EXPRESSÕES E FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS

Transcrição

1 EXPRESSÕES E FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS (Unicamp 06) Considere a função f() 5, definida para todo número real. a) Esboce o gráfico de y f() no plano cartesiano para. b) Determine os valores dos números reais a e b para os quais a equação log a( b) f() admite como soluções e 6.. (Afa 06) Considere a função real f definida por f() a com a ] 0, [ Sobre a função real g definida por g() b f() com b ], [, é correto afirmar que a) possui raiz negativa e igual a log a( b) b) é crescente em todo o seu domínio. c) possui valor máimo. d) é injetora. 3. (Unesp 06) A figura descreve o gráfico de uma função eponencial do tipo y a, de em. Página de

2 EXPRESSÕES E FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS - 06 Nessa função, o valor de y para a) log5 b) log5 c) 5 d) log 5 e),5 0,5 é igual a. (Ita 06) Se é um número natural com 05 dígitos, então o número de dígitos da parte inteira de 7 é igual a a) 85. b) 86. c) 87. d) 88. e) (Ita 06) Considere as seguintes afirmações: I. A função f() log0 II. A equação III. A equação 3 É (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. d) I, II e III. e) apenas III. é estritamente crescente no intervalo ], [. possui uma única solução real. ( ) admite pelo menos uma solução real positiva. 6. (Ita 06) Seja (a, a, a 3, ) a sequência definida da seguinte forma: a 000 e an log 0( a n) para n. Considere as afirmações a seguir: I. A sequência (a n ) é decrescente. II. an 0 para todo n. III. an para todo n 3. É (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. d) I, II e III. e) apenas III. 7. (Fuvest 06) Considere as funções f e g definidas por f() log ( ), se,, g() log, se,. 3 a) Calcule f, f(), f(3), g( ), g(0) e g(). b) Encontre,, tal que f() g(). Página de

3 EXPRESSÕES E FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS - 06 c) Levando em conta os resultados dos itens a) e b), esboce os gráficos de f e de g no sistema cartesiano abaio. 8. (Ita 06) Seja f a função definida por f() log ( 8). Determine: a) O domínio D f da função f. b) O conjunto de todos os valores de Df tais que f(). c) O conjunto de todos os valores de Df tais que f(). 9. (Unesp 06) Um torneio de futebol será disputado por 6 equipes que, ao final, serão classificadas do º ao 6º lugar. Para efeitos da classificação final, as regras do torneio impedem qualquer tipo de empate. Considerando para os cálculos log 5! e log 0,3, a ordem de grandeza do total de classificações possíveis das equipes nesse torneio é de a) bilhões. b) quatrilhões. c) quintilhões. d) milhões. e) trilhões. 0. (Fuvest 06) Use as propriedades do logaritmo para simplificar a epressão O valor de S é S log 06 5 log 06 0 log a) b) 3 c) 5 d) 7 e) 0 Página 3 de

4 EXPRESSÕES E FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS (Fac. Albert Einstein - Medicina 06) Uma pesquisa foi desenvolvida a partir de 50 bactérias de uma cultura. Estimou-se então, de maneira aproimada, que, durante certo tempo, o aumento percentual do número de bactérias na cultura poderia ser obtido pela epressão B(t) 30 log 3(t ) 50, em que t é o tempo decorrido, em minutos, após o início da pesquisa, Nessas condições, ao fim da primeira hora da pesquisa, quantas bactérias havia em tal cultura? a) 35 b) 00 c) 50 d) 55. (Aman 06) Fazendo n5 temos que primos entre si. Logo a b é igual a a) 8 b) 9 c) 0 d) 5 e) 5 a y e e, a e b *, a e b b 3. (Unicamp 06) A solução da equação na variável real, log ( 6), é um número a) primo. b) par. c) negativo. d) irracional.. (Mackenzie 06) A equação do º grau distintas, se a) t 0 b) t c) t 0 ou t d) 0 t e) 0 t ou t 00 logt 0,5 logt 0 tem duas raízes reais 5. (Usf 06) O número de bactérias de uma determinada cultura pode ser modelado t utilizando a função B(t) 800 0, sendo B o número de bactérias presentes na cultura e t o tempo dado em horas a partir do início da observação. Aproimadamente, quantas horas serão necessárias para se observar bactérias nessa cultura? Considere log 0,30. a) 0 horas. b) 50 horas. c) 0 horas. d) 50 horas. e) 00 horas. 6. (Fgv 06) A lei de Benford, também chamada de lei do primeiro dígito, sugere que, em vários conjuntos de dados numéricos, a ocorrência dos algarismos de a 9 no início dos números (da esquerda para a direita em cada número) do conjunto de dados não é igualmente provável. A lei se verifica em diversos conjuntos de dados reais como, por eemplo, o conjunto das populações dos diversos municípios de um país, o conjunto dos dados numéricos contidos nas contas de energia elétrica da população de um município, o conjunto dos comprimentos dos rios de um país etc. Página de

5 EXPRESSÕES E FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS - 06 Quando a lei de Benford se aplica aos dados analisados, a probabilidade P(n) de que o algarismo n seja o primeiro algarismo em um dado numérico qualquer do conjunto de dados n será P(n) log. n Por eemplo, se a lei se aplica, a probabilidade de que o algarismo (n ) seja o primeiro (da esquerda para a direita) em um número sorteado ao acaso do conjunto de dados é igual a log, ou seja, aproimadamente 30%, já que log 0,30. Admita que os dados numéricos indicados na tabela tenham sido retirados da declaração de imposto de renda de um contribuinte. Também admita que a Receita Federal tenha a epectativa de que tais dados obedeçam, ainda que aproimadamente, à lei de Benford. Tabela a) Complete a tabela na página de resolução e resposta, registrando a frequência do primeiro dígito (da esquerda para a direita) dos dados da tabela para os casos em que n, n 3 e n. Registre também a frequência relativa desses algarismos (ver eemplo para o caso em que n ). n 3 Frequência de n 9 Frequência relativa de n b) Admita que uma declaração de imposto de renda vai para a malha fina (análise mais detalhada da Receita Federal) se a diferença, em módulo, entre a frequência relativa do primeiro dígito, em porcentagem, e a probabilidade dada pelo modelo da lei de Benford, também em porcentagem, seja maior do que quatro pontos percentuais para algum n. Argumente, com dados numéricos, se a declaração analisada na tabela deverá ou não ir para a malha fina. Adote nos cálculos log 0,30 e log 3 0,8. Página 5 de

6 EXPRESSÕES E FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS - 06 Gabarito: Resposta da questão : a) Fazendo os cálculos, tem-se: f() 5 f( ) (,3) f( ) 5 0 (,0) f(0) 5 (0, ) f() 5 3 (, 3) f(3) (3,0) f() (,3) Montando o gráfico: b) Substituindo uma das raízes dadas e desenvolvendo a equação: log a( b) 5 0 log a( b) 5 log a( b) 0 a b b b Substituindo a segunda raiz dada e desenvolvendo a equação: log a( b) log a(6 ) log a(8) 9 a 8 a 8 a Assim, os valores dos números reais a e b são 3 e, respectivamente. Resposta da questão : [A] Analisando as alternativas uma a uma: [A] CORRETA. A raiz da função g(), ou seja, g() 0, acontece quando f() b. Assim: b a log a( b) loga a log a( b) logaa log a( b) Pelo enunciado, como b ], [, logo ( b). Também do enunciado, como a ] 0, [ pode-se desenhar o seguinte gráfico de uma função logarítmica de base a, sendo 0 a : Página 6 de

7 EXPRESSÕES E FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS - 06 Assim percebe-se que para todos os valores maiores que, a negativa. Portanto, a alternativa é correta. log a( b) será terá uma raiz [B] INCORRETA. Se considerarmos a função f() e a função constante h() b, podemos desenhar um gráfico aproimado como o apresentado a seguir: Pode-se considerar que a função g() compreende o espaço hachurado em amarelo, uma vez que é resultante da diferença das duas funções representadas. Assim, não se pode afirmar que ela seja crescente em todo seu domínio. A alternativa é incorreta. [C] INCORRETA. Pela análise do mesmo gráfico das funções f() e h(), percebe-se que ambas estendem-se ao infinito. Conforme o valor de decresce, o valor de g() tende ao infinito e desta forma não eiste valor máimo. A alternativa é incorreta. [D] INCORRETA. Uma função injetora é aquela que, seja uma função f : A B, para todo elemento distinto de A associam-se elementos únicos e distintos em B. Assim, como g() se apresenta em módulo, analisando a área hachurada em amarelo do gráfico anterior percebe-se que para dois valores distintos de poderão eistir imagens iguais. A alternativa é incorreta. Resposta da questão 3: [C] Com os valores do gráfico e do enunciado, pode-se escrever: Página 7 de

8 EXPRESSÕES E FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS - 06 y a 0, a a 0, y 0, 0,5 0,5 0,5 0 0,5 y 0, Resposta da questão : [D] Se é um número natural com 05 dígitos, então: Sabendo que: , , Logo, 7 terá 88 algarismos. Resposta da questão 5: [B] [I] Verdadeira. Para e pertencentes ao intervalo ], [ e. log0 log0 Portanto a função é crescente para todo real maior que. [II] Verdadeira. 3 3 log3, 3 Portanto, a equação tem apenas uma solução real. [III] Falsa. Se Se Se, portanto não é raiz da equação. ( ) ( ) 0 ( ) Portanto, a equação não admite nenhuma raiz real positiva. Resposta da questão 6: [D] Página 8 de

9 EXPRESSÕES E FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS - 06 a 000 a log ( 000) 3, 0 a log ( 3, ) 0, 3 0 a log ( 0, ) 0, 0 a log ( 0, ) 0, n 0 Portanto, a alternativa [D] é a correta. Resposta da questão 7: a) Realizando os cálculos: f log log f f() log ( ) log () 0 f() 0 f(3) log (3 ) log () f(3) g( ) log log () g( ) 0 g(0) log log () g(0) 0 g() log log g() b) Realizando os cálculos: f() g() log ( ) log log ( ) log ( ) 0 0 (não convém pois ) c) Na figura a seguir estão esboçados os gráficos, com g() em azul e f() em vermelho. Resposta da questão 8: a) Condições para a eistência do logaritmo: Página 9 de

10 EXPRESSÕES E FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS - 06 b) 8 0 ou Portanto, o domínio da função será D ], [. f() log ( 8) 8 ( ) 9,5 o conjunto pedido é o conjunto vazio. Ou seja S =. Como,5, c) Teremos: log ( 8) log ( 8) log ou Como, concluímos que S, Resposta da questão 9: [E] 3 3 5, portanto o conjunto pedido será dado por: O número de classificações possíveis corresponde a P6 6!. Portanto, sendo 6!, temos log log6! log log6 5! log log log5! log log log5! log 0,3 3, 0. Em consequência, como está mais próimo de de grandeza pedida é de trilhões. Resposta da questão 0: [E] 0 do que de 5 0, segue-se que a ordem c Lembrando que logb a, logba loga b reais positivos diferentes de, temos c logba e logc a b logc a logc b, com a, b e c Página 0 de

11 EXPRESSÕES E FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS - 06 S log 06 5 log log 7 06 (5 log 06 log 06 3 log 06 7) 0 log log Resposta da questão : [A] Determinando o aumento percentual depois de 60 minutos ( hora), temos: B(60) 30 log (60 ) Portanto, o número de bactérias após uma hora será dado por: , Resposta da questão : [B] y e n5 e n5 5 n e Portanto, a b 5 9. Resposta da questão 3: [A] Sabendo que c loga b c a b, para quaisquer a e b reais positivos, e a, temos log ( 6) 6 0 3, que é um número primo. Resposta da questão : [E] Vamos lembrar, inicialmente o domínio da função logarítmica: t 0. Para que a equação tenha duas raízes distintas seu discriminante deverá ser maior que zero, portanto: logt logt 0 logt 0 ou logt t ou t 00. Considerando o domínio da função, temos como solução o seguinte intervalo: 0 t ou t 00 Resposta da questão 5: [C] Tem-se que Página de

12 EXPRESSÕES E FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMICAS - 06 t 0 B(t) t 5 0 t 5 0 log log t log log0 log 0 t 0,3 0,3 0 t 06,67 h. Resposta da questão 6: a) Preenchendo a tabela de acordo com o enunciado temos: n 3 Frequência de n Frequência ,67% relativa de n ,33% ,67% 30 n b) Calculando pelo modelo da lei de Benford, isto é, P(n) log, n temos: 3 P() log log log3 log 0,8 0,30 0,8 8% 8% 6,67% % 3 P(3) log log log log3 0,60 0,8 0, % % 3,33% % P() log log log5 log 0,70 0,60 0, 0% 0% 6,67% % Portanto, deverá ir para a malha fina. Página de