Matemática para Economia I - 6 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho

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1 Matemática para Economia I - 6 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho 1 - Ache as derivadas parciais pedidas: (a) f y onde f(x, y) = x 2 + 3xy 2y + 1; (b) f x onde f(x, y) = x 2 + y 2 ; (c) f xx onde f(x, y) = x ln(y 2 1) + y cos(x); (d) f yx onde f(x, y) = 4 xy 3 x 1 ; y (e) f x onde f(x, y) = x 2 e xy2 ; (f) f y onde f(x, y) = 2x + 3y xy Suponha que em uma fábrica, a quantidade z de um certo produto produzida diariamente dependa apenas de do número x de operários e da quantidade y de máquinas envolvidas na produção de acordo com a fórmula z = f(x, y) = x 2 + 4xy + 3y 2. Suponha que atualmente estão envolvidos na produção 10 operários utilizando 6 máquinas. (a) Ache a taxa de variação instantânea de z por unidade de variação de x quando y está fixo em 6; (b) Use o resultado obtido em (a) para encontrar uma aproximação para o aumento na produção quando o número de operários cresce em 40%; (c) Ache a taxa de variação instantânea de z por unidade de variação de y quando x está fixo em 10; (d) Use o resultado obtido em (c) para encontrar uma aproximação para o aumento na produção quando o número de máquinas utilizadas na produção cresce em 50%. 3 - Seja x (em $ milhões) a quantia de dinheiro investida no estoque de uma loja e y o número de empregados da loja. Seja P o lucro semanal da loja e suponha que P é dado por P = y + 20y(x 2y) 10(x 12) 2. Suponha que no momento o estoque é de $ e há 8 empregados na loja. (Note que $ corresponde a x = 0, 18, já que 0, 18 milhões significa ) (a) Ache a taxa de variação instantânea de P por unidade de variação de y se x for mantido em 0, 18; 1

2 (b) Use o item (a) para aproximar a variação do lucro semanal se o número de empregados diminuir de 8 para 6, com o estoque fixo em $ Considere que duas mercadorias X e Y são vendidas em uma mesma loja com preços p e q, respectivamente. Sejam x = 4q 2 5pq e y = 7p 2 3pq as equações de demanda por X e Y respectivamente. (a) Ache as quantidades demandadas por cada bem quando o preço de X é $40 e o preço de Y é $60; (b) Ache as quatro demandas marginais parciais quando p = 40 e q = 60; (c) Use o item (b) para determinar como as demandas por X e Y são afetadas quando o preço de X é aumentado para $41 e o preço de Y fica fixo em $60; (d) Use o item (b) para determinar como as demandas por X e Y são afetadas quando o preço de Y é aumentado para $61 e o preço de Y fica fixo em $40; (e) Estas mercadorias são complementares ou concorrentes? 5 - Considere dois bens X e Y com preços p e q, respectivamente. Para cada par de equações de demanda abaixo, calcule as demandas marginais parciais e determine se X e Y são bens complementares ou concorrentes (substitutos). (a) x = 14 p 2q e y = 17 2p q; (b) x = e q p e y = 3e p q ; (c) x = q2 p (d) x = 1 pq e y = p q ; e y = 1 p 2 q. 6 - Considere dois bens X e Y com preços p e q, respectivamente. Suponha que neste instante temos p = 1 e q = 2. Para cada par de equações de demanda abaixo, ache uma aproximação para a variação nas demandas por X e Y se o preço de X for dobrado e o preço de Y for mantido fixo em q = 2. (a) x = 14 p 2q e y = 17 2p q; (b) x = e q p e y = 3e p q ; (c) x = q2 p (d) x = 1 pq e y = p q ; e y = 1 p 2 q. 2

3 Gabarito: 1 - (a) f y = 0 + 3x = 3x 2; (b) Como f(x, y) = (x 2 + y 2 ) 1/2 e (u n ) x = n u n 1 u x, temos que f x = 1 2 (x2 + y 2 ) 1/2 (x 2 + y 2 ) x = 2x 2 x 2 + y 2. (c) Temos f x = ln(y 2 1) ysen(x) e logo f xx = 0 y cos(x) = y cos(x). (d) Como f(x, y) = x 1/4 y 3/4 (x 1)y 1, temos que f y = x 1/4 3 4 y 1/4 (x 1)( 1)y 2 = 3 4 x1/4 y 1/4 + (x 1)y 2 e logo f yx = (f y ) x = x 3/4 y 1/4 + 1 y 2 = x 3 y + 1 y 2. (e) Pela regra do produto temos f x = (x 2 ) x e xy2 + x 2 (e xy2 ) x, e como (e u ) x = e u u x, temos f x = 2xe xy2 + x 2 (e xy2 (xy 2 ) x ) = 2xe xy2 + x 2 (e xy2 y 2 ) = (2x + x 2 y 2 )e xy2. (f) Pela regra do quociente, temos f y = (2x + 3y) y(xy 6) (2x + 3y)(xy 6) y 3 (xy 6) (2x + 3y) x = = 3xy 18 2x2 3xy 18 2x2 = (xy 6) (a) Temos z = 2x + 4y e logo, com x = 10 e y = 6, temos que a taxa de variação instantânea procurada é z (10, 6) = 44. Isto significa que quando passamos de 10 pra 11 operários, a produção tende a aumentar em 44 unidades diárias. (b) Como 40% de 10 é 0, 4 10 = 4, então o aumento na produção deve ser de aproximadamente 4 44 = 176 unidades diárias, pois cada operário a mais aumenta a produção em aproximadamente 44 unidades diárias. 3

4 (c) Temos z = 4x + 6y e logo, com x = 10 e y = 6, temos que a taxa de variação instantânea procurada é z (10, 6) = 76. Isto significa que quando passamos de 6 para 7 máquinas, a produção tende a aumentar em 76 unidades diárias. (b) Como 50% de 6 é 0, 5 6 = 3, então o aumento na produção deve ser de aproximadamente 3 76 = 228 unidades diárias, pois cada máquina extra aumenta a produçao em aproximadamente 76 unidades diárias. 3 - (a) Temos P = x 80y e logo, com x = 0, 18 e y = 8, temos que a taxa de variação instantânea procurada é P (0, 18, 8) = 396, 4. (b) Pelo item (a), cada empregado extra faz o lucro cair em aproximadamente $396, 40. Do mesmo modo, cada empregado a menos faz o lucro subir aproximadamente $396, 40. Assim, se o número de empregados diminui em 2, então a variação do lucro semanal é de aproximadamente 2 396, 40 = $792, (a) A demanda por X é de x = unidades e a demanda por Y é de 400 unidades. (b) As demandas marginais parciais são = 5q, = 8q 5p, = 14p 3q, = 3p e logo, com p = 40 e q = 60, temos (40, 60) = 300, (40, 60) = 280, (40, 60) = 380, (40, 60) = 120. (c) A demanda por X cai em 300 unidades e a demanda por Y sobe em 380 unidades. (d) A demanda por X sobe em 280 unidades e a demanda por Y cai em 120 unidades. (e) Concorrentes, pois quando a demanda por uma diminui, a demanda pela outra aumenta. 5 - (a) Como = 2 e = 2, os bens são complementares. (b) Como = eq p e = 3ep q, os bens são concorrentes. (c) Como = 2q p e = 1, os bens são concorrentes. q (d) Como = 1 pq e 2 = 2, os bens são complementares. p 3 q 4

5 6 - (a) Como = 1 e = 2, a demanda por X cai em 1 unidade e a demanda por Y cai em 2 unidades. (b) Temos = eq p. Assim (1, 2) = e 2, 7 e (1, 2) = 3e 1 1, 1, e portanto a demanda por X cai em aproximadamente 2,7 e a demanda por Y sobe em aproximadamente 1,1. (c) Temos = q2. Assim, (1, 2) = 4 e p 2 (1, 2) = 1, a demanda por X cai em 2 4 unidades e a demanda por Y sobe em 0,5. (d) Temos = 1 1. Assim (1, 2) = p 2 q 2 e (1, 2) = 1, a demanda por X cai em 0,5 unidades e a demanda por Y cai em 1 unidade. 5