CÁLCULO I. 1 Velocidade Instantânea. Objetivos da Aula. Aula n o 04: Limites e Continuidade. Denir limite de funções; Calcular o limite de uma função;

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1 CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 04: Limites e Continuidade Objetivos da Aula Denir ite de funções; Calcular o ite de uma função; Utilizar as propriedades operatórias do ite para calcular o ite de uma função; Denir função contínua; Reconhecer uma função contínua através do seu gráco; 1 Velocidade Instantânea Considere o seguinte problema: Exemplo 1. Uma bola é solta a partir do ponto de observação no alto da Torre CN, em Toronto, 450 m acima do solo. Desprezando a resistência do ar, encontre a velocidade da bola após 5 segundos. De acordo com a Lei de Galileu, temos que a posição da bola s(t), medida em metros, e em função do tempo t, medido em segundos é dado pela equação: s(t) = 4, 9t 2 A diculdade em encontrar a velocidade após 5 segundos, está em tratarmos de um único instante, t = 5, e não de um intervalo de tempo. Com isso, tentaremos aproximar a quantidade desejada pelas velocidade médias calculados em intervalos de tempo cada vez menores e próximos de t = 5. Dessa forma, fazendo alguns cálculos, obtemos a seguinte tabela: Intervalo de Tempo(t) Velocidade Média(m/s) 5 t 6 53, 9 5 t 5, 1 49, 49 5 t 5, 05 49, t 5, 01 49, t 5, , 0049 E a partir desses dados, conseguimos notar que sempre que os intervalos de tempo em torno de t = 5 cam cada vez menores, temos que as velocidades médias se aproximam da velocidade 49m/s. Então, esperamos que exatamente em t = 5 segundos, a velocidade seja cerca de 49m/s. Dito isto, denimos a velocidade instantânea no instante t 0, como sendo a velocidade para a qual as velocidades médias se aproximam, sendo essas calculadas em intervalos de tempo cada vez menores, começando em t 0. No caso do nosso exemplo, a velocidade instantânea da bola, no instante t = 5, é de 49m/s. Dizer que tomamos intervalos de tempo cada vez menores e próximos de um instante t 0, pode ser escrito como t t 0 (Lê-se: t tende a t 0 ). Na próxima seção, utilizaremos as noções discutidas aqui para determinar o ite de uma função. 1

2 2 Limite de Uma Função Conforme visto na seção anterior, podemos conjecturar sobre o valor da velocidade instantânea de um objeto, vericando para qual valor as velocidades médias tendem em intervalos de tempo cada vez menores. Podemos também aplicar esse raciocínio para encontrar um número real L para o qual uma função f(x) se aproxima, quando x tende a um número a. Dito isso, vamos considerar o seguinte exemplo: Exemplo 2. Analise o comportamento da função f(x) = x 2 5x + 6 quando x se aproxima de 1. Utilizando as seguintes tabelas x f(x) 0, 5 3, 75 0, 75 2, 81 0, 9 2, 31 0, 99 2, , 998 2, , , x f(x) 1, 1 1, 71 1, 01 1, , 005 1, , , , , , , podemos observar que sempre que x se aproxima de 1, f(x) assume valores muito próximos de 2. Dessa forma podemos utilizar a notação de ite e escrever x 1 (x2 5x + 6) = 2 Dessa forma, podemos determinar uma denição intuitiva de ite, como segue: Denição 1 (Denição Intuitiva de Limite). Suponha que f(x) esteja denido quando está próximo de a (Isso signica que f está denido em algum intervalo aberto que contenha a, exceto possivelmente no próprio a). Então escrevemos: e dizemos f(x) = L o ite de f(x) quando x tende a a é L se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximos de L quanto quisermos), tornando x sucientemente próximo de a (por ambos os lados de a), mas não igual a a. Podemos utilizar a notação f(x) L se x a para representar que L = f(x). Um fato importante a ser destacado na denição é a frase: x está próximo de a, mas não igual a a, pois f nem sequer precisa estar denida em a para que se tenha o ite L, pois o que importa é o comportamento de f próximo ao ponto a. As guras abaixo, ilustram esse fato. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2

3 Figura 1: A função f está denida em a e f(a) = L Figura 2: A função f está denida em a, mas f(a) L Figura 3: A função f não está denida em a Vamos utilizar a denição 1 para determinar o ite das funções nos seguinte exemplos. Exemplo 3. Estime o valor de x 1 x 1 x 2 1. Observe que a função f(x) = x 1 x 2 não está denida em x = 1. Então, como zemos antes, 1 vamos considerar pontos próximos de 1. E assim, obtemos as seguintes tabelas: x < 1 f(x) 0, 5 0, , 9 0, , 99 0, , 999 0, , , x > 1 f(x) 1, 5 0, , 1 0, , 01 0, , 001 0, , , Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 3

4 e, através dela podemos observar que x 1 x 1 x 2 1 = 1 2 E esse fato pode ser conrmado pelo gráco da função f. Figura 4: Gráco da função f(x) = x 1 x 2 1 Exemplo 4. Faça uma estimativa para x 0 senx x. Primeiramente, note que f(x) = senx x f( x) = sen( x) x é par, pois = senx x = senx x = f(x) Logo, utilizando o fato de f(x) ser par, construímos a seguinte tabela: Desse modo, podemos inferir que E essa armação pode ser vista pelo gráco de f x f(x) ±1, 0 0, ±0, 5 0, ±0, 4 0, ±0, 3 0, ±0, 2 0, ±0, 1 0, ±0, 05 0, ±0, 01 0, ±0, 005 0, ±0, 001 0, senx x 0 x = 1 Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4

5 Exemplo 5. Analise Figura 5: Gráco da função f(x) = senx x ). ( π sen x 0 x ( π ) Note que f(x) = sen não está denida em x = 0. Então, procedendo como anteriormente, x utilizamos a seguinte tabela x f(x) 1 0 0, 5 0 0, , 2 0 0, 1 0 0, , , , , ( π ) Dessa forma, somos levados a acreditar que sen = 0. Mas isso não é verdade, pois observando a x 0 x tabela a seguir: x f(x) 2/ / / / / / / / / /137 1 x f(x) 2/ / / / / / / / / /139 1 Logo, nossa conjectura de que ( π ) sen = 0 x 0 x Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5

6 não é verdade, pois encontramos até innitos pontos próximos de 0 cujas imagens não se aproximam de 0. Pensando nisso, devemos encontrar uma denição mais precisa de ite de uma função. Sendo assim, considere o seguinte exemplo: Exemplo 6. Seja Determine x 3 f(x). f(x) = { 2x 1 se x 3 6 se x = 3 Para determinarmos o ite pedido, notamos intuitivamente que se tomarmos x próximo de 3, mas x 3, temos que f(x) = 5. Porém, buscamos um modo de vericar essa armação, e assim x 3 tornar mais precisas as frases x sucientemente próximo de a e f(x) arbitrariamente próximo de L contidas na denição 1. Sendo assim,devemos nos fazer a seguinte pergunta: Quão próximo de a, x deve estar para que f(x) dira de L por menos uma quantidade pré-xada? Ou utilizando o nosso exemplo, Quão próximo de 3, x dever estar para que f(x) dira de 5 por menos uma quantidade pré-xada? Essa quantidade pré-xada será representada pela letra grega ε (épsilon). Quando falamos de proximidade de dois números, falamos de distância entre eles, que é justamente o módulo da diferença entre os mesmos, ou seja, nossa indagação pode ser reescrita como o seguinte problema: Ou para o nosso exemplo: É possível encontrar um número δ > 0 tal que 0 < x a < δ garanta que f(x) L < ε para todo ε > 0 É possível encontrar um número δ > 0 tal que 0 < x 3 < δ garanta que f(x) 5 < ε para todo ε > 0 A partir desse momento, vamos analisar o exemplo dado. Suponha que ε = 0, 1. Ou seja nosso questionamento agora é: encontrar δ > 0 tal que 0 < x 3 < δ f(x) 5 < 0, 1 Para encontrar esse δ > 0, podemos utilizar o seguinte procedimento: (i) Conjecturar sobre o valor de δ > 0; (ii) Vericar se o valor de δ encontrado no passo anterior é válido. Agora, vamos utilizar esse procedimento no nosso exemplo. (i) Conjecturar sobre o valor de δ. Vamos imaginar que existe δ > 0 tal que se tomarmos x 3, mas a uma distância δ de 3, obtemos que f(x) 5 < 0, 1 Desse modo, (2x 1) 5 < 0, 1 2x 6 < 0, 1 2(x 3) < 0, 1 2. x 3 < 0, 1 2 x 3 < 0, 1 x 3 < 0, 05 Agora, note que para que f(x) 5 < 0, 1 temos que adotar δ = 0, 05. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6

7 (ii) Vericar se o δ encontrado é válido. Para isso, fazemos 0 < x 3 < 0, 05, e obtemos pelas propriedades de módulo e das desigualdades que 0 < x 3 < 0, 05 0, 05 < x 3 < 0, 05 0, 1 < 2(x 3) < 0, 1 0, 1 < (2x 1) 5 < 0, 1 (2x 1) 5 < 0, 1. Mas se tomarmos ε = 0, 01? Procedemos da mesma forma e obtemos δ = 0, 005. E se ε = 0, 0001? Utilizamos o mesmo procedimento e garantimos que δ = 0, Então,e se considerarmos qualquer ε > 0? Qual o valor de δ? Vamos utilizar o procedimento acima: (i) Conjecturar sobre o valor de δ. Considere que existe δ > 0 tal que se tomarmos 0 < x 3 < δ, obtemos que f(x) 5 < ε. Dessa forma, (2x 1) 5 < ε 2x 6 < ε 2. x 3 < ε x 3 < ε 2 Então encontramos que δ = ε 2 (ii) Vericar se o valor de δ é válido. Tomando δ = ε 2, obtemos que 0 < x 3 < ε 2. Logo, 0 < x 3 < ε 2 ε 2 < x 3 < ε 2 ε < 2x 6ε (2x 1) 5 < ε Desse modo, podemos denir ite mais precisamente através da seguinte denição: Denição 2 (Limite de Uma Função). Seja f uma função denida em um intervalo aberto que contenha o número a, exceto possivelmente no próprio a. Então, dizemos que o ite de f quando x tende a a é L e escrevemos f(x) = L se para todo número ε > 0 existe um número δ > 0 tal que Se 0 < x a < δ então f(x) L < ε Podemos também reformular a denição 2 em notação de intervalos, pois 0 < x a < δ δ < x a < δ a δ < x < a + δ Mostrando que x pertence ao intervalo aberto (a δ, a + δ). E 0 < f(x) L < ε ε < f(x) L < ε L ε < f(x) < L + ε Mostrando que f(x) pertence ao intervalo aberto (L ε, L + ε). E assim, f(x) = L signica que para todo ε > 0 podemos encontrar δ > 0 tal que se x (a δ, a + δ) então f(x) (L ε, L + ε). Uma interpretação geométrica do ite de uma função é dada em termos do seu gráco. Para isso, considere o seguinte gráco de uma função f, tal que f(x) = L. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 7

8 Figura 6: Representação Geométrica do Limite (1) Agora, representaremos o ite L por uma reta tracejada paralela ao eixo x. Figura 7: Representação Geométrica do Limite(2) Sendo assim, representamos o intervalo (L ε, L + ε), e desenhamos uma faixa de amplitude 2ε e que contenha a reta que passa por L Figura 8: Representação Geométrica do Limite(3) Feito isso, podemos determinar um intervalo (a δ, a + δ) no domínio tal que o gráco da função f nos pontos desse intervalo ca totalmente contido na faixa y = L ε a y = L + ε. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 8

9 Figura 9: Representação Geométrica do Limite(4) Note que se diminuirmos mais o valor de ε, estamos encurtando a faixa que contém L, mas mesmo assim, conseguimos achar outro δ tal que o ocorrido no passo anterior aconteça novamente. Figura 10: Representação Geométrica do Limite(5) Sendo assim, vamos a alguns exemplos: Exemplo 7. Vamos mostrar que c = c (O Limite da função constante é a própria constante). Vamos utilizar o procedimento. (i) Conjecturar sobre o valor de δ. f(x) c < ε. Mas note que Suponha que existe δ > 0 tal que se 0 < x a < δ então f(x) c = c c = 0 < ε Logo, δ pode ser qualquer valor positivo. A vericação é imediata. Exemplo 8. Vamos mostrar que x = a. Mais uma vez, fazendo uso do procedimento, temos que (i) Conjecturar sobre o valor de δ. Suponha que existe δ tal que se 0 < x a < δ então f(x) a < ε. Sendo assim, f(x) a < ε x a < ε Assim, δ = ε. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 9

10 (ii) Vericação do Valor de δ. Se δ = ε, então 0 < x a < ε. Logo, 0 < x a < ε ε < x a < ε ε < f(x) a < ε f(x) a < ε Exemplo 9. Prove que x 2 (4x 5) = 3 (i) Conjecturar sobre o valor de δ. Queremos determinar δ > 0 tal que se 0 < x 2 < δ então f(x) 5 < ε, para todo ε > 0. Porém, note que f(x) 3 = (4x 5) 3 = 4x 8 = 4(x 2) = 4 x 2 < ε x 2 < ε 4 Logo, δ = ε 4. (ii) Vericar se o valor de δ é válido. Se tomarmos δ = ε 4, então 0 < x 2 < ε 4 ε 4 < x 2 < ε 4 ε < 4x 8 < ε (4x 5) 3 < ε Exemplo 10. Verique que x 3 x 2 = 9. (i) Conjecturar sobre o valor de δ. Vamos determinar o valor de δ > 0 tal que se 0 < x 3 < δ então f(x) 9 < ε. Logo, notamos que f(x) 9 = x 2 9 = (x 3)(x + 3) = x 3 x + 3 Agora, queremos estimar x + 3, ou seja, encontrar uma constante C > 0 tal que x + 3 < C, pois assim, x + 3 x 3 < C x 3 E assim, podemos fazer C x 3 < ε x 3 < ε C = δ Como queremos números x bem próximos de 3, não é absurdo supor que x 3 < 1 (1) Então, x 3 < 1 1 < x 3 < 1 2 < x < 4 (2) Pela propriedades das desigualdades, temos por 2 que 5 < x + 3 < 7 7 < 5 < x + 3 < 7 7 < x + 3 < 7 x + 3 < 7 (3) Logo a constante procurada é C = 7. Mas observe que agora temos duas restrições para δ. x 3 < 1 e x 3 < ε 7 Logo, escolhemos { δ = min 1, ε } 7 Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 10

11 { (ii) Vericar se δ é válido. Seja δ = min 1, ε } e que 0 < x 3 < δ. Note que 7 Agora, se δ = ε 7 então, f(x) 9 = x 2 9 = x + 3 x 3 < 7δ f(x) 9 = x 2 9 = x + 3 x 3 < 7δ = 7 ε 7 = ε Se δ = 1, então 1 < ε 7. Logo, f(x) 9 = x 2 9 = x + 3 x 3 < 7δ = 7.1 < 7 ε 7 = ε Em todos os casos, obtemos que f(x) 9 < ε Note que para a função quadrática, mostrar um ite pela denição apresenta certa diculdade, imagine se tivermos a função: f(x) = x3 4x 7 + 6x 11 x 4 x Por isso, na próxima seção utilizaremos alguns resultados que nos permite calcular o ite de outras funções utilizando apenas as funções elementares. 2.1 Propriedades de Limites Teorema 1. Supondo c uma constante e que os ites existem, então: f(x) e g(x) 1. [f(x) + g(x)] = f(x) + g(x) (O ite da soma é a soma dos ites); 2. [f(x) g(x)] = f(x) g(x) (O ite da diferença é a diferença dos ites); 3. [cf(x)] = c f(x) (O ite do produto por uma constante é a constante vez o ite da função); 4. [f(x).g(x)] = f(x) g(x) (O ite do produto é o produto dos ites); f(x) f(x) 5. Se g(x) 0 e g(x) 0 então g(x) = ites). Vamos analisar alguns exemplos: Exemplo 11. Verique que x 2 = a 2, para qualquer a R. (O ite do quociente é o quociente dos g(x) Sabemos pelo exemplo 8 que x = a. Logo, tomando f(x) = x e g(x) = x, segue da propriedade (4) que x2 = x.x = x. x = a.a = a 2 Exemplo 12. Verique que x 2 ( 3x 2 + 2x + 10) = 2. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 11

12 Sabemos que x 2 x2 = 2 2 = 4 x 2 = 2 x 2 10 = 10 Então, segue do teorema 5 que x 2 ( 3x2 + 2x + 10) = ( 3x 2 ) + 2x + 10 (Propriedade 1) x 2 x 2 x 2 ( ( ) = 3 x2) + 2 x + 10 (Propriedade 3) x 2 x 2 x 2 = = 2 Mediante os dois últimos exemplos podemos enunciar o seguinte resultado. Teorema 2. Seja f uma função polinomial dada por f(x) = c n x n + c n 1 x n c 1 x + c 0 Então f(x) = c na n + c n 1 a n c 1 a + c 0 O teorema acima pode ser provado utilizando o teorema 5. Em posse desse resultado, podemos resolver o seguinte exemplo: Exemplo 13. Calcule Pelo teorema 2, obtemos que x 1 (x5 + 7x 4 12x 3 + 6x 2 10x + 1). x 1 (x5 + 7x 4 12x 3 + 6x 2 10x + 1) = ( 1) ( 1) 4 12.( 1) ( 1) ( 1) + 1 = = 15 Exemplo 14. Calcule x 2 1 x 5 x Note que g(x) = x para todo x D g. Observe também que E que, Então, pela propriedade (5), obtemos que x 5 x2 1 = ( 5) 2 1 = 25 1 = 24 x 5 x2 + 2 = ( 5) = = 26 0 x 2 1 x 5 x = x 5 x2 1 x 5 x2 + 1 = = A proposição seguinte será enunciada sem demonstração. Proposição 1. n x = n x, para todo a > 0. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 12

13 A ideia da sua demonstração será dada nas aulas seguintes. O próximo resultado será de grande utilidade para nossos cálculos e reforça a ideia de que para existir o ite f(x), f não precisa estar denida em a. Teorema 3. Sejam f e g duas funções. Se existir δ > 0 tal que f(x) = g(x) para a δ < x < a + δ, x a e se g(x) existir, então f(x) também existirá e Exemplo 15. Calcule: (a) (b) (c) (d) x 2 1 x 1 x 1 ; x 3 x 2 x 1 x 3 x 3 ; 3 x 3 2 ; x 2 x 1. 2x f(x) = g(x). (i) Note que não podemos utilizar o teorema 5, pois x 1 = 0 x 1 Então vamos tentar utilizar o teorema 3. Desse modo, devemos encontrar uma função g(x) tal que f(x) = g(x) em todo ponto próximo de 1, tal que g(x) exista. Notando pela denição da função x 1 f(x), notamos que f(x) = x2 1 x 1 = (x 1)(x + 1) x 1 Como consideramos pontos x próximos de 1, mas que x 1, então temos que x 1 0. Dessa forma, podemos fazer: x 2 1 x 1 = (x 1)(x + 1) x = x Logo, considerando g(x) = x+1, temos que f(x) = g(x) para todos os pontos próximos de 1, exceto o 1. E sabemos que x 1 x + 1 = 2. Então, pelo teorema 3, temos que f(x) = x + 1 = 2 x 1 x 1 Observação 1. Nos próximos exemplos, não detalharemos tanto as contas, porém, os detalhes omitidos são análogos ao item (a). (b) Nossa intenção é utilizar o teorema 3, pois x 3 = 0 x 3 Logo, para pontos x próximos de 3, mas x 3, temos f(x) = x 3 x 3 = = = x 3 ( x) 2 ( 3) 2 x 3 ( x + 3) ( x 3) 1 x + 3 Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 13

14 Logo, x 3 1 = = 1 x 3 x 3 x 3 x (c) Utilizaremos o teorema 3. Sendo assim, x 2 3 x 3 2 x 2 3 x 3 2 = x 2 ( 3 x) 3 ( 3 2) 3 3 = x 3 2 x 2 ( 3 x 3 2)(( 3 x) x ( 3 2) 2 )) 1 = x 2 ( 3 x) x ( 3 2) 2 1 = (d) Utilizando o teorema 3 e o teorema 5, obtemos que Agora, note que x 1 x 1 ( x 1)( 2x ) = 2x x 1 ( 2x + 3) 2 ( 5) 2 x 1)( 2x ) = 2x ( x 1)( 2x ) = x 1 2x 2 ( x 1)( 2x ) = x 1 2(x 1) x 1 2x = x 1 x 1 x 1 2 x 1 ( x 1 x 1 x 1 x 1 = x 1 ( x) 2 ( 1) 2 = x 1 x 1 ( x 1)( x + 1) 1 = x 1 x + 1 = 1 2 E note também que x 1 2x = = = 5 Logo, x 1 x 1 5 = 2x Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 14

15 3 Funções Contínuas Denição 3. Seja I um intervalo e a I, dizemos que uma função f : I R é contínua em a se f(x) = f(a) Observação 2. Para que f seja contínua em a, devem ser satisfeitas as seguintes armações: (1) f está denida em a; (2) f(x) existe e; (3) f(x) = f(a). Exemplo 16. As funções f, g : R R dada por f(x) = c e g(x) = x são contínuas em todo a R. Seja a um número real qualquer. Então f(x) = c = c = f(a) E também g(x) = x = a = g(a) Logo, as funções constante e identidade são contínuas Observação 3. Dizemos que uma função é contínua em um intervalo I se ela é contínua em todos os x I. Gracamente, podemos reconhecer o gráco de uma função contínua como sendo um gráco sem problemas, em outras palavras, um gráco em que possamos traçá-lo sem tirar o lápis do papel, ou seja um gráco que não apresenta furos e saltos. O seguinte gráco exemplica tal ideia. Se f não atende a denição 3 em a é chamada descontínua em a. Gracamente, podemos reconhecer que uma função é descontínua se o seu gráco apresenta furos e saltos, tais como os grácos dos seguintes exemplos: Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 15

16 Figura 11: Gráco de uma função descontínua(1) Figura 12: Gráco de uma função descontínua(2) Figura 13: Gráco de uma função descontínua(2) Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 16

17 Figura 14: Gráco de uma função descontínua(3) Como é do nosso interesse efetuarmos certos cálculos com funções contínuas, exibiremos o próximo teorema que lista as principais funções contínuas. Teorema 4. As seguintes funções são contínuas em seus respectivos domínios: (i) Polinomiais; (ii) Racionais; (iii) Exponenciais; (iv) Trigonométricas; (v) Potências; (vi) Logarítmicas. Mostraremos alguns exemplos de utilização desse teorema. Exemplo 17. Calcule: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) x 2 5x 2 6x + 2; 3x 2 + 2x x 3 5x 10 ; x 1 e x ; x 0 senx; cos x; x 4π x 10 5 x; ln x. x 25 (a) Utilizando o teorema 4, obtemos que x 2 5x2 6x + 2 = = = 10 Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 17

18 (b) Fazendo f(x) = 3x2 + 2x 5x 10, temos que = 5 0. Logo, 3 D f. Dessa forma, 3x 2 + 2x x 3 5x 10 = = 33 5 (c) (d) (e) (f) (g) x 1 e x = e ( 1) = e 1 = e senx = sen 0 = 0 x 0 cos x = cos(4π) = 1 x 4π x 10 5 x = 5 10 ln x = ln 25 = ln x = 2 ln Operações com Funções Contínuas O resultado dessa seção é de grande importância para efetuarmos cálculos com funções contínuas. Teorema 5. Sejam f, g : I R funções contínuas em a I e considere c uma constante. Então, (i) f + g é contínua em a e (f + g)(x) = f(a) + g(a); (ii) f g é contínua em a e (f g)(x) = f(a) g(a); (iii) cf é contínua em a e (cf)(x) = cf(a); (iv) fg é contínua em a e (fg)(x) = f(a)g(a); (v) Se além disso, g(a) 0 então f g ( ) f é contínua em a e (x) = f(a) g g(a) Os seguintes exemplos ilustram bem a utilização do teorema 5. Exemplo 18. Calcule: (a) (b) (c) (d) (e) x 2 6x + 2 x 2 x 3 4x + 5 ; x 2 + ln x 6sen x x 5 x 2 16x 2x cosx + 1 x 0 2x 1 x 2π ex (tgx + cossecx); x 3 (x 2 6x)(3x 5)(x 10). ; ; Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 18

19 (a) Escrevendo onde h(x) = x2 6x + 2 x 3 4x + 5 = f(x) g(x) f(x) = x 2 6x + 2 e g(x) = x 3 4x + 5. Podemos entender f(x) e g(x) como soma de funções: dadas por f(x) = f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) e g(x) = g 1 (x) + g 2 (x) + g 3 (x) f 1 (x) = x 2 f 2 (x) = 6x f 3 (x) = 2 g 1 (x) = x 3 g 2 (x) = 4x g 3 (x) = 5 Note que as funções f 1 (x), f 2 (x),f 3 (x), g 1 (x), g 2 (x) e g 3 (x) são contínuas. Então, pelo teorema 5 (i) temos que f(x) e g(x) são contínuas. Sendo assim, e Como g( 2) 0 então, segue do item (v) que f(x) = x 2 ( 2)2 6.( 2) + 2 = 18 g(x) = x 2 ( 2)3 4.( 2) + 5 = 5 f(x) h(x) = x 2 x 2 g(x) = 18 5 Os próximos ites serão calculados diretamente, sem explicitar todos os passos do cálculo. (b) Considere h(x) = x2 + ln x + 6sen x x 2 16x = f(x) g(x) Noter que f(x) e g(x) são funções contínuas, pois são soma e diferença de funções contínuas. Agora, note que g(5) = = = 55 0 Logo, pelo teorema 5 (v), temos que (c) Observe que x 2 + ln x + 6sen x x 5 x 2 = 52 + ln 5 6sen ln 5 6sen 5 16x 5 2 = h(x) = 2x cosx + 1 f(x) 2x 1 g(x) em que f(x) = 2x cosx + 1 e g(x) = 2x 1. Note que f(x) e g(x) são contínuas, pois são soma de funções contínuas. Agora, como então, segue do teorema 5 (v) que g(0) = = 1 0 2x cosx cos = = 0 x 0 2x = 0 Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 19

20 (d) Consideremos h(x) = e x (tgx + cossecx) = f(x).g(x) onde f(x) = e x e g(x) = (tgx + cossecx). Como f(x) e g(x) são contínuas, então segue do teorema 5, item (iv), que (e) Note que podemos escrever x 2π ex (tgx + sec x) = e 2π (tg2π + sec 2π) = e 2π (0 + 1) = e 2π p(x) = (x 2 6x)(3x 5)(x 10) = f(x)g(x)h(x) em que f(x) = x 2 6x, g(x) = 3x 5 e h(x) = x 10. Note que f(x), g(x) e h(x) são contínuas, pois são soma de funções contínuas. Logo, segue do teorema 5, item (iv), que x 3 (x2 6x)(3x 5)(x 10) = ( )(3.3 5)(3 10) = ( 9).4.( 7) = 252 Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as denições dadas. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas e do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das páginas 79, 80, 88 91, , e do livro texto. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 20