P3 de Cálculo a Várias Variáveis I MAT Data: 23 de novembro

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1 P3 de Cálculo a Várias Variáveis I MAT Data: 23 de novembro Nome: Assinatura: Matrícula: Turma: Questão Valor Nota Revisão Teste 2. Total. Instruções Mantenha seu celular desligado durante toda a prova. Não é permitido usar nenhum tipo de calculadora ou dispositivo eletrônico. Não destaque as folhas da prova. A prova pode ser resolvida a lápis, caneta azul ou caneta preta. Não é permitido usar caneta vermelha ou verde. Você não tem o direito de consultar anotações. Desenvolva a solução de cada questão de maneira clara e objetiva. RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NÃO SERÃO CONSIDERADAS.

2 . Considere a função fx, y) = xy + a x + b y, x >, y >, onde a > e b > são duas constantes reais. a).5) Encontre os pontos x, y) x >, y > ) tais que os autovalores da matriz hessiana de f sejam estritamente positivos nestes pontos. b).5) Classifique os pontos críticos de f quanto à sua natureza máximo local, mínimo local ou sela). Solução: a) Como f x = y a x 2 f y = x b y 2 f xx = x 3 f yy = 2b y 3 f xy =, temos que a matriz hessiana de f é dada por: Hf)x, y) = x 3 2b y 3 ). Sendo λ e λ 2 os autovalores da hessiana, sabemos que trhf)x, y) = λ + λ 2 det Hf)x, y) = λ λ 2. Logo, os autovalores são estritamente positivos se e somente se trhf)x, y) > e det Hf)x, y) >. A condição sobre o traço é satisfeita para quaisquer pontos x, y): trhf)x, y) = x 3 + 2b y 3 >, pois x >, y >, a >, b >, por hipótese.

3 Estudando então a condição sobre o determinante, temos que: det Hf)x, y) = 4ab x 3 y 3 > xy < 3 4ab. Assim, conclui-se que os pontos para os quais os autovalores de Hf)x, y) são positivos são: { x, y) R 2 } 3 xy < 4ab, x >, y >. Uma outra forma de resolver este item é encontrar explicitamente os autovalores da matriz Hf)x, y) e verificar as condições para que ambos sejam estritamente positivos. O polinômio característico da matriz hessiana é: λ 2 λ Logo, os autovalores são λ = x 3 + 2b y 3 ) ± x + 2b ) 3 y 3 + x 3 + 2b 2 ) 4ab xy) 3 y 3 ) ab xy) 3 Como a, b, x e y são todos estritamente positivos, os dois autovalores serão também estritamente positivos se e somente se x + 2b 3 y > 3 x + 2b ) 2 ) 4ab 4 3 y 3 xy) 3 ) 4ab 4 xy) > 3 4ab xy) 3 > xy < 3 4ab. b) O sistema de equações que os pontos críticos de f devem satisfazer é o seguinte: f x = y a x 2 = f y = x b y 2 = ).

4 Da primeira equação segue que y = a x 2. Substituindo este resultado na segunda equação, temos: x = bx4 a 2 x 3 = a2 b x = 3 a 2 b. Voltando então à primeira equação conclui-se que b 2 b 2 y = a 3 y = 3 a 4 a. Logo, o único ponto crítico de f é ) 3 a 2 b x cr, y cr ) = b, 2 3. a A hessiana de f neste ponto é dada por: Hf) x cr, y cr ) = 2b a b ), uma matriz com traço 2b + > e determinante 4ab a b ab ponto crítico é um ponto de mínimo local. = 3 >, logo o 2. 2.) Seja c > uma constante real. Calcule o valor máximo e o valor mínimo da função fx, y, z) = x 2 y 2 z 2 na esfera x 2 + y 2 + z 2 = c 2. Solução: O valor mínimo é claramente igual a zero, obtido quando uma das coordenadas x ou y ou z é igual a zero. Assim, suponhamos x, y, z.

5 Seja gx, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. Queremos resolver o sistema { fx, y, z) = λ gx, y, z) gx, y, z) = c 2, o qual pode ser reescrito como 2xy 2 z 2 = 2xλ 2x 2 yz 2 = 2yλ 2x 2 y 2 z = 2zλ x 2 + y 2 + z 2 = c 2 Multiplicando a primeira equação por x, a segunda por y e a terceira por z, temos: 2x 2 y 2 z 2 = 2x 2 λ 2x 2 y 2 z 2 = 2y 2 λ 2x 2 y 2 z 2 = 2z 2 λ x 2 + y 2 + z 2 = c 2, e conclui-se então que x 2 λ = y 2 λ = z 2 λ. Como x, y, z e λ, segue que x 2 = y 2 = z 2. Substituindo este resultado na quarta equação, temos: 3x 2 = c 2 x 2 = y 2 = z 2 = c2 3. ) Logo, para pontos x, y, z) satisfazendo as equações ), o maior valor de f na esfera é ) 3 fx, y, z) = x 2 y 2 z 2 c 2 = = c ) Considere a região espacial U = {x, y, z) R 3 } x 2 + y 2 z 2 x 2 y 2.

6 e a integral tripla a).5) Esboce a região U. I = e z dxdydz. U b).5) Escreva I na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas cilíndricas r, θ, z). Neste item não é pedido o cálculo da integral.) c).) Escreva I na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coordenadas esféricas ρ, ϕ, θ). Neste item não é pedido o cálculo da integral.) d).) Calcule I usando o método que preferir). Solução: a) Um esboço é dado pelo seguinte: b) Em coordenadas cilíndricas, as equações do paraboloide e da folha superior do cone se escrevem como z = 2 r 2 e z = r, respectivamente. Além disso, a projeção ortogonal no plano xy da curva de interseção das duas superfícies é um círculo centrado na origem de raio : 2 r 2 = r r = pois r > ). Logo, I = e z dxdydz = U 2π 2 r 2 r re z dzdrdθ.

7 c) Em coordenadas esféricas, a equação do paraboloide se escreve como: z = 2 x 2 y 2 ρ cosφ) = 2 ρ 2 sen 2 φ) Assim, I = = 2π ρ 2 sen 2 φ) + ρ cosφ) 2 = ρ = cosφ) + cos 2 φ) + 8 sen 2 φ) 2 sen 2 φ) e z dxdydz U π 4 cosφ)+ cos 2 φ)+8 sin 2 φ) 2 sin 2 φ) d) Utilizando as coordenadas cilíndricas, temos: I = = 2π = 2π = 2π 2π 2 r 2 r re z 2 r 2 r re 2 r2 = I I 2. pois ρ > ). e ρ cosφ) ρ 2 senφ) dρdφdθ. re z dzdrdθ dr re 2 r2 re r ) dr 2π dr re r dr A integral I é calculada por substituição simples basta tomar u = 2 r 2 ) I = 2π = 2π re 2 r2 2 = πe 2 r2 = π e e 2) = π e 2 e ), enquanto I 2 é calculada por partes: dr ) 2r)e 2 r2 dr I 2 = 2π re r dr = 2π re r e r ) = 2π.

8 Logo, I = I I 2 = π e 2 e 2 ).