Matemática Licenciatura - Semestre Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa. Diferenciabilidade.
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- Artur Adelino Ferreira de Paiva
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1 1 Matemática Licenciatura - Semestre Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa Diferenciabilidade Funções Trigonométricas Inicialmente, observe pela gura que para ângulos 0 < < 2 é válido sen() tan(): Mais geralmente, temos que, jsen()j < jj para todo < <, assim, 2 2 Como ( ) = () = 0, temos que sen() : sen() = 0:
2 2 Por outro lado, sen 2 () + cos 2 () = 1 ) cos() = p 1 sen 2 (); Observe que se zermos! 0 então! 0 e +! 0; logo, 2 2 ; 2. Assim, cos() = p 1 sen 2 (); portanto, cos() = q 1 (sen 2 ()) = 1; De posse destes resultados podemos provar as seguinte a rmações. A rmação 1 - Se f() = sen() com 6= 0 2 R, então f() = 1. De fato, pelo que foi visto anteriormente temos sen() tan() ) 1 Como 1 = cos() = 1, temos que sen() 1 cos() ) 1 sen() sen() = 1: cos() A rmação 2 - Se f() = 1 De fato, pois cos() com 6= 0 2 R, então f() = 0. 1 cos() = 1 cos() (1 + cos()) (1 + cos()) = 1 cos2 () (1 + cos()) = sen 2 () (1 + cos()) : Assim, Portanto, f() = sen 2 () (1 + cos()) = sen() 1 cos() = 0: sen() (1 + cos()) = 0: Propriedades (sen ) 0 = cos ; 2. (cos ) 0 = sen ; 3. (tan ) 0 = sec 2 ; 4. (sec ) 0 = sec tan ; 5. (cot ) 0 = csc 2 ; 6. (csc ) 0 = csc cot : Prova. Vamos provar apenas 1, os demais são análogos com algumas adaptações.
3 3 (1) Fazendo f() = sen temos f 0 () = sen( + ) sen() =!0 = sen (cos 1) + cos sen!0 = (sen ) 0 + cos 1 = cos sen cos + cos sen sen!0 sen =!0 (cos 1) + cos sen Logarítmo Neperiano Dados dois números reais positivos a, b, com a 6= 1, sabemos que o logarítmo de b na base a, denotado por log b a é de nido como sendo um número real tal que a = b, ou seja, log b a = () a = b: O logarítmo natural (ou logarítmo neperiano) é o logarítmo na base e, onde e é um número pertencente ao intervalo (2; 7; 2; 8), ou seja, 2; 7 < e < 2; 8: e é um número irracional camado Número de Euler (em omenagem ao matemático suíço Leonard Euler, que primeiro sugeriu sua aplicação aos logaritmos). A aproimação de e com 15 casas decimais é dada por 2; :::: Observações É possível mostrar que e =!0 (1 + ) 1 : 2. Denotaremos o logarítmo nepereiano (logarítmo na base e) por ln, ou seja, log e = ln : Teorema 0.3 Sejam as funções f() = e e g() = ln. Então: 1. D e = e 2. D ln = 1 Prova. A demonstração deste teorema pode ser encontrada no livro Cálculo Vol. 1-6 a Ed. Stewart, James / Tomson Pioneira. Regra da Cadeia As técnicas de derivação obtidas nas Seções anteriores não podem ser aplicadas diretamente a epressões como sen(2) e 3p
4 4 Note que (sen(2)) 0 6= cos(2); pois sen(2) = 2 sen cos e pela Regra do Produto, obtemos (sen(2)) 0 = 2[cos cos + sen ( sen)] = 2[cos 2 sin 2 ] = 2 cos(2): Assim, se f() = sen e g() = 2, então a forma de determinar a derivada de (f g)() = sen(2) foi primeiro fazer a composição e manipulações para depois calcular a derivada. Para obter a derivada de sen(3) as manipulações já são mais trabalosas. Portanto, a cave para determinar a derivada de f g sem fazer a composição e manipulações é dada pelo seguinte teorema. Teorema 0.4 (Regra da Cadeia) Sejam X; Y R intervalos abertos, f : X! R e g : Y! R duas funções diferenciáveis em X e Y, respectivamente, com Im f Y. Então g f é diferenciável em X e (g f) 0 () = g 0 (f())f 0 (): Note que se y = g(u) e u = f(), então a fórmula acima torna-se d = d : Prova. A demonstração deste teorema pode ser encontrada no livro Cálculo Vol. 1-6 a Ed. Stewart, James / Tomson Pioneira. Eemplo 0.5 Calcular a derivada de y = 3p : Solução. Note que, y = u 1 3, onde u = Logo, pela Regra da Cadeia, obtemos d = d = 1 3 u (2 + 2) = u 2 3 Eemplo 0.6 Calcular a derivada de y = 2 4 : Solução. Como j 2 4j = q ( 2 4) 2 temos que q y = ( 2 4) 2 : Note que, y = u 1 2, onde u = ( 2 da Cadeia, obtemos d = d = 1 2 u 1 2 4( 2 = 2(2 4) 2 4 4) 2 : Assim, du = 1 2 u 1 2 4) = 1 2 = : 3( ) 2 3 e du d = 4(2 2 4 i ):Logo, pela Regra 4( 2 4) =
5 5 Eemplo 0.7 Calcular a derivada de y = tan(10 2 ). Solução. Pela Regra da Cadeia, obtemos y 0 = sec 2 (10 2 ) 20: Usando a regra da cadeia é possível mostrar o seguinte resultado. Proposição 0.8 Se u = g() e g é diferenciável, então: 1. D e u = e u D u 2. D ln u = 1 u D u, se g() > 0: Eemplos 0.9 Derive: 1. ln ( 2 6) 2. e 2 3. e 5 4. y = p ln Solução. (1) Fazendo u = 2 6, temos D u = 2, logo D ln ( 2 6) = 1 2 :2 = : (2) Fazendo u = 2, temos D u = 2, logo D e 2 = e 2 :2 = 2e 2 : (3) Fazendo u = 5, temos D u = 2, logo D e 5 = e 5 :5 = 5e 5 : (4) Fazendo u = ln, temos d d u = 1 e d du y = 1 2 u 1 2 logo d = du :du d = 1 2 (ln ) : = 1 2 p ln Eemplo 0.10 Calcular a derivada de y = r, onde r 2 Q e 6= 0 quando r 0. Solução. Seja r = m n, m; n 2 Z, n 6= 0 e u = m. Então, y = u 1 n obtemos e pela Regra da Cadeia, y 0 = d = 1 n u 1 n 1 m m 1 = m n u 1 n n m 1 = m n m 1 n n +(m 1) = r r 1 :
6 6 EXERCÍCIOS 1. Calcular a derivada de cada função e simpli car. (a) f() = tan (g) f() = csc 10 (b) f() = cot () f() = 3 sen cos (c) f() = sec (i) f() = cot 4p (d) f() = csc (j) f() = sen 7 + 3p cos (e) f() = tan 3 ( ) (k) f() = tan 2 sec 3 (f) cot 3 ( 3p ) 2. Calcular a derivada de cada função. (a) f() = ( ) 3 (e) y = e cos (b) y = ( 3 1) 100 (f) y = e p (c) f() = 1 ( ) 4 (g) f() = e 2 (d) f() = 3p () y = e e (e) f() = ( ) 7 (i) y = ln 5p (f) y = ln ( ) (i) f() = 5p ln (g) () y = ln y = ln sen 2 (desa o!) 2 q a H(z) = ln 2 z 2 (desa o!) (i) f() = 2 ln p (desa o!) a 2 +z 2
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