Representação gráfica dos dados
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- Edite Barbosa Tavares
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1 Capítulo 0 Representação gráfica dos dados 0. Escalas 0.. Escala linear 0... Propriedades da escala linear Numa escala linear todas as divisões são iguais. Dito de outra forma, quando se representa uma progressão aritmética todos os valores consecutivos estão igualmente distanciados Construção de uma escala linear Se pretendemos representar valores experimentais de uma grandeza x numa escala linear devemos fazer economia de espaço. Interessa-nos que o valor mais baixo x Min de x apareça na região inícial da escala e o valor mais elevado x Max de x apareça na região final da escala. Caso contrário, a representação dos valores pode ser tal que fiquem todos os pontos tão próximos que não é possível distingui-los ou tão afastados uns dos outros que alguns pontos fiquem fora da escala disponível. O problema resume-se então a representar N valores experimentais dispondo de uma escala de M divisões iguais. Define-se como factor de escala de x o número de divisões que serão utilizadas por unidade da variável x. Em particular se se pretende que o aproveitamento de espaço seja total, ou seja que o menor valor de x fique exactamente no início da escala e o maior valor de x fique exactamente no fim da escala, o factor de escala será: M x Max x Min (0.) Neste caso, a divisão d x onde deverá ser representado cada valor de x será dada por: d x = E x (x x Min ) (0.2) Se se quiser dar uma margem para evitar que existam pontos nos limites da escala então o factor de escala deverá ser modificado para: M u x Max x Min (0.3) em que M u é o número de divisões úteis (realmente utilizadas; M u <M). Neste caso mais geral o valor, x será representado na divisão d x tal que: d x = d xmin + E x (x x Min ) (0.4) em que d xmin é a divisão onde será representado o menor valor x Min de x. A distância 4d entre quaisquer dois pontos na escala linear representantes dos valores experimentias x e x 2 será dada por: 4d = d 2 d = E x (x 2 x )=E x 4x (0.5) 63
2 0.. ESCALAS CAPÍTULO 0. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS DADOS Vejamos um exemplo. Num ecrã de computador com 600 divisões verticais (pixels) pretende-se representar o movimento de um objecto em queda livre desde uma altura de 5 m até atingir o solo. A altura do objecto será então representada pela variável x que toma valores desde x Max =5m até x Min =0m. Das 600 divisões disponíveis vamos assumir uma margem de 00 divisões (50 abaixo e 50 acima). Isto significa que o número de divisões úteis será de M u = 500 divisões. O factor de escala será então: 500 div = 00 div m 5 m 0 m Sabendo então que os valores de x podem ser dados pela expressão: x = 5 5t 2 m então a divisão onde será representado o valor x no instante t será: d x = 50 div + 00 div m 5 5t 2 m Assumindo que não existem fracções do pixel d x deverá ser arredondado à unidade. Vejamos o que acontece quando representamos barras de erro numa escala linear. Suponhamos que temos dois valores experimentais x e x 2 dados por: x =(x ±4x ) u x x 2 =(x 2 ±4x 2 ) u x Ao representá-los numa escala linear, as barras de erro terão um comprimento dado por: 4dBE = E x (x + 4x x + 4x )=E x (24x ) 4d BE2 = E x (x 2 + 4x 2 x 2 + 4x 2 )=E x (24x 2 ) Se os erros absolutos são iguais: então as barras de erro têm igual comprimento: 4x = 4x 2 (0.6) 4d BE = 4d BE2 Provou-se que numa escala linear dois valores com igual erro absoluto terão barras de erro iguais Escala logarítmica Propriedades da escala logarítmica A função de uma escala logarítmica é representar o logaritmo de um número, ou seja evitar ter que utilizar uma calculadora para avaliá-lo. Ao contrário da escala linear, numa escala logarítmica as divisões não são sempre iguais. Elas são decrescentes. Uma observação inicial da escala permite-nos constatar que há um padrão de divisões decrescentes que se repete (ver pontos assinalados por setas na figura 0.). Cada um destes padrões representa uma ordem de grandeza. A distância entre dois destes pontos consecutivos chama-se uma década. No exemplo da figura 0., a escala logarítmica apresentada tem 4 décadas Figura 0.: Décadas da escala logarítmica A propriedade das potências de 0 consecutivas estarem igualmente distanciadas na escala logarítmica não é exclusiva ao factor 0. Na realidade é válida para qualquer factor multiplicativo. Qualquer 64
3 CAPÍTULO 0. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS DADOS 0.. ESCALAS progressão geométrica apresenta-se igualmente espaçada numa escala logarítmica. Por exemplo: numa escala logarítmica a distância de ao 2 é igual à distância do 2 ao 4, igual à distância do 7 ao 4 e igual à distância do 30 ao 60 (ver a figura 0.2) x 0 8 x 0 7 x 0 6 x 0 5 x 0 4 x 0 3 x 0 2 x 0.4 x 0 9 x x x x x x x x 0 0 Figura 0.2: Progressões de factor constante numa escala logarítmica Quais são os limites dos valores representáveis numa escala logarítmica? Comecemos pelo valor mínimo. O valor 0 (= 0.) está perto de zero, mas 0 2 (= 0.0) está mais perto, 0 3 (= 0.00) está ainda mais perto. Por mais negativo que seja o valor do expoente, o valor da potência será sempre maior que zero. Só quando o expoente tender para é que a potência de 0 tenderá para 0 (log 0 = ). Em resumo, o zero (e os valores negativos) não têm representação numa escala logarítmica. Quanto ao valor máximo representável numa escala logarítmica podemos dizer que não existe. Suponhamos que pretendemos representar alguns eventos principais da evolução humana numa escala de tempo desde o aparecimento da primeira célula eucariótica até ao ano 2000 de acordo com a tabela 0.. # Evento Tempo desde a actualidade (a) Células eucarióticas Animais Vertebrados Mamíferos Primatas Hominídeos Australopithecus Homo Homo sapiens Homo sapiens sapiens Final do sec. XX.3 0 Tabela 0.: Marcos históricos da evolução humana numa escala linear Numa escala linear estes marcos históricos teriam a seguinte disposição: Figura 0.3: Disposição dos Marcos históricos da tabela 0. numa escala linear A amplitude dos dados é de 8 ordens de grandeza. É tão extensa que os tempos menores (índices 7 a ) ficam praticamente todos sobrepostos na mesma posição e não são visíveis. Se representarmos os mesmos valores numa escala logarítmica obtemos a seguinte disposição: 65
4 0.. ESCALAS CAPÍTULO 0. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS DADOS Figura 0.4: Disposição dos Marcos históricos da tabela 0. numa escala logarítmica Nesta escala os tempos menores são visíveis ainda que o seu valor numérico seja desprezável face ao todo. e por isso permite representar valores espalhados ao longo de até 5 ordens de grandeza (de 0 até 0 5 ). Esta é uma das razões porque uma escala logarítmica pode ser útil: ela consegue abarcar dados separados por muitas ordens de grandeza. Alguns exemplos: Quantas décadas são necessárias para representar dados que vão desde até 7000? Temosque procurar a potência de 0 que está imediatamente abaixo de =0.0 e a potência de 0 que está imediatamente acima de = O número de décadas necessário para representar estes dados será então 6: Figura 0.5: Número de décadas necessário para representar dados que vão desde até 7000 Consideremos a seguinte progressão aritmética de diferença 2: 2, 4, 6, 8, 0 e 2. Representemos esta progressão numa escala logarítmica: x x x x x 0 7 x 0 9 x x x x x x 0 2 x 0 3 x 0 4 x 0 6 x 0 8 x 0 Figura 0.6: Exemplo de representação de dados numa escala logarítmica e erro comum Omenornúmero(2) está entre 0 0 e 0 logo a potência de 0 inferior mais próxima é 0 0. O maior número (2) está entre 0 e 0 2 logo a potência de 0 superior mais próxima é 0 2. Sendo assim, necessitamos de 2 décadas para representar a totalidade dos dados. Os primeiros 5 dados têm representação imediata na escala porque esta tem as divisões correspondentes: 2=2 0 0 ; 4=4 0 0 ; 6=6 0 0 ; 8=8 0 0 ; 0 = 0. No entanto a transição para a década seguinte pode trazer por vezes enganos na marcação dos valores quando ainda não entrámos na lógica da escala logarítmica. Um engano comum é identificar as duas divisões seguintes ao 0 como sendo e 2. Este engano resulta de ainda estarmos a pensar de forma linear. Na realidade, uma vez atingida a potência 0, já estamos na ordem de grandeza seguinte e o próximo valor será 2 0 (não ) seguidode3 0 (não 2). A figura 0.6 apresenta a azul os primeiros 5 valores, a cinzento onde é que deve ser representado o valor 2 e a vermelho as posições erradamente atribuidas aos valores e 2 numa escala logarítmica Construção de uma escala logarítmica Uma escala logarítmica pode ser construída a partir de dois parâmetros: 66
5 CAPÍTULO 0. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS DADOS 0.2. LINEARIZAÇÃO. O comprimento de uma década d DEC (por exemplo em cm). 2. O valor inicial x 0 da variável x (por exemplo a potência inteira de 0 imediatamente abaixo do menor valor de x que se pretende representar. Uma vez estabelecidos os parâmetros, a distância do início da escala até qualquer ponto de valor x é dada por: x d = d DEC log (0.7) x 0 Isso implica que a distância entre dois pontos quaisquer da escala logarítmica que representam os valores x e x 2 é: x2 d = d 2 d = d DEC log (0.8) Esta equação mostra o que já havia sido observado: d será constante sempre que x2 x seja constante. Vejamos o que acontece quando representamos barras de erro numa escala logarítmica. Suponhamos que temos dois valores experimentais x e x 2 dados por: x =(x ±4x ) u x x 2 =(x 2 ±4x 2 ) u x Ao representá-los numa escala logarítmica, as barras de erro terão um comprimento dado por: 8 < 4d BE = d DEC log x+4x x 4x : x 4d BE2 = d DEC log x2+4x 2 x 2 4x 2 À partida, os erros 4x e 4x 2 serão arbitrários, logo as barras de erro terão comprimentos independentes. Vejamos o que acontece se: 4x x = 4x 2 x 2 = k (0.9) Ou seja, se os erros relativos de ambos os valores experimentais coincidirem (e forem iguais a uma constante k). Se nos concentrarmos nos argumentos dos logaritmos: x + 4x x 4x = x + kx x kx = +k k = x 2 + kx 2 x 2 kx 2 = x 2 + 4x 2 x 2 4x 2 (0.0) então as barras de erro têm igual comprimento: 4d BE = 4d BE2 Provou-se que quando os erros relativos de dois valores experimentais são iguais então as barras de erro têm igual comprimento. 0.2 Linearização 0.2. Linearização gráfica Papel semilog Papel loglog Linearização numérica Relação exponencial y = c e c2x (0.) ln y =ln(c )+c 2 x (0.2) 67
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