log 13 1 = 1

53 CONSEQÜÊNCIA MUDANÇA DE BASE Compare os valores dos log 5 25 e log log 5 25 = 2 e log 25 5 = 1/2 Compare, também, os valores log 2 8 e log 8 2. log 2 8 = 3 e log 8 2 = 1/3 Que conclusão se pode tirar dessas comparações? log b a = 1/log a b Se log x y = 3/5, calcule log y x. log y x = 5/3

54 GENERALIZANDO Como conseqüência da fórmula de mudança de base, temos: log b a = log a a log a b log b a = 1 log a b

55 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

56 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS O logaritmo tem uma particularidade importante. Ele transforma operações mais complicadas em operações mais simples. Com as propriedades dos logaritmos podemos transformar: multiplicações em adições; divisões em subtrações; potenciações em multiplicações; radiciações em divisões.

57 LOGARITMO DO PRODUTO Vamos calcular o valor do log 21, a partir dos valores de log 3 = 0,477 e log 7 = 0,845. log 3 = 0, ,477 = 3 log 7 = 0, ,845 = 7 log 21 = x 10 x = x = x = 10 0, , x = 100, ,845 log 21 = log (3.7) = log 3 + log 7 x = 0, ,845 x = 1,322

58 LOGARITMO DO PRODUTO De modo geral, o logaritmo do produto de dois números, numa certa base, é a soma dos logaritmos desses números, na mesma base. Log a (x.y) = log a x + log a y Para o produto de três ou mais fatores, a propriedade continua válida.

59 EXEMPLOS A partir de log 2 = 0,301 e log 13 = 1,114, calcular log 26 e log log 26 = log (2.13) = log 2 + log 13 log 26 = 0, ,114 = 1,415 log 2000 = log (2.1000) = log 2 + log 1000 log 2000 = 0, = 3,301

60 EXEMPLOS Sendo x e y reais positivos, decompor log 3 (9xy) numa soma de logaritmos. log 3 (9xy) = log log 3 x + log 3 y log 3 (9xy) = 2 + log 3 x + log 3 y

61 EXEMPLOS Transformar num único logaritmo e calcular o valor da expressão log 4 + log 5 + log 50. log 4 + log 5 + log 50 = log (4.5.50) log 4 + log 5 + log 50 = log 1000 = 3

62 LOGARITMO DO QUOCIENTE Vamos calcular o valor do log (3/2), a partir dos valores de log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477. log 2 = 0, ,301 = 2 log 3 = 0, ,477 = 3 log (3/2) = x 10 x = 3/2 log (3/2) = log 3 log 2 10 x = = 0,477 = 100,477 0, ,301 x = 0,477 0,301 x = 0,176

63 LOGARITMO DO QUOCIENTE De modo geral, o logaritmo do quociente de dois números, numa certa base, é a diferença dos logaritmos desses números, na mesma base. Log a x y = log a x log a y

64 EXEMPLOS A partir de log 2 = 0,301 obter log 5. log 5 = log 10 2 = log 10 log 2 = 1 0,301 log 5 = 0,699

65 EXEMPLOS Se x e y são reais positivos, decompor em parcelas log 2 (x/4y). log 2 x 4y = log 2 x log 2 4y = log 2 x (log log 2 y) = log 2 x (2 + log 2 y) = log 2 x 2 log 2 y = log 2 x log 2 y 2

66 EXEMPLOS Compor (transformar num único logaritmo) a expressão E = log m log log n. 1º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de logaritmo decimal. log 100 = 2. E = log m log 3 + log 100 log n E = (log m + log 100) (log 3 + log n) E = (log 100m) (log 3n) E = log 100m 3n

67 LOGARITMO DA POTÊNCIA Vamos calcular o valor do log 3 4, a partir do valor de log 3 = 0,477. log 3 = 0, ,477 = 3 log 3 4 = x 10 x = x = (10 0,477 ) 4 x = 4. 0,477 x = 1,908 log 3 4 = 4. log 3

68 LOGARITMO DA POTÊNCIA Generalizando, o logaritmo de uma potência, é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo da base. Log a x k = k. log a x

69 EXEMPLOS A partir do log 3 = 0,477, calcular log 0,009. log 0,009 = log = log 9 log 100 = log = 2. log 3 2 = 2. 0,477 2 = 0,954 2 = 1,046

70 EXEMPLOS Calcular log 13 3, a partir dos valores log 2 = 4 0,301, log 3 = 0,477 e log 13 = 1,114. log = log 13 + log 3 log 4 = log 13 + log 3 1/2 log 2 2 = log log 3 2. log 2 2 = 1, ,5.0, ,301 = 1, ,2385 0,601 = 0,7505

71 EXEMPLOS Compor e simplificar a expressão E = 2.log log º. Vamos transformar a parcela 2 na forma de logaritmo de base 3. (log 3 9 = 2). 1 E = 2.log 3 12 log log E = log log 3 8 1/3 + log 3 9 E = log log log 3 9 = log log 3 (2.9) E = log log 3 18 E = log = log 3 8

72 UTILIZANDO AS PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS COMPLETE A TABELA DE LOGARITMOS DECIMAIS. n log n 0 A B 2A 1 A A + B C 3A 2B 1 n log n D 2A + B E A + C 1 + B A 4A F A + 2B G 1 + A n log n B + C A + D H 3A + B 2(1 A) A + E 3B 2A + C I 1 + B n log n J 5A B + D A + F 1 A + C 2(A+B) K A + G B + E 1 + 2A

73 EXEMPLOS (FGV-RJ) A tabela abaixo fornece os valores dos logaritmos naturais (base e) dos números inteiros de 1 a 10. Ela pode ser usada para resolver a equação exponencial 3 x = 24, encontrando-se, aproximadamente, a) 2,1. b)2,3. c) 2,5. d)2,7 e) 2,9 x Ln x x Ln x 1 0,00 6 1,79 2 0,69 7 1,95 3 1,10 8 2,08 4 1,39 9 2,20 5 1, ,30

74 EXEMPLOS Se log 2 = a e log 3 = b, escreva o log 2 72 em função de a e b. log 2 72 = log 72 log 2 = log log 2 = log log 3 2 log 2 = 3.log log 3 log 2 = 3a + 2b a