Logaritmos Profº Adriano

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2 Logaritmos Profº Adriano

3 Propriedades gerais dos logaritmos Os logaritmos considerados em uma base qualquer a, gozam de propriedades gerais: I) Em qualquer sistema de logaritmos, o logaritmo da própria base é igual a 1. log a a = 1 log 2 2 = 1 log = 1

4 Propriedades gerais dos logaritmos II) Em qualquer sistema de logaritmos, o logaritmo de 1 é zero. log a 1 = 0 log 5 1 = 0 log 13 1 = 0 log 0,6 1 = 0

5 Propriedades gerais dos logaritmos III) Se a > 1, os números maiores que 1 têm logaritmos positivos, já os números menores que 1 têm logaritmos negativos. log ,0959 log ,5789 log 3 0,5 0,6309 log 3 0,7 0,32466

6 Propriedades gerais dos logaritmos V) Os números negativos não têm logaritmos reais. log 5 ( 8) = Ǝ log 3 ( 11) = Ǝ log 0,8 ( 1) = Ǝ log 0,2 ( 4) = Ǝ

7 Propriedades gerais dos logaritmos IV) Quando a < 1, os números maiores que 1 têm logaritmos negativos, enquanto os números menores que 1 possuem logaritmos positivos. log 0,5 2 1 log 0,5 6 2,58496 log 0,5 0,3 1,73697 log 0,5 0,01 6,64386

8 Propriedades gerais dos logaritmos VI) Quando a base a é maior do que 1 (a > 1), os logaritmos variam no mesmo sentido dos números. Se N 1 > N 2, teremos: log a N 1 > log a N 2 Se a é menor do que 1 (a < 1), os logaritmos variam no sentido contrário. Quando N 1 < N 2, teremos: log a N 1 > log a N 2 log 7 5 > log 7 4 log 0,6 5 < log 0,6 4

9 Propriedades operatórias Os logaritmos possuem propriedades que permitem simplificar o cálculo de expressões numéricas. I) O logaritmo de um produto de n fatores é igual à soma dos logaritmos dos fatores. log a (y 1 y 2 y 3...y n ) = log a y 1 + log a y 2 + log a y log a y n log 2 (2 5 3) = log log log 2 3 log 0,4 (11 9 7) = log 0, log 0,4 9 + log 0,4 7

10 Propriedades operatórias II) O logaritmo de um quociente é igual a diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor. log a (y 2 /y 1 ) = log a y 2 log a y 1 Log 7 (13/5) = log 7 13 log 7 5 Log 0,1 (4/9) = log 0,1 4 log 0,1 9

11 Propriedades operatórias III) O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo da base da potência. log a y n = n log a y log = 4 log 8 3 log 0,9 7 3 = 3 log 0,9 7

12 Propriedades operatórias IV) O logaritmo de uma raiz é igual ao quociente do logaritmo do radicando pelo índice do radical. log a p y = log ay p

13 Característica e mantissa Observando um sistema de logaritmos de base qualquer a, vemos que só as potências inteiras da base têm logaritmos inteiros: log a a n = n log = 5 log 7 7 0,3 = 0,3 log 0,6 0,6 4 = 4

14 Logaritmos decimais Quando a base do sistema é a = 10, temos y = 10 x que define os logaritmos decimais ou logaritmos vulgares. Estes têm propriedades notáveis que os tornam de emprego obrigatório no cálculo numérico.

15 Logaritmos decimais I) O logaritmo de qualquer potência de 10 é o seu próprio expoente. log 10 3 = 3 log 10 7 = 7 log 10-4 = 4

16 Logaritmos decimais II) A característica do logaritmo de um número N > 1, é o inteiro que representa o número de algarismos da parte inteira do número dado, diminuído de uma unidade. log 20,8 1,318 2 algarismos 1 = 1 log 1024,96 3, algarismos 1 = 3

17 Logaritmos decimais III) A característica do logaritmo decimal de um número positivo menor que 1 é negativa e coincide com o número de zeros que precedem seu primeiro algarismo significativo. log 0,8 0,09691 log 0,03 1,52288 log 0,005 2,30103

18 Logaritmos decimais IV) Quando dois números diferem pela multiplicação por uma potência de expoente inteiro de 10, seus logaritmos têm mantissas iguais. log 3 0,477 log 30 = log ,477 log 300 = log ,477

19 Mudança de base Existe uma propriedade dos logaritmos, denominada mudança de base, que permite o cálculo do logaritmo em qualquer base a partir dos logaritmos decimais. A mudança de base é dada pela fórmula: log b a = log ca log c b

20 Atividades resolvidas 1) Calcule pela definição de logaritmo. a) log b) log 8 16 c) log 25 0,008 a) Fazendo log = x Por definição, teremos: 2 x = x = 2 7 Logo: x = 7

21 b) Fazendo, também, log 8 16 = x, teremos: 8 x = 16 (2 3 ) x = x = 2 4 Assim: 3x = 4 Portanto: x = 4. 3

22 c) Mais uma vez, fazendo log 25 0,008 = x, teremos: 25 x = 0, x = x = (5 2 ) x = x = 5 3 Logo: 2x = 3 x = 3. 2

23 2) As propriedades operatórias são úteis, pois podem facilitar alguns cálculos. Sabendo que log 2 = 0,301, calcule: a) log 200 b) log 25 8 a) log 200 = log (2 100) = log 2 + log 100 = log 2 + log 10 2 = 0, = 2,301 b) log 25 = log 100 = log 100 log 32 = log 10 2 log = log log 2 = 2 5 0,301 = 2 1,505 = 0,495