DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CICLO BÁSICO DO CTC MAT1157 Cálculo a uma Variável A G1 09 de abril de 2012 (versão Va)

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1 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CICLO BÁSICO DO CTC PUC-RIO MAT1157 Cálculo a uma Variável A G1 09 de abril de 2012 (versão Va) Início: 15:00 Término: 16:40 Nome: Matrícula: Turma: Questão Valor Grau Revisão 1 a 2, 0 2 a 2, 0 3 a 2, 0 4 a 2, 0 Prova 8, 0 Teste 2, 0 G1 10, 0 Esta prova terá a duração de 1 hora e 40 minutos. É proibido manter celular ligado na sala de provas; não é permitido usar calculadora; não é permitido sair da sala durante a prova a não ser quando for entregá-la após decorridos os primeiros trinta minutos iniciais. Mantenha a prova grampeada; você pode fazer a prova a lápis mas dê a resposta a caneta. Ao resolver as questões esteja atento para os seguintes aspectos: O plano geral da resolução deve estar claro. As justificativas da resolução precisam ser fornecidas; respostas não justificadas não serão consideradas. Quando usar o Maple na resolução de alguma questão, deixe isto claro fornecendo os comandos de entrada no programa, a resposta dada pelo programa e o que esta lhe permitiu concluir. Explicite suas respostas. Questões sem as devidas respostas não serão consideradas.

2 Questão 1 Sejam f : [ 1, 3] R a função cujo gráfico é o semi-círculo abaixo e a função g : R R dada por g(x) = x 2 2x. f _ 1 3 (a) Dê a expressão algébrica de f. (b) Determine a equação da reta que passa pelos pontos de interseção dos gráficos de f e de g.

3 Questão 2 Considere as funções f : R R e g : R R, dadas por f(x) = (x 4) e g(x) = 9 10 x + 5. (a) Determine as coordenadas dos pontos de interseção dos gráficos de f e g. (b) Esboce a região, R, limitada pelos gráficos de f e de g. (c) Determine os valores de y para os quais os pontos (6; y) pertencem à região R.

4 Questão 3 Encontre dois números a e b que satisfaçam 2b a = 3 e tais que a soma de seus quadrados seja mínima. Resposta:

5 Questão 4 Na figura abaixo, o triângulo ACD é isósceles, com AD = CD = 4, e o triângulo ABC é retângulo com hipotenusa BC = 10. Considere x = AC. D A. C B (a) Dê o domínio e a expressão da função A(x), que fornece a área da figura sombreada em termos de x. (b) Dê uma aproximação com erro menor do que 0, 04 para o valor de x que maximiza A.

6 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CICLO BÁSICO DO CTC PUC-RIO MAT1157 Cálculo a uma Variável A G1 09 de abril de 2012 (versão Vb) Início: 15:00 Término: 16:40 Nome: Matrícula: Turma: Questão Valor Grau Revisão 1 a 2, 0 2 a 2, 0 3 a 2, 0 4 a 2, 0 Prova 8, 0 Teste 2, 0 G1 10, 0 Esta prova terá a duração de 1 hora e 40 minutos. É proibido manter celular ligado na sala de provas; não é permitido usar calculadora; não é permitido sair da sala durante a prova a não ser quando for entregá-la após decorridos os primeiros trinta minutos iniciais. Mantenha a prova grampeada; você pode fazer a prova a lápis mas dê a resposta a caneta. Ao resolver as questões esteja atento para os seguintes aspectos: O plano geral da resolução deve estar claro. As justificativas da resolução precisam ser fornecidas; respostas não justificadas não serão consideradas. Quando usar o Maple na resolução de alguma questão, deixe isto claro fornecendo os comandos de entrada no programa, a resposta dada pelo programa e o que esta lhe permitiu concluir. Explicite suas respostas. Questões sem as devidas respostas não serão consideradas.

7 Questão 1 Sejam f : [ 3, 1] R a função cujo gráfico é o semi-círculo abaixo e a função g : R R dada por g(x) = x 2 + 2x. f _ 3 1 (a) Dê a expressão algébrica de f. (b) Determine a equação da reta que passa pelos pontos de interseção dos gráficos de f e de g.

8 Questão 2 Considere as funções f : R R e g : R R, dadas por f(x) = (x 3) e g(x) = 9 10 x + 1. (a) Determine as coordenadas dos pontos de interseção dos gráficos de f e g. (b) Esboce a região, R, limitada pelos gráficos de f e de g. (c) Determine os valores de y para os quais os pontos (4; y) pertencem à região R.

9 Questão 3 Encontre dois números a e b que satisfaçam 3b a = 2 e tais que a soma de seus quadrados seja mínima. Resposta:

10 Questão 4 Na figura abaixo, o triângulo ACD é isósceles, com AD = CD = 3, e o triângulo ABC é retângulo, com hipotenusa BC = 8. Considere x = AC. C D. A B (a) Dê o domínio e a expressão da função A(x), que fornece a área da figura sombreada em termos de x. (b) Dê uma aproximação com erro menor do que 0, 04 para o valor de x que maximiza A.