MATEMÁTICA - 7.º Ano. Ana Soares ) Catarina Coimbra ) NÚMEROS RACIONAIS

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1 Salesianos de Mogofores /2017 MATEMÁTICA - 7.º Ano Ana Soares ) Catarina Coimbra ) Rota de aprendizage m por Projetos NÚMEROS RACIONAIS Objetivo Geral: Representar e comparar números positivos e negativos Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números racionais relativos Efetuar operações com potências Estender a potenciação e conhecer as propriedades das operações Operar com raízes quadradas e cúbicas racionais Total: 4,5 quinzenas do 1.º período. Como multiplicar e dividir números racionais relativos? Números racionais - Simétrico da soma e da diferença de racionais - Extensão da multiplicação a todos os racionais - Extensão da divisão ao caso em que o dividendo é um racional qualquer e o divisor um racional não nulo Expressões algébricas - Extensão a : das propriedades associativa e comutativa da adição e da multiplicação da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração das regras de cálculo do inverso de produtos e quocientes e do produto e do quociente de quocientes da definição e propriedades das potências de Identificar números simétricos, sinal de um número, grandezas cuja medida se exprime em números positivos e negativos, semirreta de sentidos positivo e negativo, um número maior que outro utilizando a reta numérica, o valor absoluto, conjuntos de números. Reconhecer pontos equidistantes à origem na reta numérica; 0 como maior do que qualquer número negativo e menor do que qualquer número positivo; números maiores que outros comparando os valores absolutos e números simétricos comparando o valor absoluto e os seus sinais. Reconhecer, dado um número racional positivo, um número racional negativo. Reconhecer, dados dois números positivos, que é maior o de maior valor absoluto e, dados dois números negativos, que é maior o de menor valor absoluto. Identificar segmento orientado, a soma de dois números na reta numérica. Designar segmentos orientados positivamente e negativamente. Reconhecer a soma de qualquer número com 0 e a soma de números simétricos. Reconhecer, dados dois números racionais com o mesmo sinal, que a respetiva soma é igual ao número racional com o mesmo sinal e de valor absoluto igual à soma dos valores absolutos das parcelas. Reconhecer, dados dois números racionais de sinal contrário não

2 expoente natural; potência do simétrico de um número - Simplificação e cálculo do valor de expressões numéricas envolvendo as quatro operações aritméticas, a potenciação e a utilização de parênteses simétricos, que a respetiva soma é igual ao número racional de sinal igual ao da parcela com maior valor absoluto e de valor absoluto igual à diferença entre o maior e o menor dos valores absolutos das parcelas. Identificar o 0 como o elemento neutro da adição. Reconhecer as propriedades associativa e comutativa da adição. Estender a identificação da diferença entre dois números. Reconhecer, dados dois números racionais a diferença entre dois números como a soma pelo simétrico. Reconhecer, dado um número q que 0 q = q (simétrico do número q) e ( q) = q. Reconhecer q q se q 0 e q q se q < 0; a medida da distância entre dois pontos como o módulo da diferença das suas abcissas. Designar, de forma genérica, a soma e a diferença de dois números racionais por soma algébrica. Provar: - o simétrico da soma de dois números racionais é igual à soma dos simétricos; - o simétrico da diferença é igual à soma do simétrico do aditivo com o subtrativo. Aquisição de factos e de procedimentos: simplificar e calcular o valor de expressões numéricas envolvendo a adição algébrica. Reconhecer, dadas duas frações, que multiplicando ambos os termos de cada uma pelo denominador da outra obtêm-se duas frações com o mesmo denominador que lhes são respetivamente equivalentes. Identificar o conjunto dos números racionais como o conjunto formado pelo 0, os números racionais positivos e os respetivos simétricos e representá-lo por. Reconhecer, dados dois números positivos, que é maior o de maior valor absoluto e, dados dois números negativos, que é maior o de menor valor absoluto. Estender a todos os racionais as propriedades associativa e comutativa da adição; a identificação do 0 como o elemento da adição. Aquisição de factos e de procedimentos: simplificar e calcular o valor de expressões numéricas envolvendo a adição algébrica. Estender a todos os racionais a identificação: - do produto de um número natural por um número racional; - do quociente entre um número racional e um número natural; - do produto de um número racional por um número racional representado por uma fração; - do produto de 1 por um número racional como o respetivo simétrico; - do quociente entre um número racional e um número racional não nulo. Saber que: - o produto de dois quaisquer números racionais é o número racional cujo valor absoluto é igual ao produto dos valores absolutos

3 dos fatores, sendo o sinal positivo se os fatores tiverem o mesmo sinal e negativo no caso contrário; - quociente entre um número racional e um número racional não nulo é o número racional cujo valor absoluto é igual ao quociente dos valores absolutos, sendo o sinal positivo se estes números tiverem o mesmo sinal e negativo no caso contrário. Aquisição de factos e de procedimentos: simplificar e calcular o valor de expressões numéricas envolvendo as quatro operações aritméticas. Estender a todos os racionais: - a propriedade comutativa da multiplicação e as propriedades distributivas da multiplicação relativamente à adição e à subtração; - a identificação do 1 como o elemento neutro da multiplicação de números; do 0 como elemento absorvente da multiplicação e de dois números como inversos um do outro quando o respetivo produto for igual a 1; - o reconhecimento de que o inverso de um dado número não nulo q é 1 ; que o inverso do produto é igual ao produto dos inversos; q Como estender a potenciação e conhecer propriedades das operações? que o inverso do quociente é igual ao quociente dos inversos; e que: q s q s, ( r 0, t 0) r t r t q r q t, ( r 0, s 0, t 0) s r s t Aquisição de factos e de procedimentos: simplificar e calcular o valor de expressões numéricas envolvendo as quatro operações aritméticas. Estender a todos os racionais a definição e as propriedades previamente estudadas das potências de expoente natural de um número. Reconhecer dado um número racional não nulo q e um número natural n: ( q) n q n se n é ímpar ou ( q) n q n se n é par; a potência é positiva quando n é par e tem o sinal de q quando n é ímpar. Aquisição de factos e de procedimentos: simplificar e calcular o valor de expressões numéricas envolvendo as quatro operações aritméticas, a potenciação e a utilização de parênteses. Saber, dados dois números racionais q e r: - com q r - com q r, que, que q q r (monotonia do quadrado); 2 2 r (monotonia do cubo). 3 3 Designar por quadrados perfeitos (respetivamente cubos perfeitos) os quadrados (respetivamente cubos) dos números inteiros não negativos. Reconhecer, dado um quadrado perfeito não nulo ou, mais geralmente, um número racional igual ao quociente de dois quadrados perfeitos não nulos, que existem exatamente dois números racionais, simétricos um do outro, cujo quadrado é igual a q. n q

4 Como operar com raízes quadradas e raízes cúbicas? Raízes quadradas e cúbicas - Monotonia do quadrado e do cubo - Quadrado perfeito e cubo perfeito - Raiz quadrada de quadrado perfeito e raiz cúbica de cubo perfeito - Produto e quociente de raízes quadradas e cúbicas. - Representações decimais de raízes quadradas e cúbicas. Reconhecer, dado um cubo perfeito ou, mais geralmente, um número racional igual ao quociente de dois cubos perfeitos ou ao respetivo simétrico, que existe um único número racional cujo cubo é igual a q. Reconhecer o 0 como o único número racional cujo quadrado é igual a 0 Provar, utilizando a definição de raiz quadrada e de raiz cúbica, que: - para quaisquer q e r respetivamente iguais, a quocientes de quadrados perfeitos, também o são o produto e o quociente desses números; - para quaisquer q e r respetivamente iguais, a quocientes ou a simétricos de cubos perfeitos não nulos, também o são o produto e o quociente desses números. Provar as regras operatórias que envolvem a raiz quadrada e a raiz cúbica. Determinar, na forma fracionária ou como dízimas, raízes quadradas e raízes cúbicas e as representações decimais de raízes quadradas e cúbicas. GENERALIDADES SOBRE FUNÇÕES Objetivo Geral: Construir gráficos cartesianos Definir funções Total: 1 quinzena do 1.º período. Como representar pontos num referencial cartesiano? Gráficos cartesianos - Referenciais cartesianos, ortogonais e monométricos - Abcissas, ordenadas e coordenadas - Gráficos cartesianos O que é uma função? Função - Função ou aplicação f de A em B; domínio e contradomínio; igualdade de funções - Pares ordenados; gráfico de uma função; variável independente e variável dependente - Funções numéricas Identificar um referencial cartesiano; a abcissa e a ordenada de um ponto do plano, fixado um referencial cartesiano. Construir um referencial cartesiano referente a dois conjuntos de números. Representar pares ordenados. Saber quando é que dois pares ordenados são iguais. Saber: - definir uma função (ou aplicação) de A em B; - quando é que duas funções são iguais. Designar: - uma função f de A em B por f: A B ou apenas por f; - o contradomínio de f por o conjunto das imagens dos elementos de A. Identificar o gráfico de uma função. Designar uma variável por independente e outra por dependente. Designar uma função f por função numérica e uma função numérica de variável numérica.

5 - Gráficos cartesianos de funções numéricas de variável numérica; equação de um gráfico cartesiano Identificar fixado um referencial cartesiano num plano, o gráfico cartesiano de uma função. Identificar e representar funções com domínios e conjuntos de chegada finitos em diagramas de setas, tabelas e gráficos cartesianos e em contextos variados. ESTUDO DE FUNÇÕES Objetivo Geral: Operar com funções Definir funções de proporcionalidade direta Definir sequências e sucessões Resolver problemas Total: 1 quinzena do 1.º período e 1 quinzena do 2.º período. Projeto 1 Sequência de Fibonacci e a Maravilha da Criação Uma das sequências mais famosas é a sequência de Fibonacci. Leonardo de Pisa (Fibonacci) analisou no seu livro Liber Abaci (1202) o seguinte problema: Um homem pôs um par de coelhos acabados de nascer num ambiente fechado. Quantos pares de coelhos podem ser gerados por esse par num ano, se de um modo natural em cada mês ocorrer a produção de um par e cada par começar a gerar coelhos quando completa dois meses de vida? 1ª fase: Continua o preenchimento da tabela para dar resposta ao problema enunciado.

6 2ª fase: Explica como podes obter cada termo da sequência a partir dos anteriores. 3ª fase: Procura, em livros ou na internet, outras situações da Natureza ou da Arte onde esta sequência ocorra ou seja aplicada Descreve-as. 4ª fase: Apresentação à turma do trabalho Como operar com funções? Operações com funções numéricas - Adição, subtração e multiplicação de funções numéricas com o mesmo domínio - Exponenciação de expoente natural de funções numéricas - Operações com funções numéricas de domínio finito representadas de diversas formas Como definir uma função? - Funções constantes, lineares e afins: formas canónicas, coeficientes e termos independentes; propriedades algébricas e redução à forma canónica - Funções de proporcionalidade direta - Problemas envolvendo funções de proporcionalidade direta Identificar a soma, a diferença, o produto e a potência de funções numéricas com um dado domínio e conjunto de chegada como as funções de mesmo domínio e conjunto de chegada tal que a imagem da cada elemento do domínio é, respetivamente, a soma, a diferença, o produto e a potências das imagens. Efetuar operações com funções de domínio finito definidas por tabelas, diagramas de setas ou gráficos cartesianos. Designar: - a função constante, dado um número racional; - uma função linear como uma função definida de em para a qual existe um número racional a tal que f (x) = ax sendo esta expressão a forma canónica da função linear e a o coeficiente de f. Identificar função afim como a soma de uma função linear com uma constante. Designar a expressão ax + b como a forma canónica da função afim, sendo a o coeficiente da função linear e b o valor da constante ; a por coeficiente de x e b por termo independente. Provar: que o produto por constante, a soma e a diferença de funções lineares são funções lineares de coeficientes respetivamente iguais ao produto pela constante, à soma e à diferença dos coeficientes das funções dadas. Demonstrar que o produto por uma constante, a soma e a diferença de funções afins são funções afins de coeficientes da variável e termos independentes respetivamente iguais ao produto pela constante, à soma e à diferença dos coeficientes e dos termos independentes das funções dadas. Identificar funções lineares e afins reduzindo as expressões dadas para essas funções à forma canónica. Identificar o gráfico de funções afins Reconhecer que, em, os gráficos das funções afins estão contidos em retas não verticais. Reconhecer dada, uma grandeza diretamente proporcional a outra: - uma função de proporcionalidade direta. - a constante de proporcionalidade direta que é igual ao coeficiente da respetiva função de proporcionalidade direta. - uma função numérica positiva f definida para valores positivos que é de proporcionalidade direta quando e apenas quando o quociente entre f(x) e x é constante, para qualquer x do domínio. Identificar, dado um número natural N, uma sequência de N

7 Como definir sequências e sucessões? Sequências e sucessões - Sequências e sucessões como funções - Gráficos cartesianos de sequências numéricas - Problemas envolvendo sequências e sucessões elementos como uma função de domínio {1, 2, 3,..., N}. Representar, num plano munido de um referencial cartesiano, gráficos de sequências. Identificar uma sucessão como uma função de numérica de variável natural. Resolver problemas. EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Objetivo Geral: Resolver equações do 1.º grau Resolver problemas Total: 2 quinzenas do 2.º período. O que é uma equação? Equações algébricas - Equação definida por um par de funções; primeiro e segundo membro, soluções e conjuntosolução - Equações possíveis e impossíveis - Equações equivalentes - Equações numéricas; princípios de equivalência Como resolver uma equação do 1º grau? Equações algébricas - Equação linear com uma incógnita; simplificação e caracterização do conjunto-solução; equações lineares impossíveis, possíveis, determinadas e indeterminadas; equação algébrica de 1.º grau - Soluções exatas e aproximadas de equações algébricas de 1.º grau - Problemas envolvendo equações lineares Identificar, dadas duas funções f e g, uma equação com uma incógnita x como uma expressão da forma f(x) = g(x). Designar f(x) por primeiro membro da equação, g(x) por segundo membro da equação, qualquer a tal que f(a) = g(a) por solução da equação e o conjunto das soluções por conjunto-solução. Designar uma equação por impossível quando o conjunto-solução é vazio e por possível no caso contrário. Identificar duas equações como equivalentes quando tiverem o mesmo conjunto-solução Identificar uma equação f(x) = g(x) como numérica quando f e g são funções numéricas. Reconhecer que se obtém uma equação equivalente adicionando ou subtraindo um mesmo número a a ambos os membros, ou multiplicando-os ou dividindo-os por um mesmo número não nulo. Designar estas propriedades por princípios de equivalência. Designar por equação linear com uma incógnita ou simplesmente equação linear qualquer equação f(x) = g(x), tal que f e g são funções afins. Aplicar os princípios de equivalência para mostrar que uma dada equação linear é equivalente a uma equação em que o primeiro membro é dado por uma função linear e o segundo membro é constante. Provar, dados dois números racionais a e b, que uma equação é impossível ( e ), possível indeterminada ( ) e possível determinada ( ). Designar uma equação linear determinada por equação algébrica de 1.º grau. Resolver equações lineares distinguindo as que são impossíveis das que são possíveis e entre estas as que são determinadas ou

8 indeterminadas. Apresentar a solução de uma equação algébrica de 1.º grau na forma de fração irredutível ou numeral misto ou na forma de dízima com uma aproximação solicitada. Resolver equações lineares envolvendo parênteses, coeficientes e termos independentes racionais. Resolver problemas. FIGURAS GEOMÉTRICAS Objetivo Geral: Conhecer o alfabeto grego Classificar e construir quadriláteros Identificar e construir figuras congruentes e semelhantes Construir e reconhecer propriedades de homotetias Medir comprimentos de segmentos de reta com diferentes unidades Calcular medidas de áreas de quadriláteros Relacionar perímetros e áreas de figuras semelhantes Resolver problemas Total: 3 quinzenas do 2.º período e 2 quinzenas do 3º período. Linhas poligonais e polígonos - Linhas poligonais; vértices, lados, extremidades, linhas poligonais fechadas e simples; parte interna e externa de linhas poligonais fechadas simples - Polígonos simples; vértices, lados, interior, exterior, fronteira, vértices e lados consecutivos - Ângulos internos de polígonos - Polígonos convexos e côncavos; caracterização dos polígonos convexos através dos ângulos internos - Ângulos externos de polígonos convexos - Soma dos ângulos internos de um polígono - Soma de ângulos externos de um polígono convexo - Diagonais de um polígono Como classificas um quadrilátero? Quadriláteros -Diagonais de um quadrilátero - Paralelogramos: caracterização através das diagonais e caracterização dos retângulos e Reconhecer os critérios de semelhança de triângulos (LLL, LAL e AA) Reconhecer, utilizando o Teorema de Tales, que dois triângulos semelhantes têm os ângulos correspondentes iguais. Saber que dois polígonos são semelhantes quando (e apenas quando) têm o mesmo número de lados e existe uma correspondência entre eles tal que os comprimentos dos lados do segundo são diretamente proporcionais aos comprimentos dos lados do primeiro e os ângulos internos formados por lados correspondentes são iguais e reconhecer esta propriedade em casos concretos por triangulações. Dividir, dado um número natural n, um segmento de reta em segmentos de igual comprimento utilizando régua e compasso, com ou sem esquadro. Resolver problemas envolvendo semelhanças de triângulos c Provar relações entre os perímetros de dois polígonos semelhantes ou dois círculos semelhantes. Provar que dois quadrados são semelhantes e provar a relação entre as suas áreas. Resolver problemas envolvendo o cálculo de perímetros e áreas de figuras semelhantes. Saber a relação entre as áreas de duas figuras planas semelhantes.

9 losangos através das diagonais - Papagaios: propriedade das diagonais; o losango como papagaio; caracterização dos paralelogramos - Trapézios: bases; trapézios isósceles, escalenos e retângulo Como construir figuras congruentes e semelhantes? Paralelismo, congruência e semelhança - Isometrias e semelhanças - Critério de semelhança de polígonos envolvendo os respetivos lados e diagonais - Teorema de Tales - Critérios de semelhança de triângulos (LLL, LAL e AA); igualdade dos ângulos correspondentes em triângulos semelhantes - Semelhança dos círculos - Critério de semelhança de polígonos envolvendo os respetivos lados e ângulos internos -Divisão de um segmento num número arbitrário de partes iguais utilizando régua e compasso, com ou sem esquadro - Homotetia direta e inversa - Construção de figuras homotéticas - Problemas envolvendo semelhanças de triângulos e homotetias Como calcular medidas de área de quadriláteros? Reconhecer que, fixada uma unidade de comprimento, um segmento de reta [AB] de medida m e um segmento de reta [CD] de medida m, que a medida de [CD] tomando o comprimento de [AB] m ' para unidade de medida é igual a m. Reconhecer que o quociente entre as medidas de comprimento de dois segmentos de reta se mantém quando se altera a unidade de medida considerada. Designar dois segmentos de reta por comensuráveis quando existe uma unidade de comprimento tal que a medida de ambos é expressa por números inteiros. Reconhecer que, num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide-o em dois triângulos semelhantes entre si e semelhantes ao triângulo dado. Reconhecer que se existir uma unidade de comprimento tal que a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo isósceles têm medidas naturais respetivamente iguais a a e a b, então a 2 = 2b 2. Mostrar, recorrendo ao teorema fundamental da aritmética, que não existem números naturais tais que a 2 = 2b 2. Justificar que a hipotenusa e um cateto de um triângulo retângulo isósceles não são comensuráveis e designar segmentos de reta com esta propriedade por incomensuráveis. Reconhecer que dois segmentos de reta são comensuráveis quando (e apenas quando), tomando um deles para unidade de comprimento, existe um número racional positivo r, tal que a medida do outro é igual a r. Medida Mudanças de unidade de comprimento e incomensurabilidade - Conversões de medidas de comprimento por mudança de unidade - Invariância do quociente de medidas - Segmentos de reta comensuráveis e incomensuráveis - Incomensurabilidade da hipotenusa com os catetos de um triângulo retângulo isósceles Áreas de quadriláteros - Área do papagaio e do losango - Área do trapézio Como relacionar perímetros e áreas de

10 figuras semelhantes? Perímetros e áreas de figuras semelhantes - Razão entre perímetros de figuras semelhantes - Razão entre áreas de figuras semelhantes - Problemas envolvendo perímetros e áreas de figuras semelhantes MEDIDAS DE LOCALIZAÇÃO Objetivo Geral: Representar, tratar e analisar conjuntos de dados Resolver problemas Total: 2 quinzenas do 3.º período. Como representar, tratar e analisar conjuntos de dados? Medidas de localização - Sequência ordenada dos dados - Mediana de um conjunto de dados; definição e propriedades - Problemas envolvendo tabelas, gráficos e medidas de localização Identificar a média de um conjunto de dados numéricos como o quociente entre a soma dos respetivos valores e o número de dados e representá-la por x. Resolver problemas envolvendo: a média e a moda de um conjunto de dados, interpretando o respetivo significado no contexto de cada situação; a análise de dados representados em tabelas de frequência, diagramas de caule-e-folhas, gráficos de barras e de linhas. Construir, considerado um conjunto de dados numéricos, uma sequência crescente em sentido lato repetindo cada valor um número de vezes igual à respetiva frequência absoluta, designandoa por sequência ordenada dos dados ou simplesmente por dados ordenados. Identificar, dado um conjunto de n dados numéricos, a mediana como o valor central no caso de n ser ímpar, ou como a média aritmética dos dois valores centrais no caso de n ser par. Representar a mediana por M ou x. e Designar por medidas de localização a média, a moda e a mediana de um conjunto de dados. Resolver problemas envolvendo a análise de dados representados em tabelas de frequência, diagramas de caule-e-folhas, gráficos de barras e gráficos circulares.

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