Fun c ao Exponencial Fun c ao Exponencial ( ) F. Exponencial Matem atica II 2008/2009

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1 Função Exponencial ( )

2 Função Exponencial Chama-se função exponencial de base a à correspondência f : R R + x a x, com a > 0 Se a = 1, a função é constante e tem pouco interesse. Vejamos agora, quando 0 < a < 1 e a > f(x) = (1/4) x f(x) = (1/3) x f(x) = (1/2) x f(x) = 4 x f(x) = 3 x f(x) = 2 x

3 Observe que: 1 Se a 1, então a função exponencial y = a x tem domínio R e contradomínio R +. 2 Uma vez que ( 1 a )x = 1 a x = a x, o gráfico de y = ( 1 a )x é a reflexão do gráfico de y = a x em torno do eixo dos YY.

4 Exemplos Esbocemos o gráfico das seguintes funções 1 y = 7 x 2 y = ( 1 7 )x 3 y = 4 2 x 1 Um esboço do gráfico de y = 7 x será

5 2 Para esboçar o gráfico de y = ( 1 7 )x basta reflectirmos o gráfico de y = 7 x em torno do eixo dos YY. (O domínio da função y = ( 1 7 )x é R e o contradomínio é ]0, [.)

6 3 Começamos por esboçar o gráfico da função y = 2 x. Em seguida reflectimos este gráfico em torno do eixo dos XX para obter o gráfico de y = 2 x. A seguir deslocamos o gráfico de y = 2 x quatro (4) unidades para cima, para obtermos o gráfico de y = 4 2 x. (O domínio da função y = 4 2 x é R e o contradomínio é ],4[.) y = 2 x y = 2 x y = 4 2 x

7 Usemos a análise gráfica para comparar a função exponencial f(x) = 2 x e a função potência g(x) = x 2. Qual é a função que cresce mais rápido quando x for muito grande?

8 A figura seguinte mostra o gráfico da função f(x) = 2 x a azul e o gráfico de g(x) = x 2 a vermelho. Observamos que para grandes valores de x, a função exponencial f(x) = 2 x cresce muito mais rapidamente do que a função potência g(x) = x

9 (A função f(x) = 2 x é chamada função exponencial, pois a variável, x, é o expoente. Esta função não deve ser confundida com a função potência g(x) = x 2, na qual a variável é a base.)

10 Propriedades Se a e b forem números positivos e x e y números reais quaisquer, então (a) a 0 = 1 (b) a x > 0 (c) a x = 1 a x (d) a x a y = a x+y (e) a x a y = a x y (f) (a x ) y = a xy (g) (ab) x = a x b x

11 Na escolha de uma base a pesa muito a forma como a função y = a x cruza o eixo dos YY. As figuras seguintes mostram os gráficos de y = 2 x e de y = 3 x e das respectivas rectas tangentes aos gráficos no ponto (0,1) A recta tangente a y = 2 x no ponto (0,1) tem inclinação m 0,7 e a recta tangente a y = 3 x no ponto (0,1) tem inclinação m 1,1.

12 As fórmulas de cálculo ficam muito simplificadas quando escolhemos para base a aquela para a qual resulta uma recta tangente a y = a x no ponto (0,1) com uma inclinação exactamente igual a 1. Esse número existe realmente e é denotado pela letra e. Observando as figuras seguintes, não nos surpreende que o número e esteja entre 2 e 3 e o gráfico de y = e x, entre o de y = 2 x e o de y = 3 x

13 Valor Marginal Consideremos a função exponencial y = e x (f(x) = e x ) e calculemos o seu valor marginal y. Temos Uma vez que e x+1 = e x.e 1 vem Pondo e x em evidência temos y = f(x + 1) f(x) = e x+1 e x y = e x.e 1 e x = e x.e e x y = (e 1)e x O valor marginal da exponencial y = e x é ainda uma função exponencial: y = (e 1)e x

14 Derivada Consideremos a função exponencial y = e x (f(x) = e x ) e calculemos a sua derivada f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h Comecemos por calcular a diferença e depois a razão incremental f(x + h) f(x) = e x+h e x = e x.e h e x = (e h 1)e x f(x + h) f(x) h = (eh 1)e x h = (eh 1) e x h

15 Para o cálculo de o que está em causa é o limite f (e h 1) (x) = lim h 0 h (e h 1) lim h 0 h cujo valor é 1 (façamos cálculos numéricos para acreditar neste resultado, uma vez que uma demonstração deste resultado envolve argumentos que saem do contexto desta disciplina). Assim, f (e h 1) (x) = lim e x = e x (e h 1) lim = e x.1 = e x h 0 h h 0 h e x

16 Concluímos que a derivada da função exponencial e x é ainda uma função exponencial f (x) = e x Neste caso a derivada da função é igual à própria função.

17 Exercício Uma população de bactérias aumenta 50% em cada dia. Se no início da contagem havia 1 milhão de bactérias, quantas haverá ao fim de x dias?

18 Resolução Em milhões temos ao fim de 1 dia 1 + 0,5 = 1,5 ao fim de 2 dias 1,5 + 0,5 1,5 = 1,5(1 + 0,5) = 1,5 2 ao fim de 3 dias 1, ,5 1,5 2 = 1,5 2 (1 + 0,5) = 1, ao fim de x dias 1,5 x Vemos que o número de milhões de bactérias, ao fim de x dias, é dado por uma potência de expoente variável (exponencial). Sabemos que esta potência tem significado para qualquer valor real de x; no início da contagem é x = 0 e antes desse instante é x < 0. Sabemos, também, que os valores de 1,5 x são sempre positivos.

19 Resolução (cont.) Portanto, temos a correspondência: f : R R + x 1,5 x que se chama função exponencial de base 1,5 e cujo gráfico é

20 Juros Compostos Uma situação com comportamento exponencial é a de juros compostos. Suponhamos que alguém colocou, no dia 1 de Janeiro de 2009, um determinado capital C num depósito a prazo, a uma taxa de juro j (ao ano). No dia 1 de Janeiro de 2010, o capital acumulado será de C + C.j = C(1 + j) onde C é o capital depositado inicialmente e C.j é o montante correspondente ao juro que esse capital inicial rendeu.

21 No dia 1 de Janeiro de 2011, o capital acumulado será de C(1 + j) + C(1 + j).j = C(1 + j)(1 + j) = C(1 + j) 2 onde C(1 + j).j é o juro correspondente ao ano de Repetindo este raciocínio, vemos que no dia 1 de Janeiro de 2012, o capital acumulado seria de C(1 + j) 2 + C(1 + j) 2 j = C(1 + j) 2 (1 + j) = C(1 + j) 3

22 Podemos resumir esta situação no seguinte quadro Anos decorridos após Data o início do depósito Capital acumulado 1/01/ C = C(1 + j) 0 1/01/ C(1 + j) 1 1/01/ C(1 + j) 2 1/01/ C(1 + j) 3 Num processo de juros compostos, com capital inicial C e uma taxa de juros j, o valor do capital acumulado A ao fim de x anos é dado por A = C.(1 + j) x

23 Exercício No dia 1 de Janeiro de 2004, o Sr. José investiu euros num depósito a prazo, remunerado com a taxa de 3% ao ano. Admitindo que os juros foram sendo capitalizados, determine o montante que o Sr. José tinha no dia 1 de Janeiro de 2008.

24 Resolução 1/01/ /01/ ,03 = (1 + 0,03) = (1, 03) 1/01/ (1,03) (1,03) 0,03 = (1,03)(1 + 0,03) = (1,03) 2 1/01/ (1,03) (1,03) 2 0,03 = (1,03) 2 (1 + 0,03) = (1,03) 3 1/01/ (1,03) (1,03) 3 0,03 = (1,03) 3 (1 + 0,03) = (1,03) 4

25 Resolução (cont.) ou, simplesmente, utilizando a fórmula A = C(1 + j) x e atendendo a que, em 1 de Janeiro de 2008, decorreram 4 anos, o montante pedido é A = (1 + 0,03) 4 = (1,03) 4 = 11255,08 euros.