Agrupamento de Escolas de Almeirim. Matemática 7.º Ano Propriedades das Operações Aritméticas em Q

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Raíssa Lisboa Ventura
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1 Agrupamento de Escolas de Almeirim Matemática 7.º Ano Propriedades das Operações Aritméticas em Q

2 Potências A definição usual de potência, remetendo para um expoente natural, reporta-se a uma multiplicação. Dado a inteiro e n natural, a n representa o produto a a a nfactores Assim, por exemplo, 2 representa simplificadamenteoproduto

3 Todas as potências têm uma base e um expoente A base da potência é o factor que se repete. O expoente indica o número de vezes que o factor se repete. É o expoente da potência Éabasedapotência

4 Exemplos Na potência é a base da potência 5é o expoente da potência Na potência (-3) é a base da potência 2 é o expoente da potência

5 A potência a b lê-se aelevado a b Assim: 3 2 lê-se trêselevado a dois (-8) 9 lê-se menos oito elevado a nove lê-se cinco sextos elevado a dezoito.

6 Mesmo sem saber o valor de uma potência é possível saber o seu sinal... Se a base for positiva, a potência é sempre positiva. Se a base for negativa e se o expoente for par a potência é positiva, caso contrário é negativa

7 Resumindo... Sinal da Base O valor da potência é positivo + - Expoente par Expoente ímpar O valor da potência é positivo O valor da potência é negativo

8 Exemplos A potência expoente é par. ( 5) representa um número positivo porque a base é negativa mas o De facto, tem-se que: ( 5) =( 5) ( 5) ( 5) ( 5) [pela definição de potência] = [pela propriedade associativa =625 da multiplicação] 625 é um número positivo.

9 A potência( 3) representa um número negativo porque a base é negativa mas o expoente é ímpar. De facto, tem-se que: ( 3) =( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) [pela definição de potência] = 9 9 ( 3) [pela propriedade associativa = 243 da multiplicação] -243 é um número negativo.

10 A potência 3 representa um número positivo porque a base é positiva. De facto, tem-se que: 3 = [pela definição de potência] =9 9 3 [pela propriedade associativa =243 da multiplicação] 243 é um número positivo.

11 Potências cujas Bases são Fracções Setiverumapotência,deexpoenten,cujabase é uma fracção, obtenho uma fracção cujo numerador é igual a a n e cujo denominador é igualab n Exemplos

12 Operações com Potências À semelhança do que acontecia para as potências de base e expoente naturais... As potências de base racional e expoente inteiro também gozam de propriedades operatórias para a multiplicação e para a divisão. No caso da soma e da subtracção de potências, a solução passa por determinar o valor das potências.

13 Multiplicação de Potências com a mesma Base O produto de duas potências de bases iguais é igual a uma potência com a mesma base e expoente igual à soma dos outros expoentes. Na multiplicação de potências com a mesma base, mantêm-se as bases e somam-se os expoentes.

14 Exemplos [Na multiplicação de potências com a mesma base, mantêm-se as bases e somam-se os expoentes.] 2 2 [Se uma potência tem base negativa e expoente par,oseuvalorépositivo] [Na multiplicação de potências com a mesma base, mantêm-se as bases e somam-se os expoentes.] 2 5

15 Multiplicação de Potências com o mesmo Expoente O produto de duas potências de expoentes iguais é igual a uma potência com o mesmo expoente e base igual ao produto das outras bases. Na multiplicação de potências com o mesmo expoente, mantêm-se os expoentes e multiplicam-se as bases.

16 Exemplos Na multiplicação de potências com o mesmo expoente, mantêm-se os expoentes e multiplicam-se as bases.

17 Divisão de Potências com a mesma Base O quociente de duas potências de bases iguais é igual a uma potência com a mesma base e expoente igual à diferença dos outros expoentes. Na divisão de potências com a mesma base, mantêm-se as bases e subtraem-se os expoentes.

18 Exemplos [Na divisão de potências com a mesma base, subtraem-se os expoentes] [Na multiplicação de potências com o mesmo expoente, multiplicam-se as bases] [Na divisão de potências com a mesma base, subtraem-se os expoentes] 12 12

19 Divisão de Potências com o mesmo Expoente O quociente de duas potências de expoentes iguais é igual a uma potência com o mesmo expoente e base igual ao quociente das outras bases. Na divisão de potências com o mesmo expoente, mantêm-se os expoentes e dividem-se as bases.

20 Exemplos 10 5 = 10 5 =2 [Na divisão de potências com o mesmo expoente, mantêm-se os expoentes e dividem-se as bases.] = = [Na divisão de potências com o mesmo expoente, mantêm-se os expoentes e dividem-se as bases.] [O quociente de dois números racionais é igual ao produto do dividendo pelo inverso do divisor] = = = = = 90 11

21 Potência de Potência Uma potência de potência é obtida quando uma potência é elevada a um segundo expoente. O seu valor é igual a uma potência com a mesma base e expoente igual ao produto dos outros expoentes.

22 Exemplos Na simplificação de uma potência de potência, multiplicam-se os expoentes [numa potência de potência, multiplicam-se os expoentes] [na multiplicação de potências com o mesmo expoente, multiplicam-se as bases]

23 O que acontece quando o expoente de uma potência é nulo? c Desde que a base não seja zero, o seuvaloréiguala1. Porquê?

24 Considerando um número a diferente de 0... a 0 = a 1-1 [1-1=0] a 0 = a 1-1 = a 1 a 1 [O quociente de potências com a mesma base é a potência com a mesma base e expoente igual à diferença entre o expoente do dividendo e do divisor] a 0 = a 1-1 = a 1 a 1 =1 Logo, dado a 0, tem-se que =1

25 Dadonúmeronaturalqualquer,ovalorde0 ézero,ouseja,0 =0 Isto porque se atendermos à definição de potência, veremos que 0 =0 0 0 nfactores Mas como 0 é o elemento absorvente da multiplicação 0 =0 0 0=0 Contudo,nãoépossíveldeterminarovalorde. Trata-sedeumaindeterminação.

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