NDMAT Núcleo de Desenvolvimentos Matemáticos

Transcrição

1 As resoluções que são apresentadas, foram feitas, em cima das questões que seguiam a ordem da prova GABARITO 5. Por isso, todos os problemas estão com numeração que obedecem a ordem da referida prova. Espero que as resoluções que seguem, possam servir de instrumento para seu crescimento e uma posterior aprovação. 11 Numa pesquisa sobre acesso à internet, três em cada quatro homens e duas em cada três mulheres responderam que acessam a rede diariamente. A razão entre o número de mulheres e de homens participantes dessa pesquisa é, nessa ordem, igual a. Que fração do total de entrevistados corresponde àqueles que responderam que acessam a rede todos os dias? (A) (B) (C) (D) (E) Temos aqui uma questão simples envolvendo proporção. Os dados do problema informam que três em cada quatro homens acessam a rede diariamente, ou seja, dos homens. E que duas em cada três mulheres acessam a rede diariamente, ou seja, das mulheres. Que fique bem claro que, essas frações não se referem ao total de pessoas e sim, ao total de homens e mulheres respectivamente. O problema também informa que a razão entre o número de mulheres e homens, nessa ordem é de, logo temos que. Com essa proporção ( ) que se refere ao total das pessoas, podemos concluir que do total, as mulheres correspondem a uma parte e os homens duas partes, totalizando três partes (1 + 2). Dessas três partes duas são homens, então do total de pessoas são homens e dessas três partes uma parte é mulher, logo do total são mulheres. Podemos ver melhor no esquema abaixo: Assim temos que do total de homens acessam a rede diariamente e do total de mulheres acessam a rede diariamente. Logo a fração do total de pessoas que acessam a rede diariamente é igual a: 1

2 ( ) ( ) Outra forma de resolver, caso prefira, é estipulando quantidades. Como ele diz que a razão de mulheres para homens é de 1 para 2, ou seja. Isso nos diz que o número de homens é o dobro do número de mulheres. Então escolha uma quantidade para as mulheres e os homens correspondem ao dobro. É interessante que a escolha seja de um número múltiplo de três e quatro, pois as frações que o enunciado informa têm denominadores três e quatro. Vamos escolher a quantidade de 60 mulheres, logo os homens são na quantidade de 120 (o dobro). Entenda que a escolha aqui foi aleatória. Qualquer quantidade múltipla de 3 e 4 servirão (Faça o teste!). Logo temos que o total de pessoas pesquisadas são de. Sabemos que 3/4 dos homens acessam a rede diariamente, ou seja,. E 2/3 das mulheres acessam a rede, ou seja. Temos então um total de = 130 pessoas (entre homens e mulheres) que acessam a rede diariamente. Então a fração do total de pessoas que acessam a rede diariamente é de. 12 No modelo abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à mesma reta. O ponto A dista 65,8 mm do ponto D; o ponto B dista 41,9 mm do ponto D, e o ponto C está a 48,7 mm do ponto A. Qual é, em milímetros, a distância entre os pontos B e C? (A) 24,8 (B) 17,1 (C) 23,1 (D) 23,5 (E) 23,9 Essa questão é bem simples. Podemos aproveitar a reta que ele dá na questão e escrever as distâncias que ele fornece no enunciado. Veja: 41,9 65,8 Veja que é possível descobrir a distância de A até B, basta subtrair 65,8 41,9 = 23,9. 2

3 23,9 41,9 65,8 Vamos agora colocar a distância de A até C que ele informa: 23,9 41,9 65,8 48,7 Passe uma linha vertical por B e veja que a distância de B até C é a diferença entre 48,7 e 23,9: 23,9 41,9 65,8 48,7 Logo a distância de B até C é igual a 48,7 23,9 = 24,8 Letra A 13 No Brasil, quase toda a produção de latas de alumínio é reciclada. As empresas de reciclagem pagam R$ 320,00 por 100 kg de latas usadas, sendo que um quilograma corresponde a 74 latas. De acordo com essas informações, quantos reais receberá um catador ao vender 703 latas de alumínio? (A) 30,40 (B) 23,15 (C) 23,98 (D) 28,80 (E) 28,96 Essa questão é bem simples. Envolve proporção e através de uma regra de três simples chegaremos a resposta. Ele informa que 100 kg de latas valem 320 reais e também é dito que 1 kg de lata corresponde a 74 latas. Pois bem, se 1 kg de lata são 74 latas, então 100 kg de latas correspondem a 7400 latas e vale 320 reais. Logo, montamos nossa regra de três simples: 3

4 14 Os gráficos acima apresentam dados sobre a produção e a reciclagem de lixo em algumas regiões do planeta. Baseando-se nos dados apresentados, qual é, em milhões de toneladas, a diferença entre as quantidades de lixo recicladas na China e nos EUA em um ano? (A) 24,80 (B) 9,08 (C) 10,92 (D) 12,60 (E) 21,68 Pelo gráfico II vemos que a China recicla 30% da sua produção de lixo que é de 300 milhões de toneladas conforme o gráfico I. Então a China recicla milhões de toneladas. Os EUA reciclam 34% da sua produção que é de 238 milhões de ton, logo eles reciclam Letra B milhões de ton. A diferença entre eles é de 15 Uma sequência numérica infinita (e 1, e 2, e 3,..., e n,...) é tal que a soma dos n termos iniciais é igual a n 2 + 6n. O quarto termo dessa sequência é igual a (A) 40 (B) 9 (C) 13 (D) 17 (E) 32 4

5 Seja S n = n 2 + 6n a soma dos n termos iniciais. Se a sequência for de um termo, temos n = 1, se for de dois termos então n = 2, se for de três termos então n = 4 e assim sucessivamente. Vamos substituir n por 1, 2, 3... para descobrir a soma dos primeiros termos e com isso descobrimos termo a termo: n = 1 S 1 = = 7 como é a soma do 1º termo, temos que o primeiro termo é igual a 7 n = 2 S 2 = = 16 isso diz que a soma dos dois primeiros é 16, como o 1º é 7, então o segundo é 16 7 = 9 n = 3 S 3 = = 27 isso diz que a soma dos três primeiros é 27, como a soma dos dois primeiros é 16, então o terceiro termo é igual a = 11 Temos então uma PA de razão dois, veja: ( 7, 9, 11, 4º termo,...) Logo o 4º termo é 13 Letra C 16 Uma moeda não tendenciosa é lançada até que sejam obtidos dois resultados consecutivos iguais. Qual a probabilidade de a moeda ser lançada exatamente três vezes? (A) 3/4 (B) 1/8 (C) 1/4 (D) 1/3 (E) 1/2 O problema, como se percebe, é sobre probabilidade e é tendencioso. É preciso ter atenção ao que o enunciado informa. A moeda será lançada até que se obtenha duas faces consecutivas, então, se obtermos uma face igual a anterior paramos o lançamento. Como ele diz que vai lançar a moeda exatamente três vezes, pode-se concluir que, no segundo lançamento a face obtida não será igual a primeira e, como paramos no terceiro lançamento significa que a terceira face será igual a segunda. A primeira face pode ser qualquer uma, então a probabilidade é de 1 (ou 100%), a segunda face tem que ser diferente da primeira logo probabilidade de 1/2 e a terceira face igual a segunda logo probabilidade de 1/2. Então a probabilidade é Letra C 17 O investimento necessário para montar uma pequena empresa é de R$ ,00. Esse investimento renderá R$ 6.000,00 no final do primeiro ano, e R$ 5.500,00 no final do segundo. Depois desses dois anos, o dono dessa empresa pretende fechá-la. A taxa interna de retorno (TIR), anual, desse projeto é (A) 15% (B) 1% 5

6 (C) 1,5% (D) 5% (E) 10% Por definição, a taxa interna de retorno é a taxa que faz com que o somatório das receitas e o somatório das despesas, sejam iguais na data atual (zero). Fica simples pensar da seguinte forma: a taxa interna de retorno é a taxa que vai corrigir o capital investido. Houve um investimento de e posteriores receitas de no ano um e no ano dois. Logo, esse capital investido (10000) é equivalente ao somatório dessas receitas. Agora, lembre-se que, essa igualdade é na mesma data, pois na matemática financeira o dinheiro nunca fica parado. Vamos corrigir os capitais de (despesa) e (receita) até a data dois anos. Poderíamos ter corrigido para qualquer data, mas corrigi-los até a última data torna os cálculos mais simples. N = A. (1 + i) n ( lembre-se que desconto Racional composto é a mesma coisa que Montante composto M = C. (1 + i) 2 ) Corrigindo o capital investido (10 000): N 1 = (1 + i) 2 (valor do capital investido na data 2 anos) 1 m 2 m Corrigindo a receita de 6 000: N 2 = (1 + i) 1 (valor da receita na data 2 anos) O somatório das receitas é igual ao somatório das despesas, logo temos a seguinte equação: (1 + i) 1 = (1 + i) 2 Para facilitar a resolução, vamos fazer uma mudança de variável. Trocaremos (1 + i) por x, logo (1 + i) = x x = x 2 divida a equação por 500, ficaremos com: x = 20 x 2 resolveremos a seguinte equação do segundo grau 20 x 2 12 x 11 = 0 Usando a fórmula de Bháskara encontramos como raízes 0,5 ( o que não convém pois a taxa é positiva) e 1,1 que é a taxa que procuramos, logo: (1 + i) = x (1 + i) = 1,1 i = 1,1 1 i = 0,1 multiplica por 100%, logo i = 10% Letra E 6

7 18 Um investimento rende a taxa nominal de 12% ao ano com capitalização trimestral. A taxa efetiva anual do rendimento correspondente é, aproximadamente, (A) 13,43% (B) 12% (C) 12,49% (D) 12,55% (E) 13% Observe que aparece uma taxa nominal. Taxa nominal só acontece no regime composto e não serve para ser usada nas fórmulas do regime composto. Antes de tudo temos que passar a taxa nominal para taxa efetiva (aquela que efetivamente aplicamos nas fórmulas do regime composto). É fácil perceber quando uma taxa é nominal. Quando a unidade da taxa é diferente da unidade da capitalização temos uma taxa nominal. VALE LEMBRAR QUE: a taxa nominal é uma taxa proporcional, por isso, que não a utilizamos. No regime composto utilizamos em uma outra unidade de tempo, uma taxa equivalente a efetiva. Vamos mudar de nominal para efetiva: Embora estejamos no regime composto utilizamos o conceito de taxa proporcional para fazer essa mudança, pois a taxa nominal é uma taxa proporcional. 12 dividido por 4 Taxa efetiva Mesma unidade da capitalização i = 12% aa, com capitaliz. trimestral= 3% at Unidade da tx da unid. Da cap Taxa Nominal Agora que temos a taxa efetiva vamos reler o problema e onde tiver a taxa nominal, iremos ler a taxa efetiva: Um investimento rende a taxa 3% ao trimestre. A taxa efetiva anual do rendimento correspondente é, aproximadamente, Percebeu o que ele deseja? Ele quer que você mude a taxa de trimestral para anual e como se trata da taxa efetiva, vamos utilizar o conceito de taxas equivalentes: 1 + I = (i + i) n Onde: I é a taxa de maior período, i é a taxa de menor período, n é o número de vezes em que o período menor cabe no maior. ( ) ( ) Teremos que calcular essa potência ( ) uma aproximação com quatro casas decimais está de bom tamanho. 7

8 ( ) ( ) 19 João tomou um empréstimo de R$ 900,00 a juros compostos de 10% ao mês. Dois meses depois, João pagou R$ 600,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou o empréstimo. O valor desse último pagamento foi, em reais, aproximadamente, (A) 538,00 (B) 240,00 (C) 330,00 (D) 429,00 (E) 489,00 Podemos resolver esse problema de duas maneiras, lógico que uma delas é bem trivial. Veja o desenho que representa o problema: + 90 (10%) = 489 X = ,9 = 537,90 Letra A 1 mês 2 meses 3 meses Poderíamos corrigir todos os valores a juros compostos para a data 3 meses e lá fazemos a equivalência de valores. Acho que dessa maneira há uma clareza maior. Mas tem quem goste de usar a fórmula: M = C. (1 + i) n Corrigindo o valor do empréstimo: M = 900. (1 + 0,1) 3 = 900.(1,1) 3 = ,331 = 1.197,90 Corrigindo o primeiro pagamento: M = 600. (1 + 0,1) 1 = 600.(1,1) = 660 Chamemos de X o valor que temos que pagar no mês 3 para quitar o débito, então o débito de 1.197,90 tem que ser igual a soma dos pagamentos: 8

9 X = 1.197,90 X = 1.197, X = 537,90 20 Uma loja oferece um aparelho celular por R$ 1.344,00 à vista. Esse aparelho pode ser comprado a prazo, com juros de 10% ao mês, em dois pagamentos mensais iguais: um, no ato da compra, e outro, um mês após a compra. O valor de cada um dos pagamentos mensais é, em reais, de (A) 806,40 (B) 704,00 (C) 705,60 (D) 719,00 (E) 739,20 Podemos fazer um desenho que retrata o problema, veja: P P 1 m Como houve um pagamento no ato da compra, este servirá como entrada, devendo então reduzir o valor que será financiado. Então podemos entender o problema assim: P P 1 m O problema não especifica o regime dessa compra, mas, como o segundo pagamento é feito um mês depois da compra, para 1 período, tanto regime simples como o composto fornecem os mesmos juros. Para efeito de praticidade, aplicarei a fórmula dos juros compostos. Caso você esqueça da fórmula dos juros compostos, ou 9

10 qualquer outra, basta entender que o débito de P tem que ser corrigido em 10% e essa correção vai gerar o montante P. Então: P = 1,1. (1 344 P) P = 1 478,40 1,1P P + 1,1P = 1 478,40 2,1P = 1 478,90 Dessa forma espero ter contribuído para um melhor aprendizado. Bons Estudos e muito sucesso! 10