Propriedades das Funções Contínuas e Limites Laterais Aula 12

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1 Propriedades das Funções Contínuas e Limites Laterais Aula 12 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 27 de Março de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma Engenharia Mecânica

2 Limites Infinitos e assíntotas verticais Consideremos a função f(x) = 1 x2. Quando x se aproxima de 0, x2 também se aproxima de 0 e 1 fica arbitrariamente grande quando x2 tomamos valores de x próximos de 0. Para indicar este fato escrevemos lim f(x) = +. x p

3 Definição (Limite Infinito) Seja f uma função e p um ponto de acumulação de D f. Então diremos que f(x) diverge para + quando x tende a p se, dado K > 0, existir δ > 0 tal que f(x) > K para todo x D f, 0 < x p < δ. Notação lim x p f(x) = +. f(x) diverge para quando x tende a p se, dado K > 0, existir δ > 0 tal que f(x) < K para todo x D f, 0 < x p < δ. Notação lim x p f(x) =. Análogamente definimos lim x p +f(x) = ± (lim x p f(x) = ± ) quando p é um ponto de acumulação à direita (esquerda) de D f.

4 Exemplo Prove que lim x = +. Dado K > 0, queremos achar δ > 0 tal que 1 x > K sempre que x < x < δ. Isto sugere que devemos tomar δ = 1. De fato, seja K K > 0 escolha δ = 1. Se 0 < x < δ, então K 0 < x < δ 1 O que mostra que lim x 0 + x = +. 1 x > 1 δ = K.

5 Definição A reta x = p é chamada de assíntota vertical da curva y = f(x) se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita: lim f(x) = +, lim x p lim f(x) =, lim x p x p +f(x) = +, lim x p +f(x) =, lim = +, x p f(x) =. x p f(x)

6 Exemplo Calcule os limites seguintes e interprete-os graficamente: 1 lim x 1 + x 1, lim 1 x 1 x 1, lim x 1 1 x 1. Temos lim +(x 1) = 0 = lim 1); (x x 1 x 1 se x > 1, então x 1 > 0; se x < 1, então x 1 < 0. Portanto lim x lim = + ; lim x 1 + x 1 x 1 x 1 = e 1 x 1 não existe nem diverge para + ou.

7 Definição Seja a > 0, a 1. A função f(x) = a x é chamada função exponencial de base a. Vejamos o que isso significa. Se x = n, um inteiro positivo, então a n = aa a }{{}. nvezes a 0 = 1. Se x = n, onde n é um inteiro positivo, então a n = 1 a n. Se x = p, onde p e q são inteiros e q > 0, então q a p/q = q a p = ( q a) p.

8 Se x for um número irracional. Considere o caso a > 1, então a x é o único número real cujas aproximações por falta são as potências a r, com r racional menor do que x e cujas aproximações por excesso são as potências a s, com s racional maior do que x. Em outras palavras, a x satisfaz a seguinte propriedade: r < x < s, com r, s Q = a r < a x < a s. Se a < 1, a x satisfaz: r < x < s, com r, s Q = a s < a x < a r. Desta forma, se olhamos o gráfico da função a x onde x racional, os buracos correspondentes aos valores irracionais de x, foram preenchidos de forma a obter uma função crescente para todos os números reais.

9 Proposição (Propriedades) Sejam a e b números positivos e x e y números reais quaisquer, então (a) a x+y = a x a y, (b) (a x ) y = a xy, (c) (ab) x = a x b x, (d) Se a > 1 a função exponencial é estritamente crescente, ou seja, se x < y então a x < a y. (e) Se 0 < a < 1 a função exponencial é estritamente decrescente, ou seja, se x < y então a x > a y.

10 Exercício: Esboce o gráfico da funções exponenciais f(x) = 2 x e ( 1 ) x. f(x) = 2 Como a função exponencial é ou crescente ou decrescente, existe a função inversa.

11 Definição A função inversa da função exponencial é chamada função logarítmica com base a e denotada por log a. Assim, log a x = y a y = x. Observação: Note que log a x está definido para x > 0, a > 0 e a 1. Além disso satisfaz log a (a x ) = x, x R e a log a x = x, x > 0.

12 Proposição (Propriedades) Sejam a > 0, a 1, b > 0, b 1. Então são válidas as seguintes propriedades (a) log a xy = log a x +log a y, (b) log a x y = y log a x, (c) log a x y = log ax log a y, (d) Se a > 1 a função logarítmica é estritamente crescente, ou seja, se x < y, então log a x < log a y, (e) Se 0 < a < 1 a função logarítmica é estritamente decrescente, ou seja, se x < y, então log a x > log a y, (f) (Mudança de base) log a x = log bx log b a.

13 Exercício: Esboce o gráfico da funções logarítmicas f(x) = log 2 x e f(x) = log1 x. 2 A função exponencial de base e onde e 2,718281, f(x) = e x, desempenha um papel importante no cálculo. Definição A função logarítmica com base e é chamada logaritmo natural e denotada por log e x = lnx. Observe que como ln(e x ) = x, tomando x = 1 temos que lne = 1. Há varias formas de introduzir o número e. No capítulo seguinte o definiremos como um limite. Mais adiante vamos definir o logaritmo natural utilizando integrais, nesse caso, o número e será o único número satisfazendo lne = 1.

14 Comentário: Definimos a função exponencial a x de forma a preencher os buracos no gráfico de a x, onde x racional. Em outras palavras, a função exponencial é contínua pela propria definição. Portanto, sua função inversa log a x também é contínua.

15 Exemplo A função f(x) = lnx x 2 é contínua em (0,+ ) e x ±1, 1 ou seja, em (0,1) e (1,+ ). Calcule o limite ( 1 x ) lim exp [R : e 1/2 ]. x 1 1 x

16 Exemplo Onde a função h(x) = ln(1+cosx) é contínua? h(x) = f(g(x)), onde f(x) = lnx e g(x) = 1+cosx que são funções contínuas. Portanto, pelo Teorema h(x) é contínua onde está definida. Agora ln(1+cosx) está definida quando 1+cosx > 0. Assim, não está definida quando cosx = 1, ou seja, quando x = ±π,±3π,...

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