A HISTÓRIA DOS LOGARITMOS COMO CONTRIBUIÇÃO À MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO

Transcrição

1 A HISTÓRIA DOS LOGARITMOS COMO CONTRIBUIÇÃO À MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO Evanildo Costa Soares Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN nildo_23@hotmail.com Resumo: Esse texto apresenta como surgiu o logaritmo no decorrer da história. Para isso, utiliza-se a história da matemática como forma investigativa, afim de que possa ajudar o professor entender o contexto epistemológico desse instrumento de cálculo e suas contribuições didáticas para o ensino-aprendizagem da matemática. Pretende-se nesse trabalho a priori desenvolver o conceito de logaritmo, suas propriedades e principais aplicações no contexto sócio-cultural. Considerando a variedade de conceitos matemáticos no presente estudo, optamos por desenvolver um modelo teórico-prático para a compreensão dos logaritmos seguindo como meta à investigação histórica da matemática. Palavras-Chave: Investigação Histórica da Matemática; Conceito de Logaritmo; Logaritmos Neperianos; Propriedades dos Logaritmos. INTRODUÇÃO Atualmente, uma das abordagens didática que muito tem sido apontada por pesquisadores da Educação Matemática, como forte aliada na superação das dificuldades conceituais dos alunos é a história da matemática. Há, entretanto, uma série de controvérsias de estudiosos e críticos quanto ao uso dessa alternativa didática no ensino de matemática. Muitas dessas críticas apontam que tal abordagem de ensino não é suficiente para garantir ao aluno uma aprendizagem satisfatória. Diante de alguns desses posicionamentos bem como da realidade na qual se encontra o ensino atual, consideramos necessário buscar alternativas de mudança para o processo de ensino-aprendizagem da matemática, principalmente, no que diz respeito ao modo como o aluno encara a matemática em sala de aula. Uma dos obstáculos apresentados pelos alunos na compreensão dos conteúdos de matemática remete-se ao uso da linguagem e simbologia, que são elementos primordiais da matemática. Outro fator notório refere-se à forma como os professores relacionam o ensino Esse trabalho foi orientado pelo professor Iran Abreu Mendes.

2 de matemática com o seu contexto social e como são vivenciadas essas práticas. De acordo com Mendes (2006): (...) a matemática é um saber gerado pela sociedade humana, e por conseqüência, possui uma história. Todavia, esse conhecimento, certamente, se amplia em conteúdo, em escrita e em simbologia ao longo do tempo, de forma não-linear, porém, traçada por controvérsias, debates, divergências, renovações e atualizações interessantes. (MENDES, 2006, p. ) Assim, para aprimorar o ensino de matemática e propor uma melhor compreensão dos conteúdos, utilizaremos a história da matemática. Considerando a variedade de conceitos matemáticos no presente estudo, optamos por desenvolver um modelo teóricoprático para a compreensão do conceito de logaritmo, tendo como referencia à investigação histórica da matemática. Tal escolha poderá ajudar o aluno a compreender como foram construídos os logaritmos, suas propriedades e aplicações na sociedade contemporânea. Ao inserir dados concretos de estudos que evidenciam tal fracasso vivenciado pelas as escolas dos nossos dias, a nossa intenção é ajudar o aluno a compreender o logaritmo de uma forma simples e eficaz, fugindo da abordagem adotada pelos livros didáticos, oferecendo ao professores meios suficientes e concretos para que realize o ensino que satisfaça o aprendizado do aluno. A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E A ANÁLISE CONSTRUTIVA DO LOGARITMO Nossa vivencia como aluno e professor tem mostrado que na escola dos nossos dias, a falta de um ensino satisfatório e a relação desses conteúdos com sua prática, tem sido uma das principais causas do fracasso escolar. Nisto, o ensino é focalizado de forma mecânica e sem estímulo. O aluno segue um modelo matemático baseado em repetições de exercícios e memorizações de fórmulas. Tendo em vista a contribuir na superação de problemas como esses, pretendemos explorar situações que possibilitem uma aprendizagem significativa da matemática, Mendes (2006, p.3) proporciona que o aluno só aprende matemática, quando é estimulado a 2

3 pensar, refletir e analisar sobre os conceitos e sua prática afim de que obtenham uma matemática como uma ciência sociocultural. Dizemos que quando o aluno é estimulado a pensar e a agir dessa forma, o ensino torna-se mais proveitoso e prático, facilitando na compreensão dos conteúdos e de suas relações sociais, culturais e econômicas. De acordo com Mendes(2006): Ainda é possível, utilizarmos a matemática produzida por outros povos, e em outras épocas, para produzir novas matemáticas, compará-las com a produção anterior e ampliar o corpo de conhecimento já existente. Portanto, a história servirá como agente de cognição para que o aluno aprenda a construir os conceitos e suas formações a partir de uma realidade prática utilizada por outros povos, passando a ter mais interesse em estudar e aprender matemática. (MENDES, 2006, p.2) Assim, por essa proposição, a história da matemática serve como agente de cognição, pelo qual nos desperta a utilizar matemáticas produzidas por outros povos, a fim que possa produzir novas matemáticas. Com isso, seguindo esse campo de abordagem investigativa, a história da matemática passa a ser um fator condicionante para o aprendizado da matemática. Mas, se tratada apenas como assunto específico ou conteúdo, torna-se insuficiente para o processo de ensino e aprendizagem da matemática. Conforme comenta os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN): A história da matemática não contribui para a formação do aprendizado, segundo os autores, a historia é insuficiente para o aprendizado intensivo da matemática. Alguns historiadores se intensificam com relação a historia da matemática, e por sua vez, garantem que historia é fundamental para o aprendizado significativo da matemática. (BRASIL, 999, p.40). Um dos conteúdos mais discutidos e comentados no ensino médio é o logaritmo. A deficiência na compreensão e assimilação desse conteúdo é bastante repercutida no ensino médio e uma das principais causas é a falta de um estudo mais detalhado sobre esse tema, tendo como meta o aprendizado desse instrumento de cálculo. Contudo, a maneira como os professores ensina os logaritmos sem nenhuma procedência relacional dificulta o aprendizado do aluno e não desperta a curiosidade dele quanto ao uso específico e prático desse instrumento de cálculo. 3

4 Por isso, a falta de um aprimoramento e de domínio do professor no que concerne ao ensino de logaritmos faz com que os alunos defendam que esse instrumento de cálculo não tem nenhum valor específico e o seu uso é ineficaz para o processo de ensino e aprendizagem da matemática. Essa reflexão nos aponta que o ensino de logaritmos apresentado pelos professores nas instituições de ensino é fundamentado apenas em livros didáticos cuja abordagem possui um nível de difícil compreensão. Sua representação lógica segue apenas o enunciado formal como forma teórica para a sua compreensão, sem mencionar nenhuma relação interdisciplinar com outras ciências e nenhuma análise prática e investigativa desse instrumento de cálculo. Vejamos como os logaritmos são definidos em dois dos principais livros de matemática usados no ensino médio: Conforme ilustra Dante (999, p. 203): Dados os números reais positivos a e b, com b 0, chamamos de logaritmo de a, na base b, o número real c, que deve ser o expoente de b para que a potência seja igual ao número a. log b a = c b c = a, com a > 0 e b > 0. Conforme comenta Iezzi (2004, p.97): Sendo a e b números reais e positivos, com a, chama-se logaritmo de b na base a o expoente x ao qual se deve elevar a base a de modo que potência a x seja igual a b, [ou seja], log a b = x a x = b. Nos dois exemplos citados anteriormente, a definição de logaritmo é formulada sem nenhuma relação histórica com representação algébrica e simbólica de difícil compreensão. Percebemos que os autores pressupõem que o aluno já tenha alguma idéia formada sobre esse conteúdo. Nesses livros, ainda são apresentados vários exercícios que não são explorados de forma prática, pois se fundamenta na definição e memorização do conceito. Quando os autores fornecem alguma história ou comentário a esse respeito, não traz nenhuma relação prática e investigativa desse instrumento de cálculo. Então, para aprofundarmos nesse estudo e para compreendermos melhor a análise construtiva do logaritmo e o seu primeiro conceito, vejamos o que significa a palavra logaritmo. Conforme afirma Magalhães (2003, p.8), logaritmos vem da junção de duas 4

5 palavras no latim logos razão e arithemos - números (Quanta vezes se tomam à base como fator para obter o número). Essa era idéia principal que se tinha a respeito da palavra logaritmo. Observa-se primordialmente que a idéia proposta tinha uma relação com potenciação. Segundo Collete(995), o primeiro homem a utilizar essa idéia foi John Napier: (...) no final do século XVI, Napier, preocupado porque os cálculos eram grandes e difíceis, e freavam o progresso científico, concentrou todos os seus esforços em desenvolver métodos que pudessem simplificá-los. Com este fim, escreveu em sua Rabdologia, onde descreve a utilização de barras e quadrinhos para efetuar somas de parcelas parciais. Os quadrinhos de Napier eram tábuas de multiplicações montadas sobre barras de secções quadradas (COLLETTE, 995, p.45). Esse dispositivo o incentivou a estudar mais sobre os instrumentos de cálculo que pudessem simplificar os cálculos enormes da época. A sua busca era encontrar algum instrumento de cálculo que facilitasse e simplificasse os cálculos que freavam o progresso científico da época e facilitasse a vida dos astrônomos. No entanto, ele dedicou grande parte de sua vida a estudos matemáticos que contribuísse para essa maravilhosa invenção e depois de vinte anos publicou as tábuas dos logaritmos. O SURGIMENTO DO LOGARITMO NO SÉCULO XVII O surgimento do logaritmo foi desenvolvido a partir de uma análise feita por Napier, no final do século XVII, em que um dos grandes desafios da matemática consistia em encontrar meios de simplificar os cálculos numéricos, visando em especial às necessidades da astronomia e da navegação. Assim, Napier propôs sua primeira análise a respeito do logaritmo partindo de uma experiência prática e de acordo com Eves (997) em linguagem moderna, ele concebeu os seus logaritmos da seguinte maneira: Imaginemos os pontos C e F percorrendo respectivamente o segmento AB e a semi-reta DX (como mostra a figura a seguir), partindo ao mesmo tempo do ponto A e do ponto D, com a mesma velocidade inicial, admitamos ainda que, numericamente, a velocidade de C seja dada sempre pela medida de CB e que a velocidade de F seja constante; nessas 5

6 condições Napier definiu como logaritmo de x = CB o número y = DF. Assim, explicitamente, nesse conceito não intervém a idéia de base. (EVES, 997, p. 243) Esse conceito de logaritmo apresentado por Napier o fez se interessar cada vez mais pelo o estudo significativo desse instrumento de cálculo. A análise dessa prática não nos convém ser demonstrada, pois ela funciona como suporte teórico para representar o significado do logaritmo. Essa análise construtiva o levou adiante a primeira idéia do que fosse o logaritmo neperiano, e no século XVIII, fosse demonstrada por Leonard Euler a seguinte relação: 0 = e. n n Observe: 00 00,0 00 2, , , , , e = 2, Baseado nessa aplicação e pela a análise sucinta de suas potencias, Euler chamou esse valor encontrado de logaritmo neperiano em homenagem ao criador. A sua futura descoberta percutiu-se bastante durante o século XVII revolucionando a matemática moderna com sua principal invenção. Os logaritmos propostos por Napier foram desvendados numa associação entre progressões aritméticas e geométricas, que eram conhecidas como relação de Stifel. Vejamos: (Progressão Geométrica) 6

7 (Progressão Aritmética) A sua primeira observação apontou que o produto de dois termos da primeira progressão está associado com a soma dos dois termos correspondente da segunda progressão. Para manter os termos da progressão geométrica, suficientemente próximos, de modo que se possa usar interpolação para preencher as lacunas entre os termos, deve-se escolher um número próximo de. Esse número fixado por Napier caracterizou, os logaritmos Neperianos conforme vimos anteriormente. Reescrevendo essa idéia temos: (Progressão Geométrica) (Progressão Aritmética) Observando essa idéia deparamo-nos com o conceito de logaritmos proposto por Napier através de seu dispositivo prático, isto é, que os elementos postos sobre a progressão geométrica são os que saem com velocidade variada, enquanto isso os da progressão aritmética são os que partem com velocidade constante. Em outras palavras, os termos da progressão aritmética são os respectivos logaritmos da progressão geométrica. Observe: 2 = = = 52 O valor 2 é uma constante que eleva os valores, 2, 3, 4,...9, ou seja, a essa constante 2 que denominaremos de base do logaritmo. Os valores dos resultados de cada potenciação 2, 4, 8, 6,...52 denominaremos de logaritmando. E os logaritmos são os respectivos valores de cada expoente, que elevados à base encontram o logaritmando. De outra forma, os logaritmos são os respectivos valores que acompanham os termos de uma progressão aritmética. Assim, Por exemplo, log 2 64 = 6. Logo, 2 6 = 64. Reescrevendo de uma forma geral tem-se: b b² b 3 b 4... b m... b n (Progressão Geométrica) m... n (Progressão Aritmética) 7

8 Dizemos b m = a e, reescrevendo na forma de logaritmo teremos log a b = m. Assim, dizemos que m é o logaritmo de b na base a, onde a > 0 e a e b > 0 para quaisquer que sejam a, b e m reais. Essa forma que encontramos para definir o logaritmo não se encontra nos livros de didático de matemática do século XXI, pois foi substituído pelo método algébrico. A progressão aritmética e geométrica é um dos meios mais importantes para compreender os logaritmos. Observa-se que essa idéia fundamentada por Napier faltava-lhe certa clareza para explicar o logaritmo de um em qualquer base. Assim, ele recebeu uma visita de Henry Briggs em sua casa, logo após a publicação de sua maravilhosa obra em 64. Segundo Eves (997): Foi basicamente durante essa visita que Napier e Briggs resolveram que as tábuas seriam mais úteis se fossem alteradas de modo que o logaritmo de fosse 0 e o logaritmo de 0 fosse, nascendo assim os logaritmos briggsianos, ou comuns, os logaritmos de base 0. (EVES, 997, P.24). O uso específico do logaritmo decimal proposto pelo o acordo comum entre ambos, tornou Briggs depois da morte de Napier como o primeiro homem a desvendar esse instrumento de cálculo, sem o auxilio de régua, a construção e a publicação de uma tábua em 67, contendo os logaritmos decimais de até 000. Esse trabalho segue a mesma proposição de Napier realizado entre progressões aritméticas e geométricas. OS LOGARITMOS DE BRIGGS E AS PROPRIEDADES LOGARÍTMICAS Para a compreensão dos logaritmos decimais e como obteve esses primeiros logaritmos utilizou o método descrito a seguir, a fim de obter o expoente logaritmo de um número. Vejamos como encontrar o valor log 2, log 3, log 4 e log 5 pelo o uso do método das tentativas. Sabendo que 2 0 =024, achar n tal que 0 n =2. De imediato 0 0 < n <0. Isto significa que logaritmo, de dois na base dez, está entre 0 e. Partindo dessa idéia, utilizaremos uma aproximação para o valor 2 0 =024. 8

9 Com um erro de apenas de 2,4%, ,ou seja, 024 é aproximadamente 000. Assim, obtém-se: ou Dividindo ambos os expoentes por 0, obtemos: 2 0 0, ,3 Então, o valor de n encontrado é 0,30, que é o log 2. Portanto, log 2 = 0,30. Sabendo que 3 9 = 9.683, achar n tal que 0 n =3. De imediato 0 0 < n <0. Isto significa que logaritmo, de três na base dez, está entre 0 e. Partindo dessa idéia, utilizaremos uma aproximação para o valor 3 9 = Com um erro de apenas de 3,4%, , ou seja, é aproximadamente Assim, obtém-se: x x0 4 Dividindo ambos os expoentes por 9, obtemos:, isto é: 3 2 0, x 0 0,444. Sabendo que 0 0,3 =2, tem-se: 3 (0 0,3 ) 0, x 0 0,444, ou seja, 3 0 0,033 x 0 0,444. Usando a propriedade da multiplicação de mesma base, tem-se: 3 0 0,033 x 0 0,444 é 3 0 0,477. Logo o resultado é: 3 0 0,477. Então, o valor de n encontrado é 0,477, que é o log 3. Portanto, aproximando o valor encontrado, tem-se log 3 = 0,48. Determinemos, então, o log 4, ou seja, encontrar um n tal que 0 n = 4. Sabendo que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48. 0 n = 4 = 2.2 = 0 0, ,30 = 0 0,30 + 0,30 => n = 0,30 + 0,30 => log 2 + log 2 => 2. log 2 =2.0,30 = 0,60. 9

10 Portanto, log 4 = log (2. 2) = log 2 + log 2 ou seja log 4 = log 2 2 = log 2 + log 2 = 2. log 2 Portanto, o log 4 = 0,60. Determinemos, agora, o log 5, ou seja, encontremos um n tal que 0 n = 5. Sabendo que o log 0 = e log 2 = 0,30. 0 n 0 0 = 5 = = , 0 = 0-0,30 n = 0,30 =0,69. 0 n = 0-0,30 n = 0,30 log 0 log 2, ou seja, log 5 = log 0 2 = log 0 log 2. Portanto, o log 5 = 0,6990 Pelo que vimos anteriormente, o processo de categorização dos logaritmos decimais ajudaram na caracterização das propriedades dos logaritmos, que são encontrados em diversos livros didáticos de matemática. CONSIDERAÇÕES FINAIS Ao longo deste artigo utilizamos informações da história da matemática para entender e explicar melhor o conceito de logaritmo, suas propriedades e aplicações. Partindo das dificuldades enfrentadas por professores e alunos no ensino e aprendizagem de logaritmos, esse estudo, ainda em faze de construção, pretende contribuir para a construção significativa dos logaritmos, tendo como meta auxiliar o professor de matemática a fim que realize um ensino de qualidade que satisfaça o aprendizado dos alunos. Nesse sentido, a abordagem histórica dos logaritmos por nós formulada até agora tem contribuído para a uma abordagem contextualizada desse tópico matemático no ensino médio, por meio da interpretação de tabelas, gráficos e formulações das funções logarítmicas e trigonométricas e seus desdobramentos na análise de fenômenos naturais, sociais, políticos e econômicos que podem ser abordados através da modelagem matemática. REFERÊNCIAS 0

11 BRASIL. Ministério da Educação e Cultura. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Matemática. Brasília: MEC/SEF, COLLETTE, Jean Paul. El Comienzo de Las Matemáticas Modernas. Espanha: Ed. Siglo XXI, 985. DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e aplicações. São Paulo: Editora Filiada, 999, v.. EVES, Howard. Introdução à história da matemática. São Paulo: Ed. da UNICAMP, 997. IEZZI, Gelson. Matemática ciência e aplicação. São Paulo: Ed. Atual, v.. MAGALHÃES, Gildásio Nogueira. Trabalho Monográfico sobre Logaritmos. Rio de janeiro: Biblioteca nacional, MENDES, Iran Abreu; SOARES, Evanildo Costa. A criação dos logaritmos nos fins do século XVI: as contribuições de Napier, Briggs e Burgi. In: MENDES, Iran Abreu (Org.). A matemática no século de Andrea Palladio. Natal: Edufrn, MENDES, Iran Abreu, FOSSA, John A. A história como agente de cognição na educação matemática. Porto Alegre: Sulina, MENDES, Iran Abreu. Matemática e investigação em sala de aula: tecendo redes cognitivas na aprendizagem. Natal: Flecha Tempo, 2006.