Função Logarítmica. 1. (Fuvest 2013) Seja f uma função a valores reais, com domínio D, tal que. f(x) log (log (x x 1)),
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- Francisca Sacramento Furtado
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1 Função Logarítmica 1. (Fuvest 01) Seja f uma função a valores reais, com domínio D, tal que 10 1 para todo x D. f(x) log (log (x x 1)), O conjunto que pode ser o domínio D é x ; 0 x 1 a) b) x ; x 0 ou x 1 c) x ; 1 x 10 d) x ; x 1 ou x 10 e) x ; 1 x (Espm 01) Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma fazenda improdutiva no interior do país, dando origem a uma pequena cidade. Estima-se que a população dessa cidade tenha P 0,1 log x 1996, onde P é a população no ano x, em crescido segundo a função milhares de habitantes. Considerando 1,4, podemos concluir que a população dessa cidade atingiu a marca dos 600 habitantes em meados do ano: a) 005 b) 00 c) 011 d) 007 e) Página 1 de 9
2 . (Ueg 01) O gráfico da função y log(x 1) é representado por: a) b) c) d) 4. (Espcex (Aman) 01) Na figura abaixo, dois vértices do trapézio sombreado estão no eixo x e os outros dois vértices estão sobre o gráfico da função real f x log kx, com k 0 e k 1. Sabe-se que o trapézio sombreado tem 0 unidades de área; assim, o valor de k p q é a) 0 b) 15 c) 10 d) 15 e) 0 5. (Uern 01) O produto entre o maior número inteiro negativo e o menor número inteiro positivo que pertence ao domínio da função f(x) log (x x 15) é a) 4. b) 15. c) 10. d) 8. Página de 9
3 6. (Insper 011) O gráfico a seguir representa as funções x f(x) e g(x) log x. Seja A um número inteiro tal que: f(a) g(a) 10 g(f(a) g(a)) Então, g(g(a)) é aproximadamente igual a a) 0,6. b) 1,. c) 1,8. d),4. e),0 7. (Udesc 009) O conjunto de números reais que representa a interseção entre os domínios das funções f(x) = x 6x 8 e g(x) = log(x + ) é um intervalo: a) aberto à direita e fechado à esquerda. b) aberto nos dois extremos. c) fechado nos dois extremos. d) infinito. e) aberto à esquerda e fechado à direita. 8. (Pucrs 008) A representação é da função dada por y = f(x) = log n (x) O valor de log n (n +8) é a) b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 Página de 9
4 9. (Uece 008) Na figura a seguir estão representados seis retângulos com lados paralelos aos eixos coordenados e vértices opostos sobre o gráfico da função f(x) = log x, x > 0. A soma das áreas dos seis retângulos é igual a a) unidades de área b) unidades de área c) 4 unidades de área d) 5 unidades de área 10. (Unesp 008) O brilho de uma estrela percebido pelo olho humano, na Terra, é chamado de magnitude aparente da estrela. Já a magnitude absoluta da estrela é a magnitude aparente que a estrela teria se fosse observada a uma distância padrão de 10 parsecs (1 parsec é aproximadamente 10 1 km). As magnitudes aparente e absoluta de uma estrela são muito úteis para se determinar sua distância ao planeta Terra. Sendo m a magnitude aparente e M a magnitude absoluta de uma estrela, a relação entre m e M é dada aproximadamente pela fórmula M = m + 5. log (.d -0 ' 48 ) onde d é a distância da estrela em parsecs. A estrela Rigel tem aproximadamente magnitude aparente 0, e magnitude absoluta - 6,8. Determine a distância, em quilômetros, de Rigel ao planeta Terra. 11. (Ufrj 007) Seja f: ] 0, [ IR dada por f(x) = log x. Sabendo que os pontos (a, -â), (b, 0), (c, ) e (d, â) estão no gráfico de f, calcule b + c + ad. Página 4 de 9
5 1. (Fgv 007) O gráfico que representa uma função logarítmica do tipo f(x) = + a. log (b. x), 1 com a e b reais, passa pelos pontos de coordenadas,6 50 e 1, 5. Esse gráfico cruza o eixo x em um ponto de abscissa a) b) c) d) e) (Ufjf 007) Na figura a seguir, encontram-se representados o gráfico da função f : ]0, [ IR, definida por f(x) = log x, e o polígono ABCD. Os pontos A, C e D estão sobre o gráfico de f. Os pontos A e B estão sobre o eixo das abscissas. O ponto C tem ordenada, o ponto D tem abscissa e BC é perpendicular ao eixo das abscissas. Sabendo que os eixos estão graduados em centímetros, a área do polígono ABCD é: a),5 cm. b) cm. c),5 cm. d) 4 cm. e) 4,5 cm. Página 5 de 9
6 14. (Ufpb 007) Sabe-se que a pressão atmosférica varia com a altitude do lugar. Em Fortaleza, ao nível do mar, a pressão é 760 milímetros de mercúrio (760 mmhg). Em São Paulo, a 80 metros de altitude, ela cai um pouco. Já em La Paz, capital da Bolívia, a.600 metros de altitude, a pressão cai para, aproximadamente, 500 mmhg. Nessa cidade, o ar é mais rarefeito do que em São Paulo, ou seja, a quantidade de oxigênio no ar, em La Paz, é menor que em São Paulo. (Adaptado de: < Acesso em: 0 ago. 006). Esses dados podem ser obtidos a partir da equação h = log 10 (760/P), que relaciona a pressão atmosférica P, dada em mmhg, com a altura h, em metros, em relação ao nível do mar. Com base nessa equação, considere as seguintes afirmações: I. Quando h = 1840 m, a pressão será P = 76 mmhg. II. Quando P = 7,6 mmhg, a altura será h = 6800 m. III. A pressão P é dada em função da altura h pela expressão De acordo com as informações dadas, está(ão) correta(s) apenas: a) I b) II c) III d) I e II e) II e III 15. (Pucmg 006) Na figura, os pontos A e B pertencem ao gráfico da função y = log x. A medida da área do trapézio de vértices A, B, (4, 0) e (8, 0) é cinco vezes a medida da área do triângulo de vértices A, (4, 0) e (m, 0). Então o valor de m é: a) 0 b) 1 c) d) Página 6 de 9
7 Gabarito: Resposta da questão 1: [A] Como x x 1 0 para todo x real, segue que os valores de x para os quais f está definida são tais que log (x x 1) 0 log (x x 1) log 1 x x 1 1 x (x 1) 0 0 x 1. Resposta da questão : [D] Queremos calcular o valor de x para o qual se tem P,6. Assim,,5,6 0,1 log (x 1996) x 1996 x 1996 x 007,, ou seja, a cidade atingiu a marca dos 600 habitantes em meados de 007. Resposta da questão : [D] A raiz da função y log(x 1) é tal que 0 log(x 1) 0 x 1 10 x 0. Daí, o gráfico intersecta o eixo das abscissas no ponto (0, 0). Portanto, a alternativa correta é a [D], cujo gráfico passa pela origem. Resposta da questão 4: [B] Como a função f passa pelos pontos (p,1) e (q, ), segue que logk p 1 k p e logk q k q. Sabendo que a área do trapézio é igual a 0 u.a, vem 1 (q p) 0 q p 0 0. Daí, obtemos Página 7 de 9
8 k k 0 0 k 4 ou k 5. Portanto, como k 0, temos que k p q Resposta da questão 5: [A] A função f está definida para os valores reais de x, tais que x x 15 0 (x 1) 16 x 1 4 x ou x 5. Portanto, como 4 é o maior número inteiro negativo e 6 é o menor número inteiro positivo que pertencem ao domínio de f, segue que o produto pedido é igual a Resposta da questão 6: [A] Do enunciado, temos A f(a) g(a) 10 log A 10 e A g(f(a) g(a)) log ( log A). Como A é inteiro, segue que A log ( log ) log 5 A. 4 A 4 log Assim, g(g(a)) g(g()) log (log) e, portanto, log (log ) log (log ) log (log 4) 0 g(g(a)) 1. Resposta da questão 7: [E] x 6x 8 0 x x 0 x x 4 0 ( x 1)( x 4) 0 Página 8 de 9
9 Resposta da questão 8: [B] f (4) log a 4 8) log log ( a 4 a 4.. Resposta da questão 9: [A] Resposta da questão 10: 7, km Resposta da questão 11: b + c + ad = 11 Resposta da questão 1: [C] Resposta da questão 1: [C] Resposta da questão 14: [E] Resposta da questão 15: [C] Página 9 de 9
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