Qual é o tempo? INTRODUÇÃO

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1 LOGARÍTMOS

2 INTRODUÇÃO Qual é o tempo? Amanda ganhou reais de seu pai pra fazer sua festa de 15 anos. Ao receber o dinheiro, no entanto, resolveu abri mão da festa. É que ela queria comprar um computador. Mas havia um problema: o computador que ela queria custava reais. O jeito era aplicar o dinheiro que tinha, até conseguir o valor necessário.

3 Qual é o tempo? Amanda foi ao banco e conseguiu fazer uma aplicação que não fosse poupança. Lá, obteve uma outra aplicação, cuja taxa era de 5 % ao mês, capitalizados mensalmente. Chegando em casa, ficou curiosa. Em quanto tempo os 1000 reais aplicados viriam a se transformar nos 1500 reais de que precisava? Pensou. Ela havia acabado de aprender a calcular juros compostos. Fez, então, as suas contas.

4 Veja os cálculos Capital aplicado: C = Taxa: 5 % ao mês = 0,05 ao mês Montante pretendido: M = 1 500,00 M = C.(1 + i) t 1,05 t = 1, = (1,05) t 1,05 7 1,407 1,05 8 1,477 1,05 9 1,551 Amanda concluiu, portanto, que seu objetivo seria atingido no final do 9º mês de aplicação.

5 Qual é o expoente? Como poderia ser obtido, com uma aproximação razoável e sem utilizar o método das tentativas, o valor de t na equação 1,05 t = 1,5? A teoria dos logaritmos é muito útil em problemas como esse, que envolve a determinação de um expoente.

6 História A invenção dos logaritmos ocorreu no início do século XVII e é creditada ao escocês John Napier e ao suíço Jobst Burgi. Inicialmente seu objetivo era simplificar os cálculos numéricos, principalmente em problemas ligados à Astronomia e à Navegação.

7 História A partir dessa fabulosa invenção, tornaram-se mais simples e mais ágeis cálculos de expressões como 2,38 2,5 5,1 3,8. 12,4 3 O valor dessa expressão equivale ao valor de 2,5.log 2,38 + (1/3).log 12,4 3,8.log 5,1 10

8 História Foi o matemático inglês Henry Briggs ( ) quem propôs, inicialmente, a utilização do sistema de logaritmos decimais. Afinal, o nosso sistema de numeração utiliza justamente a base 10.

9 História Atualmente, são inúmeras as aplicações tecnológicas dos logaritmos. Eles são úteis, por exemplo, na resolução de problemas que envolvem desintegração radiotiva, o crescimento de uma população de animais ou bactérias, etc.

10 Logaritmo como expoente

11 Logaritmo como expoente O conceito de logaritmo está associado à operação potenciação: mais precisamente à determinação do expoente. Veja: 2 x = 8 x = 3 No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 2, é igual ao expoente 3. Em símbolos, log 2 8 = 3

12 Logaritmo como expoente Observe: calcular o log 2 8 é descobrir o expoente ao qual se deve elevar a base 2, para obter, como resultado, a potência 8. Vale, portanto a equivalência: log 2 8 = = 8 Calcular um logaritmo é obter um expoente. Logaritmo é o mesmo que expoente.

13 Definição Suponhamos dois reais positivos a e b (a 1). Se a x = b, dizemos que x é o logaritmo de b na base a (simbolicamente log a b = x). log a b = x a x = b a é a base; b é o logaritmando ou antilogaritmo; x é o logaritmo;

14 Exemplos log 2 32 = 5, porque 2 5 = 32 log 3 (1/81) = 4, porque 3 4 = 81 log 10 0,001 = 3, porque 10 3 = 0,001 log = 2/3, porque 5 2/3 = De acordo com a definição, calcular um logaritmo é descobrir o expoente, ou seja, resolver uma equação exponencial.

15 Exemplos Calcular log 4 8. log 4 8 = x 4 x = 8 (2 2 ) x = x = 2 3

16 Exemplos Calcular log 1/ log 1/3 9 = x x = 9 5 (3 1 ) x = 3 2/5 3 x = 3 2/5 x = 2/5 x = 2/5

17 Condição de existência do logaritmo Da definição, concluímos que o logaritmo só existe sob certas condições: b > 0 log a b = x a > 0 a 1

18 Condição de existência Analise quais seriam os significados de log 2 ( 4), log ( 2) 8, log 7 0, log 1 6 e log 0 2, caso fossem definidos. log 2 ( 4) = x 2 x = 4 impossível log 2 8 = x ( 2) x = 8 impossível log 7 0 = x 7 x = 0 impossível log 1 6 = x 1 x = 6 impossível log 0 2 = x 0 x = 2 impossível

19 Observação Muitas vezes, um logaritmo envolve variáveis. Nesse caso, devemos analisar o domínio dessas variáveis. Para isso, usamos as condições de existência do logaritmo.

20 Exemplos Resolver a equação log x (2x + 8) = 2. 1 o. Vamos analisar a condição de existência do logaritmo. 2x + 8 > 0 x > 0 x 1 x > 4 x > 0 x 1 x > 0 x 1 2 o. Usando a definição de logaritmo. log x (2x + 8) = 2 x 2 = 2x + 8 x 2 2x 8 = 0 x = 2 ou x = 4. S = {4}

21 Conseqüências da definição

22 Conseqüências da definição Admitindo-se válidas as condições de existência dos logaritmos, temos os seguintes casos especiais, que são conseqüências da definição. log a 1 = 0 porque a 0 = 1 log a a = 1 porque a 1 = a log a a k = k porque a k = a k

23 Exemplos log 3 3 = log = log 3,7 3,7 = 1 log 3 1 = log 10 1 = log 3,7 1 = 0 log = 9 log = 3

24 Conseqüências da definição Sabemos que log a k é o expoente ao qual se deve elevar a base a para se obter k. Vale por isso, a seguinte igualdade: log a k a = k

25 log = 3 Exemplos 1 + log = log 2 6 = 2.6 = 12 log = (3 2 ) log log 3 5 = 2 = 5 2 = 25 1 log = 15 1 log = 15 3 = 5

26 Sistema de logaritmos

27 Sistema de logaritmos O sistema de logaritmos naturais ou neperianos, utiliza, como base, o número irracional e. Esse número foi introduzido por Euler, em meados do século XVIII. Seu valor aproximado é e = 2, O logaritmo natural de um número x pode ser indicado por Ln x. Ln x logaritmo natural de x (base e)

28 Exemplos Ln e = log e e = 1 Ln 10 = log e 10 2,3 Ln e 3 = log e e 3 = 3

29 Logaritmos decimais

30 Logaritmos decimais O primeiro a utilizar os logaritmos decimais foi o matemático inglês Henry Briggs ( ). Foi ele quem construiu a primeira tábua de logaritmos decimais.

31 Tábua de logaritmos decimais log 13 = 1,114 n log n n log n n log n oun log n , , , = 13 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , log 35 = 1, , , , ,996 ou ,301 = ,

32 Exemplos Calcule os logaritmos decimais a) log 10 b) log c) log d) log e) log 0,000001

33 Exemplos Consultando a tábua de logaritmos calcule a) log 60 + log 31 log 5 b) 10 0, , ,69 c) os valores de x e y tais que 10 x = 26 e 1000 y = 15

34 Exemplos Em valores aproximados, a tábua de logaritmos mostra que log 13 = 1,114 ou 10 1,114 = 13. A partir desses valores, sem uso de calculadora, obtenha os números seguintes. a) 10 2,114 ; 10 4,114 ; 10 0,114 e 100 1,557. b) log 130; log 13000; log 1,3 e log 1300 c) os valores de x e y tais que 10 x = 0,13 e 13 y = 10 3,342.

35 Mudança de base

36 Mudança de base Observe uma calculadora científica. Ela permite o cálculo apenas dos logaritmos decimais (tecla log) e dos logaritmos naturais (tecla Ln). Como obter então, numa calculadora, logaritmos em outras bases? Será possível achar, por exemplo, os valores de log 3 5 e log 7 23?

37 Mudança de base Na tábua de logaritmos decimais, encontramos que log = 1,362 e log 10 7 = 0,845. A partir deles, determine o valor log log = 1, ,362 = 23 log 10 7 = 0, ,845 = 7 log 7 23 = log log 10 7 log 7 23 = x 7 x = 23 (10 0,845 ) x = 10 1, ,845.x = 10 1,362 0,845.x = 1,362 1,362 x = = 1,612 0,845

38 Fórmula de mudança de base De modo geral, podemos calcular log b a, utilizando uma outra base k arbitrária. Para isso, dividimos o logaritmo de a pelo logaritmo de b, na base k escolhida. Log b a = log k a log k b

39 Exemplos Resolver a equação 5 x = 20, dados os logaritmos decimais log 5 = 0,699 e log 20 = 1, x = 20 x = log 5 20 log 5 20 = log log 10 5 = log 20 log 5 1,301 = 0,699 = 1,861

40 Exemplos Se log k x = 2, calcular log x (1/k). log x (1/k) = log k (1/k) log k x = 1 2

41 Exemplos Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcular log o. Vamos a fórmula de mudança de base. log 2 3 = log 3 log 2 = 0,48 0,30 = 1,6 Observe que, log 2 3 = 1,6 2 1,6 = 3.

42 Exemplos Escrevendo os logaritmos numa mesma base, obtenha o valor mais simples do produto log 2 7. Log Log o. Vamos a fórmula de mudança de base. 1 log 7 log log 13 log log 2 log 13 = 1 1

43 Prof. Jorge