Unidade II MATEMÁTICA COMERCIAL. Profª. Gizele Munim

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1 Unidade II MATEMÁTICA COMERCIAL Profª. Gizele Munim

2 Apresentação do módulo ii Desconto Simples Relação entre Taxa de Desconto e Juros Simples Juros Compostos

3 Desconto simples Desconto simples ou comercial é o desconto aplicado sobre o valor nominal, ou futuro do título, muito utilizado nas instituições financeiras e no comércio em geral. O desconto comercial é uma convenção secularmente aceita e amplamente utilizada nas operações comerciais e bancárias de curto prazo.

4 Desconto simples Quando uma empresa vende a prazo, usualmente recebe títulos de seus clientes como garantia pelos financiamentos concedidos. Os títulos mais comuns são: Nota Promissória: É um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado (PF x PF ou PF x PJ); Duplicatas: Título emitido por uma pessoa jurídica contra seus clientes PF ou PJ, para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, conforme contrato;

5 Desconto simples Letra de Câmbio: Assim como a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado, emitido ao portador, por uma instituição financeira; Cheques: É uma ordem de pagamento à vista. Pela lei, um cheque é pagável quando for apresentado ao banco, mesmo sendo emitido com data posterior. Nota: Mesmo com esta definição, no Brasil convencionou-se utilizar o cheque para prédatado, sendo aceito por alguns bancos nas operações de desconto também.

6 Desconto simples Os títulos citados são exemplos de instrumentos cuja característica comum é dar direito à empresa ou indivíduo que o possui de receber um valor (De face ou Nominal) do título em uma data futura (Data do vencimento)

7 Desconto simples Normalmente quando as empresas possuem títulos a vencer em data futura, havendo a necessidade de receber estes recursos antecipadamente, ela poderá levar tais títulos a uma instituição financeira que, caso decida adquirí-los, irá efetuar a transação a preços inferiores aos seus respectivos valores de face, realizando o que denominados desconto de títulos. Os bancos normalmente utilizam os juros simples para fazer a operação de desconto.

8 Desconto simples Como exemplo deste caso, imagine uma empresa que emitiu uma duplicata no valor de $ ,00 para vencimento em quatro meses. Em determinado momento, antes de completar este prazo, a empresa necessitou de dinheiro para seu fluxo de caixa. Foi, então, ao banco que ofereceu um adiantamento de $ ,00 em troca da duplicata. Dizemos, neste caso, que o banco propôs um desconto de $ 1.500,00. ($ ,00 - $18.500,00).

9 Desconto simples O cálculo do desconto simples pode ser obtido pela fórmula: D = N x d x n E o valor líquido do título descontado Vd = N D Onde: D = Valor do desconto N = Valor nominal (Ou de face) n = Prazo de vencimento do título d = Taxa de desconto Vd = Valor descontado ou valor atual.

10 Desconto simples Quando não se sabe a taxa de desconto, esta pode ser encontrada pela fórmula: d = D. N x n E quando a incógnita for o prazo de vencimento do título, usaremos a fórmula: n = D. N x d

11 Desconto simples Exemplo: Qual o valor do desconto simples de um título de R$ 2.000,00 que vencerá em para 90 dias à taxa de 2,5% ao mês? N = d = 2,5% (0,025) n = 90 dias (3 meses) D = N x d x n D = x 0,025 x 3 = 150,00 Vd = N D Vd = = R$ 1.850,00

12 Desconto simples Exemplo: Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor nominal é de R$ 1.000,00 e o valor de resgate R$ 880,00? N = Vd = 880 n = 120 d (4m) D = N Vd D = = 120,00 d = D. = 120 = 0,03 N x n x 4 Taxa = 3% ao mês

13 Desconto simples Exemplo: Uma duplicata de R$ 6.800,00 foi descontada, cujo crédito foi R$ 6.000,00. Sabe-se que a taxa cobrada pelo banco foi de 3,2% ao mês. Quando venceria esta duplicata? N = Vd = d = 0,032 D = N Vd D = = 800,00 n = D. = 800 = 800 = N x d x 0, ,60 = 3,67 meses ou 110 dias.

14 Desconto simples Cálculo do valor do desconto para uma série de títulos de mesmo valor. Este valor poderá ser obtido pela fórmula: Dt = N x q x d x t1 + tn 2 Onde: Dt = Valor total do desconto N = Valor Nominal dos títulos q = Quantidade de títulos d = taxa de desconto t1 = Vencimento do 1º título tn= Vencimento do último título. (Nota: sempre expresso na mesma unidade de medida de d)

15 Desconto simples t1 + tn 2 A expressão acima é a que representa o prazo médio dos títulos descontados. Essa fórmula somente é válida para desconto de séries de títulos ou de prestações com valores iguais de vencimentos sucessivos e de periodicidade constante a partir do primeiro vencimento.

16 Desconto simples Exemplo: Vamos admitir que um cliente apresente a um banco 5 títulos no valor de R$ 1.000,00 cada, com vencimentos entre 30 a 150 dias, para desconto a taxa de 3% ao mês(simples). Qual o valor do desconto? N = Q = 5 d = 0,03 t1 = 30 (1 mês) tn = 150 (5 meses) D T = N x Q x d x t1 + tn 2 D T =1000x5x003x x 0,03 x D T = 150 x 3 = 450,00

17 Desconto simples Exemplo: Calcular o valor líquido resultante do desconto bancário de 12 títulos de R$ 1.680,00 cada, vencíveis de 30 a 360 dias, sendo a taxa de desconto cobrada pelo banco de 2,5% ao mês. N = Q = 12 d = 0,025 t1 = 30 (1 mês) tn = 360 (12 meses) D T = N x Q x d x t1 + tn 2 D T = x 12 x 0, x D T = 3.276,00

18 Desconto simples Continuidade: Valor Líquido: VdT = N x Q Dt VdT = x VdT = VdT = ,00 Valor líquido a receber: R$ ,00

19 Interatividade Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata no valor de R$ 9.800,00 que sofreu um desconto bancário simples de R$ 548,50, à taxa de 32% ao ano. a) 61 dias b) 70 dias c) 63 dias d) 65 dias e) 90 dias

20 Taxa de desconto simples x taxa de juros simples Como vimos até agora, a taxa de desconto é taxa utilizada em operações de Desconto Comercial. Embora seja freqüente a confusão entre juros e desconto, trata-se de critérios distintos, claramente caracterizados. No cálculo dos juros a taxa incide sobre o capital inicial (ou valor presente) ; no desconto a taxa do período incide sobre o montante (ou valor futuro).

21 Taxa de desconto simples x taxa de juros simples Pode-se haver confusão quanto a utilização da taxa de desconto e da taxa de juros da operação.

22 Taxa de desconto simples x taxa de juros simples A figura abaixo exemplifica a relação entre a taxa d e a taxa i: Fonte: Matemática Financeira Objetiva, Roberto Fonte: Matemática Financeira Objetiva, Roberto Zentgraf

23 Taxa de desconto simples x taxa de juros simples A relação entre a taxa de desconto simples e a taxa de juros simples pode ser obtida pela fórmula: Onde: i = Taxa de Juros d = Taxa de Desconto n = prazo da operação

24 Taxa de desconto simples x taxa de juros simples Exemplo: A taxa de desconto simples de duplicatas cobradas pelo Banco é de 8% a.m. Se descontarmos neste banco uma duplicada que vencerá em 06 meses, Qual a taxa mensal de juros simples a ser cobrada? d = 8% a.m. = 0,08 n = 06 i = d = 0,08 = 0,08 = 0, d x n 1-0,08 x 6 0,52 i = 15,38% ao mês

25 Taxa de desconto simples x taxa de juros simples Uma duplicata emitida com vencimento para 03 meses foi descontada antecipadamente, resultando numa taxa de juros simples de 5% ao mês. Qual a taxa de desconto simples utilizada? i = 5% = 0,05 n = 03 0,05 = d. 1 d x 3 (0,05) x (1 3d) = d 005 0,05 0,15d = d 0,05 = d + 0,15 d 0,05 = 1,15 d d = 0,05 / 1,15 = 0,0435 d = 4,35% ao mês

26 Taxa de desconto simples x taxa de juros simples Exemplo: Suponha que uma empresa possua uma duplicata de R$ ,00 com vencimento para daqui 75 dias. Calcule o valor que a empresa receberá se descontar a duplicata, sabendo que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 15% ao mês. N = d = 15% a.m. = 0,15 n = 75 dias = 2,5 meses D = N x d x n D = x 0,15 x 2,5 = 7.500

27 Taxa de desconto simples x taxa de juros simples Valor recebido: Vd = = Qual a taxa de juros simples aplicada? Quem recebe hoje R$ ,00, se comprometendo a pagar R$ ,00 daqui 75 dias, está pagando qual taxa? J = C x i x n = x i x 2, = x i i = 7500 / i = 0,24 24% ao mês = 60% ao período

28 Taxa de desconto simples x taxa de juros simples Usando a fórmula: N = d = 0,15 n = 75 dias = 2,5 meses i = d = 0,15 = 0,15 = 0,24 1 d x n 1-0,15 x 2,5 0,625 Logo 0,24 x 2,5 = 0,60 60% ao período

29 Taxa de desconto simples x taxa de juros simples Exemplo: Se um banco utiliza taxa de desconto simples de 15% a.m., qual o valor da nota promissória a ser assinada por um cliente que deseja receber R$ 2.500,00 líquidos em sua conta, para pagamento após 2 meses? i = 0,15 = 0,15 = 0,15 = 0, ,15 x 2 1 0,30 0,70 M = C (1 + i x n) M = (1 + 0,2143 x 2) M = (1,42857) M = 3.571,43

30 Taxa de desconto simples x taxa de juros simples Valor Nominal da N.P. = R$ 3.571,43 d = 15% = 0,15 n = 2 D = N x d x n D = 3.571,43 x 0,15 x 2 D = 1.071,43 Vd = N D Vd = 3.571, ,43 Vd = 2.500,00

31 Interatividade Qual o valor líquido a ser recebido pelo desconto de um título de valor nominal de R$ ,00 resgatado 3 meses antes, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada pelo banco é de 5,88% ao mês? a) R$ 8.236,00 b) R$ 8.430,00 c) R$ 8.500,00 d) R$ 8.930,00 e) R$ 8.710,00 00

32 Juros compostos No regime de juros compostos, a taxa de juros incide sobre o capital inicial acrescido dos juros acumulados até período anterior. Ou seja, o Montante acumulado ao final de cada mês constitui-se no Capital Inicial do mês seguinte.

33 Juros compostos Entendendo o Capital Inicial: Tome como exemplo um capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de juros de 4% ao mês, durante 5 meses:

34 Juros compostos Observa-se que o montante no final de cada mês constitui-se no capital inicial do mês seguinte. Entretanto esta forma de cálculo é extremamente trabalhosa e demorada. Diante disso, deduz-se a fórmula para cálculo:

35 Juros compostos O cálculo dos juros compostos pode ser feito através da fórmula: M = C x (1 + i) n Onde: M = Montante C = Capital Inicial i = Taxa de Juros n = Prazo

36 Juros compostos Da fórmula principal, obtemos as seguintes fórmulas secundárias: Capital Inicial ou (Valor Presente): Prazo: Taxa de Juros:

37 Juros compostos A principal característica que diferencia juros simples e juros compostos é que no primeiro caso os juros são uma função linear do tempo e no segundo uma função exponencial, como ilustrado:

38 Juros compostos Juros Compostos são conhecidos como juros sobre juros O juro composto é a maior invenção da humanidade, porque permite uma confiável e sistemática acumulação de riqueza. Albert Einstein

39 Juros compostos Este regime corresponde a uma progressão geométrica (PG), onde os juros crescem de forma Exponencial ao longo do tempo, como mostra o gráfico abaixo, um capital de R$ aplicado por dez meses a uma taxa de 10% am a.m., acumula um montante de R$ 2.593,74 no final. Valores 1.200, , , , , , , , ,00 800, Período

40 Juros compostos Exemplo: Um mutuário comprou um apartamento por R$ ,00 financiado por um banco com taxa de juros de 15% ao ano, financiado em 10 anos. Logo no primeiro mês, ele perde o emprego e não consegue pagar nenhuma prestação. Qual será o valor do montante (tudo que ele deve) ao final de 10 anos? M =??? C = capital inicial = ,00 i = taxa de juros = 15% ao ano n = tempo = 10 anos

41 Juros compostos M = C x (1 + i) n M = x (1 + 0,15) 10 M = x (1,15) 10 M = x 4,046 M = ,00 Resposta: Ao final de 10 anos o montante (principal + juros) será de R$ ,00, ou seja, ele deve mais de 4 apartamentos.

42 Juros compostos Ex: Um aplicador colocou R$ 1.000,00 em uma caderneta de poupança que possui uma taxa de juros de remuneração de 0,5% ao mês. Se ele não fizer nenhum depósito nem retirada por 12 meses, qual será o montante final? C = 1000 i = 0,5% (0,005) n = 12 M = C x (1 + i) n M = x (1 + 0,005) 12 M = x (1,005) 12 M = x 1,0617 M = 1.061,70 Rentabilidade: R$ 61,70

43 Juros compostos Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,63? M = 477,62 i = 3% = 0,03 n = 6 M=C x (1 + i) n 477,63 = C x (1,03) 6 477,63 = C x 1,194,05 C = 477,63 = R$ 400,00 1,194,05,

44 Juros compostos Qual a taxa de juros empregada sobre o capital de R$ 8.000,00 durante 12 meses que gerou o montante de R$ ,93?

45 Juros compostos Por quanto tempo devo aplicar um capital de R$ 800,00 a uma taxa de juros de 3% ao mês para resgatar R$ 1.444,89? (Log 1,806 = 0,257 e Log 1,03 = 0,013) 1.444,89 = 800 x (1 + 0,03) n 1.444,89 = 800 x 1,03 n 1.444,89 = 1,03 n 800 1,806 = 1,03 n (propriedade dos logaritmos) log 1,03 n = log 1,806 n * log1,03 = log1,806 n * 0,013 = 0,257 n = 0,257/0,013 = 20 meses

46 Interatividade Qual a aplicação inicial que, após 4 meses de capitalização à taxa de juros compostos de 2,5% ao mês resultou em R$ ,01? A) R$ ,00 B) R$ ,00 C) R$ ,00 D) R$ ,00 E) R$ ,00

47 Juros compostos (hp 12 c) Veremos agora a resolução de exercícios envolvendo juros compostos na calculadora HP 12C

48 Juros compostos (hp 12 c) [n]: calcula o número de períodos [i]: calcula a taxa de juros [PV]: calcula o valor presente [PMT]: calcula a prestação [FV]: calcula o valor futuro [CHS]: troca o sinal

49 Juros compostos (hp 12 c) Para utilizar as funções financeiras da HP 12C em cálculos envolvendo juros compostos ( n, i, PV e FV), a calculadora deve conter na parte inferior do lado direito do visor a letra C. Isto indica que os cálculos serão pelo sistema de juros compostos. Caso a letra C não conste no visor tecle (STO + EEX) para fazê-la surgir e deixar a calculadora no modo normal de operação denominado convenção exponencial.

50 Juros compostos (hp 12 c) Um investidor aplicou $4.000,00 por seis meses a uma taxa de juros compostos de 8% a.m. Calcule o valor do resgate. f [Reg] 4000 [CHS] [PV] 6 [n] 8 [i] [FV] $6.347,50

51 Juros compostos (hp 12 c) Pedro aplicou $400,00 por três meses a taxa de 5% a. m. (juros compostos). Qual o valor de resgate?

52 Juros compostos (hp 12 c) Qual o valor inicialmente aplicado que proporcionará um resgate de $800,00, a vencer em 04 anos, com taxa composta de 7% ao ano? f [Reg] 800 [FV] 4 [n] 7 [i] [PV] $ 610,32

53 Juros compostos (hp 12 c) A Loja Maia vende uma máquina no valor de R$ ,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ ,00 no final de 280 dias. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? [f] [Reg] [CHS] [PV] 280 [ENTER] 30 [ ] [ n ] [FV] [i] Taxa: 3,042% ao mês

54 Juros compostos (hp 12 c) Por quanto tempo devo aplicar um capital de R$ 800,00 a uma taxa de juros de 3% ao mês para resgatar R$ 1.444,89? [f] [Reg] 800 [CHS] [PV] 3 [ i ] 1.444,89 [FV] [ n ] Prazo: 20 meses

55 Juros compostos Aplicamos R$ 1.000,00 a juros compostos, durante 09 meses, rendendo um montante final de R$ 3.000,00. Qual a taxa trimestral da aplicação? [f] [Reg] [CHS] [PV] [FV] 9 [ ENTER ] 3 [ ] [ n ] [ i ] Resultado: 44,225% ao trimestre

56 Juros compostos (hp 12 c) Logaritmo Decimal (BRIGGS) O logaritmo decimal (Briggs) de um número contido no visor é obtido calculando-se seu logaritmo natural e complementando pela seqüência: 10 [g] [LN] [ ] Observação: A HP-12C não calcula o logaritmo decimal diretamente, daí o artifício. Exemplo a) Calcular log 2 b) 2 [ g ] [ LN ] 10 [g] [LN] [ ] Resultado: 0,301

57 Juros compostos (hp 12 c) Exemplos: Calcular Logaritmo de 1,806: 1,806 [ g ] [ LN ] 10 [ g ] [ LN ] [ ] Resultado: 0,257 Calcular Logaritmo de 1,03: 1,03 [ g ] [ LN ] 10 [ g ] [ LN ] [ ] Resultado: 0,13

58 Juros compostos (hp 12 c) Para calcular raiz: 1, [ Enter ] 12 [ 1/x ] y x Resultado: 1,02

59 Interatividade João tomou um empréstimo para pagamento após 9 meses de R$ 3.500,00 a juros compostos de 1,89% ao mês. Quanto ele pagará no final da operação? a) R$ 4.095,35 b) R$ 4,380,00 c) R$ 4,421,20 d) R$ 4,142,40 e) R$ 4,168,90

60 ATÉ A PRÓXIMA!