PLANO DE AULA. 1) IDENTIFICAÇÃO Secretaria de Estado da Educação de Santa Catarina - 22 Gerei
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- Terezinha Stachinski Ventura
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1 Ministério da Educação Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica Instituto Federal Catarinense Câmpus avançado Sombrio Curso de Licenciatura em Matemática PLANO DE AULA 1) IDENTIFICAÇÃO Secretaria de Estado da Educação de Santa Catarina - 22 Gerei Escola: Escola de Educação Básica Jacinto Machado Município: Jacinto Machado, SC. Disciplina: Matemática Série: 1ºano Nível: Ensino Médio Turma: 01 Professora: Fernanda Rodrigues Trevisol Tempo previsto: 30 min 2) TEMA: Logaritmos 2.1- Subtema: Funções logarítmicas. 3) JUSTIFICATIVA É cada vez mais comum nos depararmos com situações do cotidiano em que se utiliza o logaritmo para a resolução de problemas. Segundo Rossi (2010, p.19) no estudo da matemática no Ensino Médio, o conceito de funções exponenciais e logarítmicas está entre os mais importantes. Pela ótica dos PCN (1998) a Matemática está conectada às mais diversas áreas do conhecimento, dentre estes podemos citar o conceito de funções, que são ferramentas indispensáveis para descrever fatos e fenômenos do nosso mundo.
2 O estudo feito sobre a função logarítmica mostra que, além de simplificar cálculos através da resolução de operações, ela também tem conexão com muitos fenômenos naturais como, por exemplo, na física e na química. (Rossi, p26). Podemos destacar a sua utilidade na descrição, interpretação e construção de gráficos, a teoria dos logaritmos se aplica a muitos tipos de situações-problemas do nosso dia-dia, como por exemplo, a quantificação de níveis sonoros, a construção de uma escala logarítmica, a resolução de problemas envolvendo juros compostos, a utilização de uma escala de medição do grau de acidez ou alcalinidade de uma solução química, o uso da escala Richter na medição da intensidade de terremotos, etc. E é por meio destes que podemos dar sentido ao conteúdo a ser estudado, introduzindo os logaritmos a partir de problemas que representem situações diversas relacionadas com o cotidiano do aluno. 4) OBJETIVOS Definir função logarítmica a partir de sua inversa; Construir o gráfico de uma função logarítmica e classificá-lo como crescente ou decrescente; Determinar o domínio e o conjunto imagem de uma função logarítmica; 5) CONTEÚDOS ENVOLVIDOS Operações básicas: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação; Função inversa; Gráficos de funções; Função exponencial 6) ESTRATÉGIAS Recursos: Quadro, pincel, computador, data show, software matemático GeoGebra.
3 6.2 - Técnicas: Aula expositiva e dialogada com a utilização de software GeoGebra. 7) PROCEDIMENTOS: 7.1- Problematização: Para que servem os logaritmos? Ao se estudar fenômenos físicos, químicos ou biológicos, têm muitas vezes a presença dos logaritmos como modelo de certas situações veja uma delas: A altura média do tronco de certa espécie de arvore, que se destina á produção de madeira evolui, desde que a muda é plantada (, seguindo o seguinte modelo matemático:, com em metros e em anos. a) No momento em que a muda é plantada, qual é a sua altura? Resolução: No momento em que a muda é plantada, o tempo é zero, daí vem: Logo a altura da arvore no momento em que a muda é plantada é de 1,5metros. b) Transcorrido 26 anos, qual será a altura de uma dessas arvores? Resolução: Transcorridos 26 anos, temos:
4 Logo, a medida da árvore após 6 anos será de 4,5 m. 7.1 Historicização A expansão comercial e a necessidade de aprimorar técnicas de navegação exigiram métodos práticos e rápidos que facilitassem os cálculos. Entre os séculos XV e XVI, vários matemáticos desenvolveram estudos visando à simplificação dos cálculos e neste sentido, construíram tabelas relacionando números naturais e os expoentes de base 10 correspondentes a cada um. A esses expoentes deram o nome de logaritmos. Alguns dos principais inventores dos logaritmos foram John Napier ( ), Jobst Burgi ( ) e Henry Briggs ( ). Os logaritmos foram reconhecidos como uma invenção realmente extraordinária, e teve um impacto decisivo no desenvolvimento científico e tecnológico. Durante um bom tempo os logaritmos prestaram-se à finalidade para qual foram inventados que era facilitar os cálculos envolvendo números muito grandes, mas com o desenvolvimento tecnológico e o surgimento de calculadoras eletrônicas, computadores entre outros, essa finalidade perdeu a importância. No entanto, a função logarítmica e a sua inversa, a função exponencial, podem representar diversos fenômenos físicos, biológicos e econômicos e sendo assim manterão sua importância Operacionalização da aula 1 momento: Iniciar a aula com um breve histórico sobre o surgimento dos logaritmos e a apresentação da problematização.
5 2ºmomento: Dar continuidade nas explicações do conteúdo da aula passada sobre logaritmos, porém agora abordaremos o conceito de funções. Neste momento com auxílio do GeoGebra estudaremos as funções logarítmicas e a sua inversa. Função logarítmica e função exponencial Definição: Seja a função exponencial f:ir definida por y =, com a > 0 e a 1 e bijetora. A sua inversa chama-se função logarítmica e indica-se y =. Substituindo x por y e y por x, obtendo: Isolando-se a variável y temos: Comparando as inversas. Função exponencial. Função logarítmica. Domínio: D(f)=IR Imagem: Im (f)= a > 1 Domínio: D(f)= Imagem: Im(f)=IR. 0 < a < 1
6 Observamos então que os gráficos de e são simétricos em relação á bissetriz do 1º e 3º quadrante. Assim como as demais funções, as funções logarítmicas também podem ser classificadas como função crescente ou função decrescente. Características: Conjunto domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais estritamente positivos, ou seja,. Conjunto imagem da função logarítmica é o conjunto dos números reais, isto é,. No caso das representações gráficas da função logarítmica y =, temos dois casos a considerar seja para: Exemplos: 1) Consideramos a função. Podemos obter o gráfico de por meio da tabela de pontos. Ao plotar os pontos da tabela na caixa de entrada do software matemático GeoGebra e inserirmos na caixa de entrada do software a função obtém-se a seguinte representação gráfica. X Par ordenado 1 0 (1,0) 2 1 (2,1) 4 2 (4,2) 8 3 (8,3)
7 No gráfico da função acima podemos observar que à medida que aumenta, também cresce. Graficamente vemos que a curva da função é crescente, ou seja, é uma função crescente em todo seu domínio. Por exemplo: D(f)= 2) Consideramos agora a função: g(x) =. Para obter um esboço do gráfico de g, vamos construir a seguinte tabela e fazer a plotagem dos pontos obtidos na caixa de entrada do Software. Na sequencia inserimos na caixa de entrada do software GeoGebra a função g e ilustramos a seguinte representação gráfica. X Par Ordenado (1,0) 2-1 (2,-1) 4-2 (4,-2) 8-3 (8,-3) Neste exemplo, observamos que à medida que aumenta, diminui, ou seja, temos que a curva da função é decrescente. Por exemplo, é uma função decrescente em todo seu domínio. D(g)= Im(g)=IR
8 Uma importante característica a destacar referente a função logarítmica é que independentemente de a função ser crescente ou decrescente, o gráfico da mesma sempre cruza o eixo das abscissas no ponto (1,0). 7ºmomento: Na sequência a professora apresenta aos alunos novos exemplos de funções logarítmicas nas quais irão ser exploradas algumas das características. O software GeoGebra possibilita utilizar o comando de pontos deslizantes, facilitando a visualização de mudanças que a curva sofre à medida que a função vai sendo alterada. Partimos do seguinte exemplo: Para o software quando digitamos na caixa de entrada a função ele entende que a variável seja um comando deslizante e cria um intervalo limitado onde varia entre [ ]. Conforme vamos alterando (deslizando este comando) o valor da base vai modificando o gráfico. Podemos perceber que a medida que a base aumenta, o ângulo diminui, ou seja, se a base diminuir o ângulo aumentará. Da mesma forma percebe-se também seu comportamento quando o valor do logaritimando é alterado, se aumentar o valor ele se movimenta para esquerda e se diminuir ele se movimenta para a direita. Quando a base é negativa ou igual a um pode-se perceber que a função não existe, confirmando a condição de existência. E que, se usarmos funções semelhantes ao exemplo dado, ou seja, em a curva sempre vai cruzar o eixo das abscissas no ponto (1,0) e nunca cruzar o eixo das ordenadas.
9 1ºcaso: Se positivo de x. temos uma função logarítmica crescente, qualquer que seja o valor real 2ºcaso: Neste outro Se domínio da função. temos uma função logarítmica decrescente em todo o
10 8) AVALIAÇÃO 8.1- Critérios de Avaliação atividades. Participação e interesse dos alunos durante a apresentação do conteúdo e aplicação das 8.2- Instrumentos de avaliação Usar-se-á como instrumentos avaliativos uma planilha de acompanhamento da aprendizagem e atuação individual e coletiva do aluno. 9) CONSIDERAÇÕES FINAIS Acredita-se que o uso apenas de materiais pedagógicos e livros didáticos em que os exercícios estão prontos não é o suficiente para contribuir para a aprendizagem. É necessário que o professor escolha situações problemas que melhore a compreensão por parte dos alunos, proporcionando melhores condições para a construção do conhecimento, ao abordar o conteúdo de forma diferenciada da qual estão acostumados, desperta nos alunos a curiosidade e a possibilidade de questionamentos, reflexões que vem a contribuir com o processo ensinoaprendizagem dos mesmos. Ao mostrar para os alunos as várias áreas de aplicação espera-se que eles construam vários conhecimentos bem como compreender as suas aplicações e também as utilidades do estudo deste conteúdo, como por exemplo, a utilização das funções no calculo de crescimento de uma arvore como foi utilizado na problematização, além da aplicação da história dos logaritmos para dar início às explicações de uma maneira natural. Ao utilizaras tecnologias em sala de aula, espera-se que os alunos compreendam o conteúdo tratado com mais facilidade e a resolução das atividades seja acessível, e este tenha o entendimento do tratamento e das conversões dos registros necessários para a solução de cada problema proposto.
11 Referências BARRETO, Benigno Filho. SILVA, Claudio Xavier da. Matemática aula por aula, 1ªsérie do ensino médio. 1ed. São Paulo: Editora FTD BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Ensino Médio. (Parte III - Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias). Matemática. Brasília: MEC/SEF, Disponível em:< Acesso em: 10 abr BRASIL. Secretaria de Educação de ensino Médio. Parâmetros Curriculares Nacionais: introdução aos parâmetros curriculares nacionais. Brasília: MEC/SEF, DANTE, Luiz Roberto. Matemática, Volume único. 1ªed. São Paulo: Ática GIOVANNI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa. 1ª série do ensino médio. 2ed.SãoPaulo: Editora FTD S.A MESSIAS, André Luiz dos Santos. O uso de funções em física e no cotidiano. Lorena, SP PAIVA, Manuel. Matemática, Volume único. 1. ed. São Paulo: Editora Moderna , Manuel. Matemática, 2. ed. São Paulo; Editora Moderna ROSSI, Patrícia Rodrigues da Silva. Logaritmos no ensino médio: construindo uma aprendizagem significativa através de uma sequência didática. 2010, 219f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências Exatas)- Curso de Pós-Graduação em Ciências Exatas, Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, SILVA, Claudio Xavier da. Matemática: aula por aula. Volume 1. São Paulo: Editora FTD S.A
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