CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI

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1 CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO APOSTILA 17 Página 1

2 Parabéns!!! Você já é um vencedor! Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É para você, caro aluno, que desenvolvemos esse material. Foi pensando em seu sucesso e em auxiliá-lo nas redescobertas da arte matemática que elaboramos o conteúdo e os exercícios contidos nesta coleção de apostilas. Ela foi escrita em linguagem simples e com a preocupação de transmitir os assuntos importantes de matemática da forma mais clara possível. Todos nós usamos matemática diariamente, mesmo sem perceber. Em uma compra, ao pagar e ao receber o troco, estamos fazendo matemática. Até para utilizarmos corretamente uma máquina de calcular, precisamos saber matemática. Para isto, em cada aula, você encontrará ferramentas matemáticas que passarão a fazer parte da sua vida para enriquecê-la e facilitála. A matemática não é um conjunto de regras que devam ser decoradas. O importante é compreender o que está por trás de cada regra; é compreender os conceitos. Assim você poderá utilizar os seus conhecimentos em situações novas, resolvendo os problemas que surgirem na sua casa, no seu trabalho, na sua vida. Uma parte fundamental dessa apostila são os Exercícios. Não se aprende matemática apenas lendo um texto. É preciso praticar. É preciso gastar lápis e papel resolvendo exercícios. Só assim ganhamos segurança no que aprendemos e ficamos preparados para a aula seguinte. Portanto, tente fazer os exercícios de cada aula. Talvez você não consiga resolver todos, mas o importante é tentar fazer. Também aprendemos muito com nossos próprios erros. Resolva todos os exercícios em seu caderno (não responder na apostila, pois a mesma será utilizada por outros alunos no decorrer do curso). Procure-nos assim que surgirem as primeiras dificuldades, nós estaremos sempre prontos para ajudálo. No fim do curso você terá adquirido uma série de conhecimentos de matemática que serão suas ferramentas para compreender melhor o mundo que nos cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. Mas, acima de tudo, você vai descobrir que pensar é divertido. Raciocinar é estimulante. Resolver desafios, questionar, encontrar soluções nos dá prazer, desenvolve a nossa mente e torna mais ágil o nosso raciocínio. Adquirindo o hábito de pensar de forma organizada, você terá aprendido a mais importante das lições e nós teremos cumprido o nosso objetivo. Página 2

3 Introdução Exponencial e Logaritmo O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs. A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos. Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente, conforme veremos nos capítulos seguintes. John Napier ( ) Henry Briggs ( ) Página 3

4 Potência Nesta aula faremos uma revisão de potências com expoente inteiro, particularmente quando o expoente é um número negativo. Estudaremos o significado de potências com expoentes fracionários e, em seguida, verificaremos que as propriedades operatórias da potenciação são, também, válidas para as potências de expoentes fracionários e negativos. Essas propriedades são muito úteis para a resolução das equações exponenciais e, também, no estudo dos logaritmos, que serão vistos mais adiante. Lembrando que a potenciação é uma multiplicação de fatores iguais, quando, por exemplo, escrevemos 2 3 = 8, a base é o número 2 e o expoente 3 indica o número de fatores iguais a 2. O resultado, chamado de potência, é o número 8. E qual o significado de uma potência com expoente negativo? Esse tipo de potência representa uma fração onde o numerador é 1 e o denominador é a mesma potência, com o expoente positivo. Por exemplo é igual a. De forma geral, se a 0, então: Vamos calcular algumas potências com expoentes negativos: Quando temos uma fração com numerador igual a 1, podemos escrevê-la como uma potência de base inteira e expoente negativo. Podemos, ainda, transformar um número decimal numa potência de expoente negativo, ou num produto de um número por uma potência negativa. Página 4

5 Expoentes Fracionários Uma potência de expoente fracionário representa uma raiz, e podemos escrevêla assim: Onde, m e n são números inteiros e n 0. Observe que: O denominador da fração é o índice da raiz (n). A base (a) elevada ao numerador (m) é o radicando (a m ). Exemplos: Portanto, podemos escrever uma raiz em forma de potência de expoente fracionário: Observando esses últimos exemplos, vimos que, transformando uma raiz em potência de expoente fracionário, tendo, antes, feito a decomposição do radicando em fatores primos, justificamos a seguinte propriedade dos radicais: Podemos dividir o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo número, para simplificar o radical. Página 5

6 Propriedades da Potenciação A seguir, enumeramos as propriedades da potenciação e damos alguns exemplos: 1ª Propriedade: Produto de potências de mesma base: Para multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. Essa propriedade pode ser aplicada para expoentes negativos e para expoentes fracionários: 2ª Propriedade: Divisão de potências de mesma base: Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. Essa propriedade pode ser aplicada para expoentes negativos e para expoentes fracionários: Página 6

7 3ª Propriedade: Potenciação de potência: Para elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes. Vejamos essa propriedade aplicada a potências com expoentes negativos ou fracionários: 4ª Propriedade: Distributividade em relação à multiplicação e à divisão: Para elevar um produto ou um quociente a um expoente, elevamos cada fator a esse expoente ou, no caso do quociente, elevamos o dividendo e o divisor ao mesmo expoente. Veja alguns exemplos: Página 7

8 Exercícios Questão 01: Calcule as seguintes potências: a) 3² b) 4³ c) 2 6 d) 10³ e) 12² f) 25² Questão 02: Calcule: a) 2-1 b) 3-2 c) 10-3 d) 5-2 Questão 03: Transforme os seguintes números decimais em potências: a) 0,1 c) 0,02 b) 0,9 d) 0,005 e) 0,25 f) 0,175 Questão 04: Transforme as potências em raízes: a) b) c) d) Questão 05: Escreva as seguintes raízes em forma de potência: a) b) Questão 06: Escreva o resultado de cada item, na forma de uma única potência: a) e) b) f) c) g) d) h) c) d) Página 8

9 Equações Exponenciais Vamos apresentar, nesta aula, equações onde a incógnita aparece no expoente. São as equações exponenciais. Resolver uma equação é encontrar os valores da incógnita que tornam a equação verdadeira. No caso da equação exponencial, para resolvê-la, procuraremos obter sempre uma igualdade de duas potências de mesma base, pois sabemos que, se duas potências de mesma base são iguais, então, seus expoentes também são iguais. Exemplo 01: Para resolver a equação 3 x = 243, podemos decompor o número 243, em fatores primos e escrevê-lo em forma de potência, assim: A solução da equação é x = 5. Exemplo 02: Resolver a equação. Solução: Como já sabemos, todo número elevado a 1 (um) é igual a ele mesmo. Então, podemos escrever: A solução da equação é x = 1. Exemplo 03: Resolver a equação 5 x = 1 Solução: Lembrando que um número diferente de zero, elevado a zero, é igual a um, a equação pode ser escrita assim: A solução da equação é x = 0. Página 9

10 Exemplo 04: Resolver a equação. Solução: Uma fração, cujo numerador é 1 (um), pode ser escrita na forma de uma potência de expoente negativo. Decompondo o denominador da fração em fatores primos, temos: A solução da equação é. Exemplo 05: Resolver a equação. Solução: O número 0,001 pode ser escrito com uma potência de expoente negativo, logo: A solução da equação é x = -2. Exemplo 06: Resolva a equação. Solução: Neste exemplo, as potências já estão com as bases iguais, portanto, podemos igualar diretamente seus expoentes. A solução da equação é x = 2. Página 10

11 Exemplo 07: Resolva a equação. Solução: Vamos decompor 16 e escrevê-lo em forma de potência de base 2. Temos que 16 = 2 4, logo: A solução da equação é x = 5. Exercícios Questão 07: Resolva as equações exponenciais: a) b) c) d) e) f) g) h) Página 11

12 Logaritmo Introdução Consideremos os seguintes problemas: Exemplo 01: A que expoente x se deve elevar o número 3 para se obter 81? Solução: Pelo enunciado, temos: Esse valor 4 encontrado para o expoente x denomina-se logaritmo do número 81 na base 3 e se representa por: Então: Exemplo 02: A que expoente x se deve elevar o número 5 para se obter 1? Solução: Pelo enunciado, temos: Esse valor 0 encontrado para o expoente x denomina-se logaritmo do número 1 na base 5 e se representa por: Então: Exemplo 03: A que expoente x se deve elevar o número 2 para se obter? Solução: Pelo enunciado, temos: Esse valor 4 encontrado para o expoente x denomina-se logaritmo do número 81 na base 3 e se representa por: Então: Página 12

13 Definição do Logaritmo O logaritmo de um número real e positivo b, na base a, positiva e diferente de 1, é o número x ao qual se deve elevar a para se obter b. Sendo b > 0, a > 0 e a 1. Na forma logarítmica Na forma exponencial Observação: Aos logaritmos que se indicam chamamos de sistema de logaritmos de base a. Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Dentre todos os sistemas, o mais importante é o sistema de logaritmos decimais, ou de base 10. Indica-se ou. Propriedades da Definição do Logaritmo Apresentamos a seguir algumas propriedades que têm verificação imediata pela definição: O logaritmo de 1, em qualquer base, é zero, isto é: O logaritmo da própria base é 1, em qualquer base, isto é: O logaritmo de uma potência da base é o expoente, em qualquer base, ou seja: A potência de base a e expoente é igual a b, isto é: Dois logaritmos em uma mesma base são iguais se, e somente se, os logaritmos são iguais, isto é: Página 13

14 Vejamos alguns exemplos. Exemplo 01: Considerando a definição dada, calcular o valor dos logaritmos: a) Resolução: Chamando o resultado de x, temos: Portanto,. b) Resolução: Chamando o resultado de x, temos: Portanto,. c) Resolução: Chamando o resultado de x, temos: Portanto,. d) Resolução: Chamando o resultado de x, temos: Portanto,. Página 14

15 Exercícios Questão 08: Aplicando a definição, calcule o valor dos logaritmos: a) b) c) d) e) f) g) h) Questão 09: Calcule o valor da base a nas igualdades: a) b) c) d) Página 15

16 Logaritmos Decimais Usando Potências de 10 Nesta aula, vamos ver que todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10. Por exemplo, vamos aprender que o número 15 pode ser escrito como 10 1,176. Deve parecer estranho ao leitor que um número tão simples como o 15 possa ser representado de uma forma tão complicada. E, também, por que fazer isso? A complicação é apenas aparente. Na realidade, essa nova forma de escrever os números positivos vai permitir que cálculos complicados possam ser feitos de forma muito mais simples. É só esperar um pouco para conferir. Para a teoria que vamos desenvolver nas duas aulas seguintes, precisamos mostrar que todo número positivo pode ser escrito como potência de 10. Para alguns casos, isso pode ser feito com muita facilidade. Veja: O mesmo ocorre para os números 0,1; 0,01 e 0,001, como se vê a seguir: No entanto, na maioria dos casos, fica difícil escrever um número como potência de base 10. Cálculos muito trabalhosos são necessários para obter, por exemplo, os seguintes resultados: É necessário dizer que essas últimas igualdades não são exatas. Elas são apenas aproximadas, porque os expoentes de 10 foram consideradas até a terceira casa decimal. Uma aproximação melhor para a primeira delas seria: mas, felizmente, para as nossas necessidades, três ou quatro casas decimais serão suficientes. Vamos ver agora que, com as informações que temos, já podemos representar outros números como potências de 10. Página 16

17 Exemplos: Representar os números 4 e 5 como potências de 10. Solução: Levando em conta a informação que demos (2 = 10 0,301 ) e as propriedades das potências, temos: a) b) O exemplo que acabamos de resolver mostra que, se conseguirmos exprimir os números primos como potências de 10, poderemos representar todos os outros da mesma forma, utilizando as propriedades das potências. No século XVII, vários matemáticos se dedicaram a esse extenuante trabalho e construíram tabelas onde, do lado esquerdo, apareciam os números e, do lado direito, as potências de 10 correspondentes a cada um. Essas potências passaram a ser conhecidas com o nome de logaritmos. Vamos, então, reunir as informações que já temos em nossa primeira tabela de logaritmos: Números Logaritmos , , , , , Dizemos que o logaritmo de 2 é 0,301 e escrevemos log 2 = 0,301. Isso significa que 10 0,301 = 2. Dizemos que o logaritmo de 5 é 0,699 e escrevemos log 5 = 0,699. Isso significa que 10 0,699 = 5. No exemplo a seguir, vamos efetuar os cálculos para completar a nossa tabela de logaritmos. Exemplos: Calcular os logaritmos dos números 6, 8 e 9. a) b) c) Página 17

18 Logaritmo Decimal Na aula anterior, vimos que os números positivos podem ser escritos como potências de base 10. Assim, introduzimos a palavra logaritmo no nosso vocabulário. Nesta aula você descobrirá as propriedades dos logaritmos e aprenderá a utilizá-las na solução de diversos problemas. Antes disso, vamos falar um pouco sobre sua importância histórica. Os logaritmos foram inventados na primeira metade do século XVII para facilitar cálculos complicados que a vida na época já exigia. Os navegantes precisavam saber onde estavam, a partir da posição de certas estrelas no céu. Os astrônomos, por sua vez, precisavam determinar a posição das estrelas e dos planetas ao longo do ano, prever os eclipses e as marés a partir da órbita da lua e estudar diversos outros fenômenos do céu. Os banqueiros precisavam fazer os cálculos dos juros e para todas essas atividades o trabalho era enorme. O astrônomo, por exemplo, podia saber que cálculos fazer para resolver um problema, mas freqüentemente levava meses para obter o resultado. As primeiras tábuas de logaritmos foram festejadas como um enorme avanço da ciência, pois possibilitavam uma rapidez no cálculo, a qual, até pouco tempo, seria considerada inacreditável. Mas o que as tábuas de logaritmos realmente fazem? A tábua de logaritmos é uma tabela de duas colunas de números com a seguinte propriedade: multiplicar dois números na coluna da esquerda é o mesmo que somar os números correspondentes na coluna da direita. Dessa forma, é possível substituir uma multiplicação por uma soma (que é uma operação muito mais rápida) e uma divisão por uma subtração. Veja pequena parte de uma tabela de logaritmos: Números Logaritmos , , , , , , , , ,3813 Para exemplificar, consideremos a multiplicação de 37 por 65. Para não fazer a conta diretamente, podemos procurar os logaritmos desses números na coluna da direita e somá-los: 1, ,829 = 3,3811. Em seguida, basta procurar o número correspondente a esse resultado na coluna da esquerda. Assim, concluímos que: = 2405 Se consideramos ainda que, com os logaritmos, foi possível calcular potências e extrair raízes de qualquer índice fazendo apenas multiplicações e divisões, podemos entender por que essa invenção foi, de fato, revolucionária. Página 18

19 As Tabelas e as Máquinas Científicas Antigamente, publicavam-se imensas tabelas de logaritmos. Nas mais simples, os logaritmos eram dados com 4 casas decimais e nas maiores, com até 14 casas decimais. Com o aparecimento das calculadoras eletrônicas, as tabelas perderam sua função. As calculadoras científicas fornecem os logaritmos dos números instantaneamente. Basta apertar a tecla LOG que elas possuem. Conhecendo um logaritmo, as calculadoras científicas também nos dizem a que número ele corresponde. No entanto, são poucas as pessoas que possuem essas máquinas. Em geral, usamos no nosso dia-a-dia a calculadora simples, que possui apenas as quatro operações, a raiz quadrada e uma memória. Por isso, para as nossas aplicações precisaremos consultar uma tabela. A consulta à tabela que vamos fornecer é fácil. Mas antes de lidar com ela, devemos aprender mais algumas coisas. Característica e Mantissa O logaritmo de um número é constituído de duas partes: uma antes da vírgula e outra depois da vírgula. A primeira chama-se característica e a segunda chama-se mantissa. Veja isso no exemplo: A característica situa o número dado entre duas potências consecutivas de 10. Logaritmos de números entre 1 e 10 possuem característica 0; logaritmos de números entre 10 e 100 possuem característica 1; logaritmos de números entre 100 e 1000 possuem característica 2, e assim por diante. Números Característica do Logaritmo entre 1 e 9, entre 10 e 99, entre 100 e 999, entre 1000 e 9999, Veja agora a propriedade da mantissa nos exemplos a seguir: O que você notou? A mantissa é a mesma, somente a característica variou, de acordo com a tabela acima. Quando multiplicamos um número por 10, 100, 1000 etc., a mantissa dos logaritmos não muda. Só a característica varia. Página 19

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22 Observe como encontramos os logaritmos dos números de 1 a 999 consultando a tabela. a) Para números de 1 a 99, a mantissa está na primeira coluna, e a característica será 0, se o número estiver entre 1 e 9, e será 1 se o número estiver entre 10 e 100. b) Para números entre 100 e 1000 procure a mantissa da seguinte forma: localize os dois primeiros algarismos na coluna da esquerda e o último algarismo na linha que está acima da tabela. Na interseção está a mantissa; assim, a característica será 2. Veja como localizamos o logaritmo de 267. Com a tabela também podemos descobrir um número quando o seu logaritmo é conhecido. Suponha, por exemplo, que em certo problema encontramos o logaritmo de um certo número igual a 1,4669. Que número será esse? A mantissa 4669 está inclusive na parte da tabela que acabamos de mostrar. À esquerda dessa mantissa, vemos na primeira coluna o número 29 e acima dela o número 3. Formamos então o número 293. Como a característica do logaritmo é 1, esse número está entre 10 e 99. Logo, o número procurado é 29,3. Página 22

23 Exercícios Questão 10: Encontre na tabela: a) b) c) d) e) f) g) h) Questão 11: a) Qual é o número cujo logaritmo é 2,6180? b) Qual é o número cujo logaritmo é 1,6180? c) Qual é o número cujo logaritmo é 0,6180? Página 23

24 Resolvendo Problemas com Logaritmos Nas aulas anteriores descobrimos as propriedades dos logaritmos e tivemos um primeiro contato com a tábua de logaritmos. Agora você deverá aplicar os conhecimentos adquiridos na solução de diversos problemas. Vamos lembrar que quando escrevemos, por exemplo, log 2 = 0,301, significa que 10 0,301 = 2. Usamos aqui sempre a base 10 e, por isso, os nossos logaritmos são chamados decimais. Existem também logaritmos em outras bases. Por exemplo, a igualdade 2 5 = 32 significa que o logaritmo de 32 na base 2 é igual a 5. Como a teoria básica dos logaritmos é a mesma em qualquer base, continuaremos nosso estudo tratando apenas dos logaritmos decimais. São eles que aparecem nas tábuas dos livros didáticos e nas calculadoras científicas. Esta aula foi elaborada com problemas em que os logaritmos são necessários para a solução. Acompanhe o raciocínio com uma calculadora comum para conferir os cálculos e consulte a tábua de logaritmos da aula passada quando necessário. Página 24

25 Exemplo 01: Um juiz determinou o pagamento de uma indenização até certa data. Determinou também que, caso o pagamento não fosse feito, seria cobrada uma multa de R$ 2,00 que dobraria a cada dia de atraso. Em quantos dias de atraso essa multa seria superior a 1 milhão de reais? Solução: A multa determinada pelo juiz pode parecer pequena, se o atraso no pagamento for de poucos dias. Mas ela cresce com uma rapidez muito grande. Chamando de x o número de dias de atraso no pagamento, o valor da dívida será 2x. Veja: 1 dia de atraso x = 1 multa = 2 1 = 2 2 dias de atraso x = 2 multa = 2² = 4 3 dias de atraso x = 3 multa = 2³ = 8 e assim por diante. Como vemos, as multas crescem em progressão geométrica. Devemos calcular em que dia essa multa atinge 1 milhão de reais, ou seja, devemos resolver a equação: Para resolver essa equação é preciso aplicar o logaritmo nos dois lados: Agora vamos aplicar a propriedade do logaritmo da potência: Como log 10 = 1 e log 2 = 0,301 (veja a tabela), temos: Assim, concluímos que no 20º dia de atraso a multa terá passado de 1 milhão de reais. Veja outro exemplo que necessita do cálculo pela tábua de logaritmos. Página 25

26 Exemplo 02: Se, determine x. Solução: Vamos recordar, inicialmente, que o logaritmo se constitui de duas partes: a característica e a mantissa. A característica é o número que está antes da vírgula e a mantissa é o número que aparece depois da vírgula. A tábua de logaritmos apresentada na aula passada nos dá apenas as mantissas, mas a característica nos dá a seguinte informação: Números Característica do Logaritmo entre 1 e 9, entre 10 e 99, entre 100 e 999, entre 1000 e 9999, Como tem característica 1. Então, sabemos que o número x está entre 10 e 99. Assim, procuramos a mantissa 6395 na tábua. Uma vez encontrada a mantissa, vemos que na coluna da esquerda está o número 43 e na linha de cima o número 6. Juntando esses números, formamos o número 436, faltando apenas colocar a vírgula no lugar certo. Como o nosso número está entre 10 e 99, então x = 43,6. Questão 12: Determine x em cada um dos casos: a) log x = 2,7348 b) log x = 1,7348 Exercícios c) log x = 0,7348 Página 26

27 Gabarito Questão 01: a) 9 b) 64 c) 64 d) 1000 e) 144 f) 625 Questão 02: a) b) c) d) Questão 03: a) b) Questão 04: a) b) c) d) c) d) e) f) Questão 05: a) b) c) d) Questão 06: a) b) c) d) e) f) g) h) Questão 07: Resolva as equações exponenciais: a) e) b) f) c) g) d) h) Questão 08: a) b) c) d) e) f) g) h) Página 27

28 Questão 09: a) b) c) d) Questão 10: a) b) c) d) e) f) g) h) Questão 11: a) 415 b) 41,5 c) 4,15 Questão 12: a) x = 543 b) x = 54,3 c) x = 5,43 Página 28

29 Bibliografia Os textos e os exercícios foram retirados e/ou pesquisados nos seguintes livros: Telecurso 2000 Matemática: Volumes 1,2 e 3 Ensino Médio. - São Paulo: Editora Globo, Matemática: Aula por Aula: Volume Único: Ensino Médio / Benigno Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. - São Paulo: FTD, Matemática: Contexto & Aplicações: Volumes 1, 2 e 3: Ensino Médio. - São Paulo: Ática,1999. Matemática Fundamental, 2º grau: Volume Único / José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. São Paulo: FTD, Coleção Base: Matemática: Volume Único / Manoel Paiva. São Paulo: Moderna, Curso Prático de Matemática: Volumes 1, 2 e 3 Ensino Médio / Paulo Bucchi. São Paulo: Moderna, Matemática: Temas e Metas: Volumes 1,2 e 3 / Antônio dos Santos Machado. São Paulo: Atual, Página 29

30 Este conjunto de apostilas foi elaborado pelos professores da Área de Matemática do CEEJA Max Dadá Gallizzi, com base nos livros didáticos descritos na Bibliografia, ora transcrevendo exercícios e teorias, ora criando com base nos conteúdos observados. Professores Ednilton Feliciano Francis Mara C. Sirolli Paulo Teles de Araújo Jr Satie Sandra Soares Taira 2010 Página 30