O logarítmo e aplicações da integral Aula 31

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1 O logarítmo e aplicações da integral Aula 31 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 27 de Maio de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma Engenharia Mecânica

2 O logarítmo e a exponencial Agora vamos dar uma definição precisa de logarítimo (sem usar a exponenciação). A seguir utilizamos o logarítimo para definir a exponencial. Definição A função logarítmo natural é uma função definida por lnx = x 1 1 t dt, x > 0. Observação: A função lnx está bem definida pois a integral de uma função contínua sempre existe.

3 Propriedades do logarítmo. (a) ln1 = 0, (b) ln x = 1 para todo x > 0, x (c) ln(ab) = lna+lnb, para todo a,b > 0, ( a (d) ln = lna lnb, para todo a,b > 0, b) (e) ln(a r ) = r lna para todo a > 0 e r racional.

4 Gráfico do logarítmo. Como a derivada de lnx é sempre positiva, o logarítmo é crescente e como a derivada segunda é sempre negativa, ln (x) = 1/x 2, o logarítmo tem convavidade para abaixo em (0,+ ).

5 Calculemos seus limites. Utilizando a propriedade (e) com a = 2 e r = n, onde n N, temos que ln(2 n ) = nln2. Portanto ln(2 n ) + quando n +. Mas, como lnx é crescente, temos que lim lnx = +. x + Por outro lado, fazendo t = 1/x, então t + quando x 0 +. Portanto, ( ) 1 lim x 0 +lnx = lim ln = lim lnt =. t + t t +

6 Como ln1 = 0, lim x + lnx = + e lnx é uma função contínua crescente, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe um número onde lnx assume o valor 1. Esse número é denotado por e. Definição Denotamos por e o número tal que lne = 1.

7 Esta definição é consistente com a definição do número e como um limite. Provemos que lim x 0 (1+x)1/x = e. Seja f(x) = lnx. Então f (1) = 1 e pela definição de derivada 1 = f (1) = lim x 0 f(1+x) f(1) x = lim x 0 ln(1+x) 1/x = ln pois a função ln é contínua. Assim, lim x 0 (1+x)1/x = e. ln(1+x) = lim x 0 ( x lim (1+x)1/x), x 0

8 Definimos e x : R (0, ) por e x = ln 1 (x). Como ln(e x e y ) = ln(e x )+ln(e y ) = x +y = ln(e x+y ) temos que e x+y = e x e y, para todo x,y R. Como ln (x) = 1/x temos que (e x ) = e x. De fato ln(ln 1 (x)) = x temos que ln (ln 1 (x))(ln 1 ) (x) = (ln 1 ) (x) ln 1 (x) = 1 e (e x ) = e x. Definimos log a x = ln(x)/ln(a) e a x = (log a ) 1 x e a x = y implica que x = log a (y) = ln(y)/ln(a) e a x = y = e xln(a)

9 Seja S um sólido qualquer. Interceptamos S com um plano e obtemos uma região plana que é chamada de secção transversal de S. Seja A(x) a área de secção transversal perpendicular ao eixo x e passando pelo ponto x, onde a x b. Seja P = (x i ) uma partição de [a, b]. Vamos dividir S em n fatias usando os planos P x1,,p xn 1. Escolhemos pontos c i [x i 1, x i ] e aproximamos a i-ésima fatia S i por um cilindro com área de base A(c i ) e altura x i.

10 O volume deste cilindro é A(c i ) x i ; assim, uma aproximação para o volume da i-ésima fatia S i é V(S i ) A(c i ) x i. Somando os volumes destas fatias obtemos uma aproximação para o volume total n V A(c i ) x i. i=1 Fazendo P = max 1 i n x i 0, esta aproximação parece melhorar. Portanto, definimos o volume do sólido S por V = lim P 0 n A(c i ) x i = i=1 b a A(x) dx.

11 Em particular, se S é o conjunto obtido por rotação, em torno do eixo x, do conjunto então A = {(x,y) R 2, a x b, 0 y f(x)}, A(x) = π[f(x)] 2. Portanto, o volume do sólido S obtido por rotação, em torno do eixo x, do conjunto A é V = π b a [f(x)] 2 dx.

12 Exemplo Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região sob a curva y = x de 0 até 4. Quando fatiamos através do ponto x, obtemos um disco com raio x. A área desta secção transversal é Portanto, o volume do sólido é V = 4 0 A(x) = π( x) 2 = πx. A(x)dx = π 4 0 x dx = π x = 8π.

13 Para determinar o volume de um sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y, de uma região compreendida entre o eixo y e uma curva x = R(y), c y d, usamos o método com x substituído por y. Nesse caso, a secção transversal circular é A(y) = π[r(y)] 2 e o volume V = d c A(y)dy.

14 Exemplo Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, da região compreendida entre o eixo y e a curva x = 2 y, 1 y 4. O volume é V = 4 1 A(y)dy = π 4 1 ( ) 2 2 dy = 4π( 1 ) 4 = 3π. y y 1

15 Exemplo Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto A = { (x,y) R 2 ; } 1 x y x, 1 x 2.

16 O volume V = V 2 V 1, onde V 2 e V 1 são os volumes obtidos pela rotação, em torno do eixo x, dos conjuntos A 2 = { (x,y) R 2 ;0 y x, 1 x 2 } e Assim, A 1 = {(x,y) R 2 ; 0 y 1x }, 1 x 2. V 2 = π 2 1 x 2 dx = 7π 3 Portanto, V = 7π 3 π 2 = 11π V 1 = π 1 x 2 dx = π 2.

17 Exemplo Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, da região compreendida entre a parábola y = x 2 e a reta y = 2x no primeiro quadrante. A reta e a parábola se cortam em y = 0 e y = 4, portanto os limites de integração são c = 0 e d = 4. O volume V = V 2 V 1, são os volumes dos sólidos obtidos pela rotação, em torno do eixo y, das curvas R(y) = y e r(y) = y, respectivamente. Assim, 2 V 2 = π 4 0 ( y) 2 dy = 8π V 1 = π Portanto, V = 8π 16π 3 = 8π y 2 4 dy = π16 3.