MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO. Educação para Jovens e Adultos

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1 ENSINO MÉDIO Educação para Jovens e Adultos

2 ENSINO MÉDIO Educação Para Jovens e Adultos

3 ÍNDICE FUNÇÃO DO 1º GRAU 05 FUNÇÃO QUADRÁTICA 13 INEGUAÇÕES (1º E 2º GRAU) 22 FUNÇÃO EXPONENCIAL 25 INEGUAÇÕES EXPONENCIAIS 29 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 31 FUNÇÃO LOGARÍTMICA 33 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARÍTIMOS 40 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 42 DETERMINANTES 48 PROPRIEDADES COMPLEMENTARES DOS DETERMINANTES 55 GEOMETRIA ANALÍTICA 61 GEOMETRIA ANALÍTICA II 66 A CIRCUNFERÊNCIA 71 POLINÔMIOS 73 GEOMETRIA ESPACIAL 78 GEOMETRIA MÉTRICA 83

4 Módulo I - 1º ano FUNÇÃO DO 1º GRAU Vamos estudar a função do 1º grau, definida no conjunto dos números reais. Ela é uma função que relaciona em uma expressão algébrica do 1º grau. FUNÇÃO DO 1º GRAU Chama-se função do 1-º grau a função definida por: F = { ( x, y) R x R / y = ax + b } Onde a e b são números reais dados. Esta função também pode ser representada por F = R x R y = ax + b Obs.: A função do tipo y = ax + b também é chamada de função afim. Ex: a) F : R R x y = 2x + 1 a=2 b=1 b) F = { ( x, y) R x R / y 2x 1 } a=2 b = -1 c) F : R R x y = -2x a = -2 b=0 d) F = { ( x, y) RxR/y=3} a=0 b=3 05

5 Módulo I - 1º ano Obs: 1) Quando a = 0, temos F ( x ) = b que é chamada de função constante. Ex: F ( x ) = 2 2) Quando b = 0, temos F ( x ) ax, que é chamada também de função linear. Ex: y = 2x As principais características da função constante são: * Domínio: D = R * Imagem: Im = { b } _ * Gráfico é uma reta paralela a 0x. Ex.: Na função F = R R é definida por F ( x ) = 2, temos: * Domínio: D = R * Imagem: Im = { 2 } x F(x) _ Note que o gráfico é uma reta paralela a Ox. As principais características da função linear F( x ) = ax, são: * Domínio: D = R * Imagem: Im = R * O gráfico é uma reta que passa pela origem. Se o coeficiente a for positivo, a função linear é crescente; se a for negativo, a função linear será decrescente. 06

6 Módulo I - 1º ano E XERCÍCIOS: 1. Construa os gráficos das funções de R em R: a) F ( x ) = 2x b) F ( x ) = -3x c) y = +2,5 d) y = Determine o domínio e a imagem de cada função de R em R: a) y = 2 b) y = 3x c) y = -2 d) y = -3x 3. Indique o domínio, a imagem e a lei da função em cada um dos gráficos: 07

7 Módulo I - 1º ano Significado dos Coeficientes Quando a 0 e b 0, teremos a função completa do 1º grau ou função afim, definida pela lei y = ax + b. As principais características da função afim, são: * Domínio: D = R * Imagem: Im = D * O gráfico é uma reta. Ex: 1) Na função real F ( x ) = x + 2, temos: Domínio: D = R Imagem: Im = R x F(x) ) Na função F = R R definida por y = -2x + 3, temos: Domínio: D = R Imagem: Im = R x y

8 Módulo I - 1º ano Consideremos a função do 1º grau: F = { ( x, y) R x R / y = ax + b } Façamos x = 0. Temos então, y = a. 0 + b = b, ou seja, quando x = 0 ponto do eixo das coordenadas. y = b, que é um Então, o coeficiente b determina o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas, ou seja, b é o valor algébrico do segmento, determinado pela origem e pelo ponto de interseção da reta com o eixo das ordenadas. Chamaremos este coeficiente de coeficiente linear. Vejamos agora o significado de a. Dados dois pontos de F, como no gráfico abaixo, consideremos: Sejam: A (x1, y1) F B (x2, y2) F Então, a é a razão entre os catetos do triângulo retângulo ABB da figura. Observe que isto ocorre para quaisquer dois pontos escolhidos, uma vez que os triângulos formados são semelhantes. Esta razão é constante para cada reta e depende só do ângulo a que a reta forma com o sentido do eixo das abscissas (inclinação da reta). Esta razão, por ser proporcional ao ângulo a, foi chamada tangente do ângulo a. Então, vimos que a caracteriza a inclinação da reta r. chamaremos coeficiente angular, o coeficiente a. 09

9 Módulo I - 1º ano O Zero da Função Considerando que o zero da função é o valor de x para o qual y = 0, na função: y = ax + b, temos: ax + b = 0 ax = -b ou seja, o zero da função y = ax + b é x = -b a Exemplo: Na função real F( x ) = 2x + 4, o zero é obtido igualando-se a função F( x ) a zero: 2x + 4 = 0 2x = -4 x = -2 No gráfico da função afim, o zero identifica o ponto em que a reta intercepta o eixo das abscissas ( 0x ). Variação do Sinal de Y Seja a função linear definida por y = ax + b com a π 0. Se a função for estritamente crescente, temos x1 > x2 y1 > y2 e, como: a = y2 y1 a>0 x2 x1 Se a função for estritamente decrescente, temos x1 > x2 y1 < y2 e, como: a = y2 y1 a<0 x2 x1 10

10 Módulo I - 1º ano Resumindo: F crescente a>0 F decrescente a<0 F constante a=0 O estudo dos sinais da função afim, pode ser realizado diretamente no gráfico: _ Podemos esquematizar esse estudo considerando apenas o eixo 0x, o zero e a variação da função: RESUMO DO ESTUDO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU Forma: y = { (x, y) R x R / y = ax + b } Domínio: Dom ( F ) = R ou x ] -, + [ Imagem: Im ( F ) = R. ou y ] -, + [ Zeros: y = 0 quando x = -b/a Variação: Se a > 0, y é crescente e, y < 0 quando x < -b/a y > 0 quando x > -b/a Se a < 0, y é decrescente e y > 0 quando x < -b/a y < 0, quando x > -b/a 11

11 Módulo I - 1º ano Gráfico 12

12 Módulo I - 1º ano FUNÇÃO QUADRÁTICA Chama-se função quadrática a função definida por: F = { (x, y) R x R / y = ax 2 + bx + c } Onde a, b e c são números reais dados e a 0. Esta função também pode ser representada por: F=R x R y = ax 2 + bx + c Ex: 1) y = x 2 + 2x + 4 a=1 b=2 c=4 2) y = 2x 2 + 3x 6 a=2 b=0 c=3 3) F( x ) = 3x a=3 b=0 c=3 4) y = x 2 2x a=1 b = -2 c=0 ESTUDO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Domínio O Domínio da função quadrática é o conjunto R, uma vez que na sua lei de formação não existe nenhuma restrição para x. Então: Dom ( F ) = R Imagem O Gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola com eixo de sistema paralelo a 0y. O ponto de interseção entre a parábola e o eixo de simetria, denominase vértice. 13

13 Módulo I - 1º ano De acordo com a lei da função quadrática, a parábola que a representa pode ter concavidade voltada para baixo, se a < 0, ou para cima, se a > 0. As coordenadas do vértice são: x v = -b e y v = - 2a 4a V -b, _ 2a 4a Note que, se a < 0, o ponto V é o ponto de máximo e, se a > 0, V é o ponto de mínimo. Observando, então, um gráfico verificamos que na imagem sempre haverá um ponto extremo (de máximo ou de mínimo). Se o extremo é mínimo, significa que a imagem da F será constituída por todos os pontos maiores que -_. Ou seja, Im ( f ) = ] -, -_ / 4a] 4a Se o extremo é mínimo, significa que a imagem da F será constituída por todos os pontos maiores que -_. Ou seja, Im ( f ) = ] _ / 4a, + ] 4a Ex: Seja determinada a imagem da função y = x 2 5x + 6. Temos, então: a=1 b = -5 c=6 e _ = (-5) = 1 Assim: - _ = -1 4a 4 Como a = 1 é positivo, temos que 1/4 é mínimo, ou seja: 14

14 Módulo I - 1º ano Então: Im ( f ) = [-1/4, + [ Observe: O conjunto-imagem de uma função quadrática depende da ordenada do vértice: Zeros da Função Quadrática Você sabe que o zero de uma função é o valor de x que torna y = 0 e significa graficamente os pontos onde a curva (função) corta o eixo dos x. Então, fazendo F ( x ) = 0, temos ax 2 + bx + c = 0 _ = b 2-4 a c x = ( -b ± _ ) / 2a Ou seja, existem dois valores de x que anulam F. Veja no gráfico a seguir, que os zeros indicam os pontos em que a parábola intercepta o eixo 0x. 15

15 Módulo I - 1º ano 1) Determine os zeros da função y = x 2 5x + 6 a=1 b = -5 c=6 _ = b 2 4 a c _ = (-5) _=1 Lembre-se _>0 x = -b ± _ 2a 2 zeros diferentes x=5± 1 x1 = x2 = 2 Então, esta função tem dois zeros, cujas coordenadas são (2, 0) e (3, 0). a = ) F ( x ) = -6x + 5x 1 b=5 c = -1 _ = b 2 4 a c _ = (-6). (-1) _=1 Lembre-se: _>0 2 zeros diferentes x = -b ± 2a -6 / -12 = 1/2 x = -5 ± 1 = -5 ± 1 2. (-6) / -12 = 1/3 Esta função tem dois zeros, cujas funções são: (1/3, 0) e (1/2, 0). a=2 2 3) F ( x ) = 2x 5x + 10 b = -5 c = 10 16

16 Módulo I - 1º ano _ = b 2 4 a c _ = (-5) _ = -55 Lembre-se: _<0 raízes reais S=0 Variação do Sinal O estudo da variação da função quadrática pode ser realizado diretamente no gráfico. Temos os seguintes casos: 1º a > 0 Sabemos que se a > 0, a função possui mínimo (ou seja, tem o bico virado para baixo). Surgem, então, três hipóteses: _ > 0 (duas raízes diferentes, x 1 x 2 ) e temos: Ou seja: y > 0, quando x < x1, ou x > x2 y < 0, quando x1 < x < x2 _=0 duas raízes iguais (x1 = x2), e temos: Ou seja, y > 0 A x x1 17

17 Módulo I - 1º ano _<0 não possui raízes reais, e temos: Ou seja, y>0 x A 2º a < 0 Sabemos que se a < 0, a função possui máximo (ou seja, tem o bico virado para cima). Surgem, então, três hipóteses: _ > 0 (duas raízes diferentes, x1 x2) E temos: Ou seja, y > 0, quando x1 < x < x2 y < 0, quando x < x1, ou x > x2 _=0 dias raízes iguais (x1 = x2), e temos: Ou seja, y > 0 A x x1 -- _<0 não possui raízes reais, e temos: 18 Ou seja, y < 0 A x

18 Módulo I - 1º ano Gráfico Para se construir o gráfico de uma função quadrática, devemos levar em consideração os seguintes fatos: a) O gráfico da função quadrática é uma parábola com eixo de simetria paralelo a 0y. O ponto de interseção entre a parábola e o eixo de simetria denomina-se vértice. b) Se a > 0, a função tem mínimo. Se a < 0,a função tem máximo. c) As coordenadas do vértice (seja ele máximo ou mínimo) são: x = -b e y = -_ 2a 4a Ou seja, V ( -b, -_ ) 2a 4a _ A função corta o eixo 0y no ponto C (o termo independente). _ Os zeros da função são os pontos em que ela corta o eixo 0x. Com base nestes dados, podemos resumir: 19

19 Módulo I - 1º ano E XERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Estude a função F = { (x, y) R x R / y = x 2 2x 3 } Temos, então: a = 1 / b = -2 / c = -3 _ = b 2 4 a c _ = (-2) (-3) _ = = 16 x = -b ± -- 2a 6/2=3 x = +2 ± 16 = / 2 = -1 - b / 2a = 2 / 2 = 1 - _ / 4a = 16 / 4. 1 = -4 Como a = 1 > 0, o gráfico ficaria assim: Assim: Dom: x ] -, + [ Im: y ] 4, + [ Zeros: y = 0, quando x=1 x=3 máx. mín: y tem mínimo em (1, -4) Variação: y > 0 quando x < -1 x>3 y < 0 quando 1 < x < 3 20

20 Módulo I - 1º ano Estude a função x 2 2x + 1 Temos, então: a = 1 / b = -2 / c = 1 _=4 4 _ = 0 (x1 = x2) x =2± 0 = 1 2 Como a = 1 > 0, o gráfico ficará assim: Assim: Dom: x ] -, + [ Im: y ] 0, + [ Zeros: y = 0, quando x = 1 Máx. mín: y tem mínimo em (1, 0) Variação: y > 0 A x 1 E XERCÍCIOS: 1) Estude as funções: a) y = 6x 2 5x + 1 b) y = 6 x 2 21

21 Módulo I - 1º ano INEQUAÇÕES (1º E 2º GRAU) Dados dois números ou duas expressões a, e b, existem as seguintes possibilidades: a = b ou a b Se a = b, temos uma igualdade. Se a b, temos uma desigualdade. Neste caso, também temos duas possibilidades: a b é positivo diz-se que a é maior do que b e indica-se a > b. a b é negativo diz-se que a é menor do que b e indica-se a < b. Denomina-se desigualdades dizem-se do mesmo sentido quanto têm o mesmo sinal. Exemplo: 4+5 > >3+5 mesmo sentido Se têm sinais diferentes diz-se que têm sentidos contrários. Exemplo: 2+3 < >2+3 sentidos contrários Atenção: Dados dois números positivos, o maior é o que possui maior valor absoluto. Dados dois números negativos, o maior é o que possui menor valor absoluto. Todo número positivo é maior que qualquer número negativo. 22

22 Módulo I - 1º ano PROPRIEDADE DAS DESIGUALDADES 1ª PROPRIEDADE: somando-se ou subtraindo-se uma mesma quantidade aos dois membros de uma desigualdade, ela não muda de sentido. Seja a > b Logo a diferença a b > 0 Somando m m = 0 temos; a b + m m > 0 Ou (a + m) (a + b) > 0 Logo a+m>b+m Ou então (a m) (b m) > 0 Logo a m>b m 2ª PROPRIEDADE: Multiplicando-se ou dividindo-se ambos os membros de uma desigualdade por um número positivo, obtém-se uma desigualdade d mesmo sentido; por um número negativo, obtém-se uma desigualdade de sentido contrário. Seja a > b Então, a b > 0 Multiplicando por um número positivo (m > 0), temos: m (a b) > 0. Ou seja, am bm > 0 (+).(-) Logo: am > bm Multiplicando por um número negativo (m < 0), temos: m (a b) < 0 Ou seja, ma mb < 0 (-).(+) Logo: ma < mb Observação importante: Você pode transformar uma desigualdade numa outra equivalente à primeira, utilizando todos os processos conhecidos em equação. Tenha, porém o cuidado de inverter o sentido da desigualdade, quando multiplicá-la por um número negativo. 23

23 Módulo I - 1º ano Verifique as seguintes afirmações: 1ª) A soma de desigualdade do mesmo sentido é também uma desigualdade de mesmo sentido. 2ª) A diferença entre duas desigualdades de sentidos contrários é uma desigualdade de mesmo sentido da considerada como minuendo. 3ª) O produto de desigualdade de mesmo sentido e de membros positivos é uma desigualdade de mesmo sentido. 4ª) O quociente de duas desigualdades de sentidos contrários é uma desigualdade do mesmo sentido da considerada como dividendo. INEQUAÇÕES Inequações são desigualdades condicionais e os valores da incógnita que lhe satisfazem são as soluções. Assim, a desigualdade a 1 > 3 que só se verifica para valores de x maiores que 4, é uma inequação. Qualquer número maior que 4 é uma solução. Duas inequações dizem-se equivalentes quando têm as mesmas soluções. Assim: x + 2 > 8 e x 1 > 5, ambas satisfeitas para valores de x maiores que 6 são equivalentes. Para se resolver uma inequação, utilizam-se os princípios anteriormente estudados, de maneira análoga ao processo de resolução de uma equação. Exemplo: 3x x 2 > 12x Eliminando os denominadores: Multiplicando-se ambos os membros por 6 (que é o MMC entre 2, 3 e 6) temos: 24 6x x - 6 > 12x + 7 transformando 6x + 12x 12x > reduzindo os termos semelhantes 6x > 9 dividindo ambos os membros por 6, temos: x > 9/6 ou x > 3/2 Conclusão: Todo número maior que 3/2 é solução da inequação.

24 Módulo I - 1º ano FUNÇÃO EXPONENCIAL Uma função F : R R* + dada por F ( x ) = ax, a constante positiva diferente de 1, denomina-se função exponencial. F ( x ) = a x (a R, a > 0 e a 1) Esta definição provoca muitas questões: o que significa o símbolo ax? por que a R* + e a 1? por que não se pode ter a < 0? que tipo de variação e gráfico tem ax? Tais perguntas estarão respondidas quando tivermos construído a função F, a partir de sucessivas ampliações dos campos numéricos a partir de N. Atenção!!!! Lembre-se que: (Potências da mesma base) a m. a n = a m + n a m : a n = a m n (a m ) n = a m : n (a. b) n = a n. a n a n = a n (b 0) b b n Exemplos: 1) Seja a função F = { (x, y) R x R / y = 2 x } Vamos construir uma tabela e em seguida, o gráfico. 25

25 Módulo I - 1º ano 2) Seja a função F = (x, y) RxR/y= 1 2 x Vamos construir uma tabela e, em seguida, o gráfico. Quando a base for 2 (o mesmo acontecerá se ela for 3, 4 ou qualquer número maior que 1), quanto maior o expoente, maior será o valor de y = a x. Por exemplo, 2 3 < 2 4 > Da mesma forma quando a base for 1 (o mesmo acontecerá se ela for 1, Ou qualquer número menor que 1), quanto maior o expoente, menor será a valor de y = ax. Por exemplo: 1 2 < 1 3 < A função exponencial será crescente, quando a base a for maior que 1 e, decrescente, se a for positiva e menor que 1. Seu gráfico terá sempre um dos dois aspectos. Observe que, nos dois casos, o gráfico de F ( x ) = ax não intercepta o eixo 0x, pois, para a R* +, a 0 para qualquer x R. _ Todo gráfico de uma função F ( x ) = ax (a R* +, a 1) intercepta o eixo 0x no ponto (0, 1). Como não há nenhuma restrição, x pode variar de - a +, ou seja, o seu domínio é R. 26

26 Módulo I - 1º ano Observe, também, como a > 0 e a 1, as imagens de ax serão sempre positivas. Assim, teremos: D=R Im = R* + Mais uma vez, observe que, se a = 1, teremos y = 1 x e que para qualquer valor de x, teríamos y = 1. E se a fosse negativo, os valores de y = ax (por exemplo y = (-2) x ) iriam oscilar entre posi- tivos e negativos (por exemplo, y = (-2) 2 = 4 e y = (-2) 3 = -8). Então, estes são alguns dos motivos que determinam que a deve ser positivo e diferente de 1. Resumindo: Conceito: F = { (x, y) / y = a F(x), a > 0 } Exemplos: F1 = { (x, y) / y = 2 x } F2 = { (x, y) / y = 2 x + 1 } Domínio: depende da função F (x). Se for y = ax, x ] -, + [ Imagem: y ] 0, + [ Se a > 1, y é crescente Se a < 1, y é decrescente Zeros: Variação: não possui Se a > 1, y é crescente Se a < 1, y é decrescente X Y a a2 a a3 3 a 2 a

27 Módulo I - 1º ano Gráfico: a>1 y = a x a<1 E XERCÍCIO RESOLVIDO: Resolva graficamente a equação 2 x = 4 Para y = 4 temos x 2. Portanto S = { 2 } E XERCÍCIOS: 1) Esboce o gráfico das funções F = R R* + : a) y = 3 b) y = 1 3 c) F( x ) = 2 -x d) y = 2 x + 1 x 5 28

28 Módulo I - 1º ano INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Podemos resolver inequações exponenciais pela análise gráfica da função exponencial F( x ) = a x. Considere os dois casos a seguir: Observe nos gráficos que: Para a > 1 e x 2 > x1, temos a x 2 > a x 1 Para a < 1 e x 2 > x1, temos a x 2 < a x 1 Vamos então estabelecer um processo de resolução de inequações exponenciais: reduzem-se os dois membros da inequação a uma mesma base; monta-se uma nova inequação com os expoentes. Se a > 1, mantém-se o sinal da desigualdade original; se 0 < a < 1, inverte-se o sinal da desigualdade. Exemplos: 1) Resolva a inequação 2 x + 1 > 8, Então, temos: 2 x + 1 > 2 3 Como a base ( 2 ) é maior que 1, F é crescente, ou seja, quanto maior o expoente, maior a potência, então: x + 1 > 3 ou x > 2 Solução: S = { x R/x>2} 2) Resolver a inequação: 1 x 1 <

29 Módulo I - 1º ano Então, temos: 1 x 1 < Como a base 1 é menor que 1, F é decrescente, ou seja, quanto maior o 2 expoente, menor a potência, então: x 1 > 3 ou x > 4 Solução: S { x R/x>4} EXERCÍCIOS 1) Resolva as inequações: a) 3 x < 27 b) 1 2 x +1 > GABARITO 30

30 Módulo I - 1º ano E Q UA ÇÕES EXPONENCIAIS Equação exponencial é toda equação que possui a incógnita no expoente de uma potência. Exemplos: 3 x = 9 2 x 1 = x = x x x 5 = 943 A resolução de uma equação exponencial baseia-se, de uma maneira geral, na comparação de duas potências. Para maior facilidade, vamos classificá-las em alguns tipos e subtipos. 1º tipo a x = b 1º caso a e b são potências de mesma base. Neste caso teremos a comparação de duas potências de mesma base. E se duas potências são iguais e têm a mesma base, então os seus expoentes deverão ser iguais entre si. Exemplos: 1) Considere a equação 2 x = 32. Podemos resolvê-las reduzindo 32 para base 2: 2 x = 32 2 x = 25 x = 5 Logo, S = { 5 } 2) Resolver a equação: 2 x - 1 = 16 2 x 1 = 2 4 x 1=4 x = 5 Logo, S = { 5 } 31

31 Módulo I - 1º ano E XERCÍCIO RESOLVIDO: Para a equação 9 x + 1 = 27 x 3, teremos: 9 x + 1 = 27 x 3 (3 2 ) x + 1 = (3 3 (x 3) ) 3 2x + 2 = 3 3x 9 2x + 2 = 3x 9 x = 11 Logo, S = { 11 } E XERCÍCIOS 1) Resolva as equações: a) 2 x = 8 b) 3 x2 + 2x + 1 = 1 c) 4 2x + 3 = 8 x 1 E XERCÍCIOS 1) Resolver as equações; a) 3 x + 1 = 5 b) 2 x x 1 = 5 x 2. 7 x

32 Módulo I - 1º ano FUNÇÃO LOGARÍTMICA LOGARÍTMOS O CONCEITO DE LOGARITMO A primeira operação que se aprende em matemática é a operação de adição: = 5. 3 e 2 são parcelas e 5 é o resultado; a soma. Agora, dados o resultado 5 e uma das parcelas 3 ou 2, chega-se à outra parcela através da operação de subtração, assim temos: 5 2 = 3 porque = = 2 porque = 5 Lembre-se que a adição é comutativa. Considerando, então, a operação de multiplicação 3 x 2 = 6. Temos: 3 e 2 são fatores e 6 é o produto (resultado). Novamente dados o resultado e um dos fatores, como chegar a outro? A resposta é a divisão. Então: 6 : 2 = 3 porque 3 x 2 = 6 6 : 3 = 2 porque 2 x 3 = 6 Lembre-se que a multiplicação é comutativa. Vejamos agora a potenciação: 2 3 = 8 2 é base 3 é o expoente 8 é a potência 33

33 Módulo I - 1º ano Agora vejam: Dados 8 (potência) e 3 (expoente), como chegaremos ao 2(base)? - através de radiciação: 3 8 = 2 porque 2 3 = 8 - mas se forem dados 8 (potência) e 2 (base), qual é o expoente? Ou seja, a que expoente devemos elevar 2 (base) para obter 8 (potência)? Bem, a resposta virá através da operação de logaritmação. Então: se 2 3 = 8 Diremos que 3 é o logaritmo de 8 na base 2 e escrevemos: 8 é o número ou antilogaritmo. Log2 8 = 3 onde 3 é a base 2 é o logaritmo - quer dizer que calcular o logaritmo, é calcular o expoente? - Isso! Dizemos que o logaritmo de um número N, numa base a, positiva e diferente de um, é o expoente a que deve elevar a base a, para se obter o número N. Ou seja: Se loga N = x então ax = N Exemplos: Log 2 8 = 3 logaritmo base nº ou antilogaritmo log 3 81= 4, porque 3 4 =81 log 4 64= 3, porque 4 3 =64 log 2 16= 4, porque 2 4 =16 log 3 (5 3 2 ) = 2, porque 3 2/5 = log 2 1 = -3, porque 2-3 =

34 Módulo I - 1º ano E XERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Calcular log Ora, log 2 16 = x Então: 2 x = 16 ou 2 x = 2 4 logo: x = 4 2) Calcule log 3 1 = 27 log 3 1 =x 27 3 x = x = x = 3-3 x = -3 Lembrete: Todo número elevado a expoente negativo é igual a uma fração, cujo numerados é 1 e o denominador é este número elevado ao oposto de seu expoente. a - m = 1 am 3) Calcule log 8 16 ou 8 x = 16 (2 3 ) x = x = 2 4 3x = 4... x = 4/3 35

35 Módulo I - 1º ano 4) Qual é o log _ ( 5 8)? log _ ( 5 8 ) = x (_) x = ( 5 8 ) (2-2 ) x = 5 23 Assim: 2-2x = 2 3/5 ou 2x = 3/5 x = -3/10 ou x = - 0,3 5) Agora responda: Em que base o logaritmo de 27 é 3? Sabemos então que: Logo: a 3 = 27 ou a= a=3 6) Qual é o número, cujo logaritmo na base 3 é 4? Temos então: Ou seja, 3 4 = N ou 81 = N 36

36 Módulo I - 1º ano E XERCÍCIOS Calcule o logaritmo: 1) log 8 32 = 2) log 7 49 = 3) log 1/4 16 = 4) log 1/9 (1/27) = 5) log = 6) log 1/9 81 = Calcule a base: 7) log a 32 = 5 8) log a 4 = -2 9) log a 1/9 = -2 10) log a 8 = 3/2 11) log a 2 = -2 calcule o número ou antilogarítmo: 12) log 2 N = 4 13) log 1/2 N = _ 14) log 1/4 N = _ 15) log 3 N = 3 37

37 Módulo I - 1º ano CONSEQÜÊNCIAS: Você viu que Loga N = x ax = N e a > 0, a 1 Agora observe: 1) Se a base é positiva, o número também deverá ser positivo, pois número positivo elevado a qualquer expoente dará resultado também positivo. - Quer dizer que só existe logarítmo de número positivo. Se a > 0, a 1 N>0 (+) x = + Lembre-se que o domínio da função y = Logx é R+ 2) log a a = 1 porque a 1 = a O logaritmo da própria base é sempre 1. Exemplo: Log 2 2 = 1 Log 5 5 = 1 Log = 1 3) Se log a 1 = 0 porque a 0 = 1 O logaritmo de 1 em qualquer base é zero. Exemplo: Log 2 1 = 0 Log 5 1 = 0 Log 10 1 = 0 4) Só as potências da base têm logaritmo inteiro log a a = 1 log a a 2 = 2... log a a 4 = 2 log a 1/a = -1 log a a 3 = 3 log a 1/a 2 =

38 Módulo I - 1º ano Observação: Chamamos de sistema de logaritmo ao conjunto dos números positivos e seus respectivos logaritmos numa determinada base. Exemplo: Sistema de logaritmos na base 2 Número logaritmo Assim teremos os sistemas de logaritmos na base 2, na base 3, na base 1 10 etc. As bases mais usadas são: Base 10 sistema decimal; Base e (e 2, ) sistema Neperiano E XERCÍCIOS 16) Determine o valor de x nas expressões abaixo: a) log 2 (x + 1) = 3 b) log 10 (x + 1) = 0 c) log 10 (x + 1) = 1 d) log 3 (x 1) = 4 e) log 3 (x 1) = 0 f) log 5 (2x + 3) = 1 g) log 2 (x + 1) = 4 h) log 1/2 (x + 1) = 0 i) log 1/2 (x + 1) = 1 39

39 Módulo I - 1º ano PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARÍTIMOS Vamos lembrar algumas propriedades das potências. 1- Para multiplicar duas propriedades de mesma base, conserva-se a base, somam-se os expoentes. A m. A n = A m+n 2- Para se dividir duas potências de mesma base, conserva-se a base e subtrai-se os expoentes: A m : A n = A m-n 3- Para se elevar uma potência a um expoente, conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. (Am)n = Am.n 4- A potência de expoente fracionário é equivalente ao radical, cujo radicando é a base da potência, o índice é o denominador da fração e o expoente do radicando corresponde ao numerador da fração expoente. n m A n =A m Exemplos: 1) 2 5 : 2 3 = 2 6 2) 2 5 : 2 3 = 2 2 3) (2 3 ) 2 = 2 6 4) = 2 3/5 40

40 Módulo I - 1º ano LOGARITMOS DECIMAIS O sistema de logaritmos decimais é o sistema de base 10, também chamado sistema de logaritmos comuns, ou vulgares, ou de Briggs (Henry Briggs, matemático inglês, , foi quem primeiro destacou a vantagem do emprego dos logaritmos de base 10 para os cálculos). CARACTERÍSTICA E MANTISSA: Nós já vimos que num sistema de base qualquer a, vemos que só as potências inteiras da base têm logaritmos inteiros: Log a a n = n Qualquer número que não seja potência inteira da base terá seu logaritmo constatando de uma parte inteira denominada CARACTERÍSTICA do logaritmo, mais uma parte fracionária ou decimal (menor que a unidade) chamada MANTISSA do logaritmo. Assim, temos; Log20 = 1,30103 = 1 + 0,30103 Onde 1 é a característica e 0,30103 é a mantissa. 41

41 Módulo II - 2º ano MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES MÓDULO II - MATEMÁTICA MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO Dada a matriz A = (a ij ) m x n e um número real K, denomina-se produto do real K por A, a matriz obtida, multiplicando-se cada um dos elementos de A por K. K. A = (K. a ij ) m x n Em que 1 = i = m e 1 = j = n. Exemplos: 1 2 1) Dada a matriz A = 1-1, vamos calcular 2. A : A = = ) Dada a matriz B = 3-2 1, vamos calcular 3. B : (-3). B = (-3) =

42 Módulo II - 2º ano MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES: Vimos que para somar matrizes (e elas têm que ser do mesmo tipo) nós somamos os elementos correspondentes de cada matriz. Na multiplicação de matrizes poderíamos pensar, por analogia, em tomar matrizes do mesmo tipo e multiplicar seu elementos correspondentes. Isto não será feito, pois a multiplicação, como vamos definir, apresenta maior interesses tendo em vista suas aplicações. Para que o produto de duas matrizes exista, exige-se que os fatores que são multiplicados sejam conformáveis para a multiplicação, isto significa que o primeiro fator deve possuir tantas colunas quantas são as linhas do segundo fator. Assim, se A é uma matriz de ordem m x n e B é uma matriz de ordem p x K, o produto de A por B não pode ser efetuada, isto é, o produto A. B não existe. Ou seja, o produto de duas matrizes só é definido quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Sejam as matrizes A mxn = (a ij ) e Bnxp = (b ij ) Chamamos de produto da A x B, a matriz Cmxp tal que: c ij = a i1. b 1j + a i2. b 2j + a i3. b 3j +... a in. b nj Por exemplo: Sejam A = 2 1 3,B = 1 2 e AxB=C Então: A2x3 = x B 3x2 = Sabemos que C deve ser 2 x 2: C2x2 = c 11 c 12 c 21 c 22 43

43 Módulo II - 2º ano Então: C 11 = 2 x x x 2 C 12 = 2 x x x 1 C 21 = 1 x x x 2 C 22 = 1 x x x 1 C = Observamos que cada elemento da matriz AB foi calculado assim: tomamos os elementos na linha da matriz A e multiplicamos cada um pelo correspondente na coluna da matriz B, e somamos estes produtos. Observe também que na matriz produto, o número de linhas é igual ao número de linhas da primeira matriz e o número de colunas é igual ao número de colunas da segunda matriz, isto é, se A é m x n e B é n x p, então AB é m x p. Por exemplo: Se a matriz A Se a matriz B A matriz A x B É do tipo É do tipo É do tipo 2 x3 3 x 4 2x4 3 x2 2 x 1 3x1 2 x3 3 x 2 2x2 3 x4 3 x 4 não existe Seja calcular o produto A x B sendo: A = e B = Notemos os tipos das matrizes: Então, se AB = a 11 a 12 temos por definição: a 21 a 22 44

44 Módulo II - 2º ano a 11 = soma dos produtos de cada elemento da primeira linha de A pelo correspondente elemento da primeira coluna de B = 1 (3) + 2 (5) = 13 a 12 = soma dos produtos de cada elemento da primeira linha de A pelo correspondente ele- mento da primeira coluna de B = 1 (4) + 2 (6) = 16 a 21 = soma dos produtos de cada elemento da primeira linha de A pelo correspondente ele- mento da primeira coluna de B = 2 (3) + 1 (5) = 11 a 22 = soma dos produtos de cada elemento da primeira linha de A pelo correspondente ele- mento da primeira coluna de B = 2 (4) + 1 (6) = 14 logo, AB = E XERCÍCIOS RESOLVIDOS Multiplique as matrizes: ) A 2x3 = e B 3x2 = (A x B) 2x2 = c 11 c 12 c 21 c 22 C 11 = 2 x x x 2 C 12 = 2 x x x 3 C 21 = 3 x x x 2 C 22 = 3 x x x 3 C = ) A2x3 = 1 0 e B2 x 3 =

45 Módulo II - 2º ano A x B 3x3 = c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33 C 11 = 3 x x 3 C 12 = 3 x (-1) + 4 x 2 C 13 = 3 x x (-2) C 21 = 1 x x 3 C 22 = 1 x (-1) + 2 x 2 C 23 = 1 x x (-2) C 31 = 0 x x 3 C 32 = 0 x (-1) + 1 x 2 C 33 = 0 x x (-2) C = ) A 2x3 = e B = A x B 2x4 = c11 c12 c13 c14 C21 c22 c23 c24 C 11 = 3 x x x 1 C 12 = 3 x x (-1) + 1 x 0 C 13 = 3 x x x (-2) C 21 = -2 x x x 1 C 22 = -2 x x (-1) + 1 x 0 C 23 = -2 x x x (-2) C 14 = 3 x x x 0 C 24 = -2 x x x 0 C =

46 Módulo II - 2º ano B x A = Não se efetua porque o número de colunas de B é diferente do número de linhas de A. Atenção! Observe que A x B é diferente de B x A AxB BxA E XERCÍCIOS 1) Calcular os produtos de A x B e B x A sendo dadas as matrizes: A = e B = ) Sejam A = e B = Calcular A x B = GABARITO 1) A x B = BxA= ) A x B =

47 Módulo II - 2º ano DETERMINANTES TERMO DE UMA MATRIZ QUADRADA Consideremos a matriz quadrada A mxn = (A ik ). Chamamos termo, o produto de m elemen- tos de A, tal que deles nunca pertençam a uma mesma fila (linha ou coluna) e, precedido do sinal de ( - ), se a permutação dos segundos índices for ímpar. Se a permutação for par, o sinal será positivo. Exemplos: a 11 a 12 1) Seja a matriz. São os termos dessa matriz: a 21 a 22 T 1 = a 11. a 22 T 2 = ( - ). a 12. a 21 repare que a permutação dos segundos índices é ímpar. Matriz de 2ª ordem Termos a 11 a 12 ( + ) a 11. a 22 a 21 a 22 ( - ) a 12. a 21 Matriz de 3ª ordem a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Termos + a 11. a 22. a 33 - a 13. a 22. a 31 48

48 Módulo II - 2º ano - a 12. a 21. a 33 - a11. a23. a32 + a 13. a 21. a 32 + a12. a23. a31 DETERMINANTE EXTRAÍDO DE UMA MATRIZ QUADRADA DE ORDEM N. Chamamos de determinantes extraído de uma matriz quadrada de ordem na soma dos n! (fatorial) termos possíveis. Então, o determinante é um número associado à matriz quadrada. Costumamos chamá-lo de _ ou D. Exemplo: Calcular o determinante _ extraído da matriz. 1 2 a) _ = a 11. a 22 a 12. a _= _ = 4-6 = b) _ = (-1) -1 4 _ = c) _ = -5 De acordo com o desenvolvimento dos termos da matriz de 3ª ordem visto anteriormente, temos: + a 11. a 22. a 33 = = 3 - a 13. a 22. a31 = = -1 49

49 Módulo II - 2º ano - a 12. a 21. a 33 = = a 11. a 21. a 32 = = -6 + a 13. a 21. a 32 = = 4 + a 12. a 23. a 31 = = 6 _ = _ = -6 CÁLCULO DO VALOR DOS DETERMINANTES DE 1ª, 2ª E 3ª ORDEM. REGRA DE SARRUS Determinante da 1ª ordem: Dada a matriz A 1x1 = (a 11 ) que é formada por um único elemento (a 11 ), o valor do determi- nante extraído de A só pode ser o próprio número a 11. Assim: _ = a 11 Exemplo: Dada a matriz A = ( 5 ), temos: _ = 5 Determinante de 2ª ordem: Já vimos que na matriz 2ª ordem: a 11 a 12 _ = a 11. a 22 - a 12. a 21 a 21 a 22 Então, na prática, basta multiplicarmos os elementos da diagonal principal e, do resultado, subtrairmos o produto dos elementos da diagonal secundária. 50 Assim: a11 a a21 a22

50 Módulo II - 2º ano Exemplos: Determine o valor dos determinantes extraídos das matrizes abaixo: 2 1 _ = a) _ = 4-3 = _ = (-1) (-3) b) _ = = 2 Determinante de 3ª ordem Regra de Sarrus Você viu que no determinante de 3ª ordem a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 _ = + (a 11 a 12 a 13 ) (a 13 a 22 a 31 ) + (a 13 a 21 a 32 ) (a 12 a 21 a 33 ) + (a 12 a 23 a 31 ) (a 11 a 23 a 32 ) Agora, observe o seguinte artifício: 1) Repita as duas primeiras linhas, logo abaixo da 3ª linha. 2) Multiplique os 3 elementos de cada diagonal decrescente da esquerda para a direita precedidos do sinal ( + ). 3) Multiplique os 3 elementos de cada diagonal decrescente da direita para a esquerda precedidos do sinal ( - ). 4) Some os 6 resultados: Assim: _ = a 11. a 22. a 33 + a 12. a 32. a 13. a 31. a 12. a 23 - a 13. a 22. a 31 + a 23. a 32. a 11. a 33. a 12. a 21 = 51

51 Módulo II - 2º ano Viu? Repare que são os mesmos resultados. Esta é a regra de Sarrus. Exemplo: _ = _ = _ = -8 E XERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) Calcule o valor dos determinantes: Temos então: a) _ = (-1) _ = 4+3= b) _ = (-3) (-2) _ = = 1 c) _ = _ = _ = -7 d) 52

52 Módulo II - 2º ano _ = (-1) + (-1) (-1) (-1). (-1). (-1) _ = -1 + (-2) (-1) _ = -3 x 8 x+1-1 e) Dado =8 Calcule _ = x 3 Da igualdade =8 obtemos 2x 12 = 8 e daí x = x Então, _ = = = 66 (-5) = E XERCÍCIOS 1) Calcular o valor dos determinantes: a) = b) = c) = ) Determine o valor de x na matriz para que o valor do determinante A, extraído da x 4 matriz, seja igual a zero. 3) Resolva as equações: x 2 a) =

53 Módulo II - 2º ano x 2 b) = x 1-1 c) 2 x -2 = 3/ GABARITO 1. a) _ = -1 b) _ = -3 c) _ = x = 2 54

54 Módulo II - 2º ano PROPRIEDADES COMPLEMENTARES DOS DETERMINANTES Vimos até aqui como se determina o valor do determinante para matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3. Para cálculo de determinante de matrizes de ordem superior a 3ª, não existem regras tão simples. Muitas vezes, porém, as propriedades dos determinantes simplificam bastante os cálculos. A seguir, vamos relacionar as principais propriedades dos determinantes. 1) O valor de um determinante não se altera quando se trocam ordenadamente as linhas pelas colunas. Ou seja, det ( A ) = det ( A T ) Exemplo: 2 3 _ = _ = _ = _ = _ = _ = -2 2) Todo determinante em que são nulos todos os elementos para um dos lados da diagonal principal, reduz-se o termo principal Exemplo: _ = = =6 55

55 Módulo II - 2º ano 3) Todo determinante em que são nulos todos os elementos para uma das bandas diagonal secundária, reduz-se o termo formado pelos elementos secundários Exemplo: _ = = = -1 4) É nulo todo determinante que possui nulos todos os elementos de uma fila Exemplo: _ = = = ) Um determinante muda de sinal quando se trocam ordenadamente duas filas paralelas. Exemplo: _ = =8 3= = 3 8 = -5 56

56 Módulo II - 2º ano 6) É nulo todo determinante que possui duas filas paralelas de elementos respectivamente proporcionais. Exemplo: 2 3 a) _ = = b) _ = = ) Quando num determinante se multiplicam ou dividem todos os elementos de uma fila por um número ( 0 na divisão), o determinante aparece multiplicado ou dividido por esse número. Exemplo: = _ = = = _ = = -6 8) É nulo todo determinante que possui duas filas paralelas de elementos respectivamente iguais. Exemplo: _ = = ) Todo determinante que possui uma fila composta de p parcelas, desenvolve-se segundo p determinantes, em que são fixas as filas exceção de composta, que é no 1º determinante formado pelas primeiras parcelas, no 2º pelas segundas parcelas e assim sucessivamente. Exemplo: = + Verifique!

57 Módulo II - 2º ano 10) É nula a soma dos produtos dos elementos de um afila pelos cofatores correspondentes aos elementos de uma fila paralela. Exemplo: = a 11. A 12 + a 21. A 22 + a 31. A (-1) (-1) (-1) 3+2. = (-3) + 1 (-5) 2 (-1) = =3 5+2=0 11) Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma fila produtos de constantes por elementos de filas paralelas. Exemplo: = 4 6 = ª linha x (-2) + = 0 2 = ª linha Observação: Essas propriedades vão lhe ajudar bastante no cálculo do valor do determinante de orden maiores que 3. E XERCÍCIOS 58 1) Calcule o valor dos determinantes: a) =

58 Módulo II - 2º ano b) = c) = d) = e) = f) = g) =

59 Módulo II - 2º ano GABARITO 1) a) _ = 0 b) _ = 0 c) _ = 4 d) _ = 4 e) _ = 0 f) _ = 6 g) _ = -1 60

60 Módulo II - 2º ano GEOMETRIA ANALÍTICA O PONTO SISTEMA CARTESIANO PLANO Considere num plano a dois eixos x e y perpendiculares em O. O par de eixos x (Ox), eixo das abscissas, e y (Oy), eixo das ordenadas, chama-se sistema cartesiano ortonormal. O plano a é o plano cartesino. O ponto O é a origem do sistema. Dado um ponto P qualquer, P, traçando por P duas retas: x paralela a x e y paralela a y e chamando P 1 intersecção de y com x e P 2 intersecção de x com y, temos: 1) o número real xp = OP1, abscissa de P; 2) o número real yp = OP2, ordenada de P; 3) os números reais x p e y p, coordenadas de P, que indicamos (x p, y p ), sendo a abscissa sempre o primeiro termo do par. Dessa forma dado um ponto P qualquer, P, a ele fica associado um único par ordenado de números reais (x p, y p ) e, reciprocamente, dado um par ordenado (x p, y p ) de números reais, a este par fica associado um único ponto P. 61

61 Módulo II - 2º ano E XERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Represente no plano cartesiano os pontos A (1, 2), B (-2, 3), C (2, -1), D (-3, -2), E (3, 0) e F (0, 4): Solução 2. Dê as coordenadas dos pontos assinalados no gráfico: Solução: A (-2, 0) B (3, 0) C (0, 2) D (0, -1) E (0, 3) Observação: Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas quadrantes. Veja como eles são enumerados: Assim, os pontos, conforme as coordenadas, pertencem a um determinado quadrante, com exceção dos pontos situados nos eixos x e y, que por convenção não pertencem a nenhum dos quadrantes. 62

62 Módulo II - 2º ano E XERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Represente no plano cartesiano abaixo os pontos M (1, 3), N (-1, -2), P (0, 4), Q (2, 0), R (3, -1), S (3, 1), T (-2, 0), U (0, 3), V (-2, 2): 2. Com relação ao exercício anterior, que pontos estão no: a) 1º quadrante? b) 2º quadrante? c) 3º quadrante? d) 4º quadrante? e) eixo das abscissas? f) eixo das ordenadas? 3. Coloque V ou F: a) Todo ponto do eixo das abscissas tem ordenada nula. ( ) b) Todo ponto do eixo das ordenadas tem abscissa nula. ( ) c) Todo ponto de abscissa nula pertence ao eixo Ox. ( ) d) Todo ponto de ordenada nula pertence ao eixo Oy. ( ) e) Se as coordenadas de um ponto são positivas, então esse ponto encontra-se no 1º quadrante. ( ) f) Se as coordenadas de um ponto são negativas, então esse ponto encontra-se no 4º quadrante. ( ) g) As coordenadas de um ponto são abscissa e ordenada. ( ) DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Dados dois pontos A (x1, y2) e B (x2, y2), vamos determinar a distância dab entre eles: 1º caso AB paralelo a x: d AB = I x 2 x 1 I 63

63 Módulo II - 2º ano 2º caso AB paralelo a y: d AB = Iy 2 y 1 I 3º caso AB não é paralelo aos eixos. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo ABC: d 2 AB = d 2 AC + d 2 CB Sendo d AC = Ix 2 x 1 I e d CB = Iy 2 y 1 I, então: d 2 AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 ou d AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 E XERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Represente os pontos A (7, -6) e B (2, 6) e calcule a distância entre eles: Solução Sendo: A (7, -6) e B (2, 6) x 1 y 1 x 2 y 2 Substituindo na expressão: d AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 d AB = (2 7) 2 + [6 (-6)] 2 d AB = (-5) d AB = 169 = 13 64

64 Módulo II - 2º ano 2. Represente os pontos A (-2, 5), B (4, -3) e C (-2, -6), vértices do triângulo ABC, e calcule o perímetro desse triângulo: Solução Lembrando que o perímetro é a soma das medidas dos lados, vamos calcular a medida de cada lado: d AB = [4 (-2)] 2 + [(-3) 5] 2 = 100 = 10 d BC = [(-2) 4] 2 + [(-6) (-3)] 2 = 45 = 3 5 d AC = [(-2) (-2) 2 + [(-6) 5] 2 = 121 = 11 Então, o perímetro será = E XERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Calcule a distância entre os seguintes pares de pontos: a) A (3, 2) e B( 5, 4) b) M (6, 3) e P (2, 7) c) R (5, 1) e S (7, 9) d) T (-3, 2) e N (4, -7) e) V (-2, -3) e L (-2, -5) f) D (0, -3) e F (7, 0) 2. Determine a distância do ponto A (-3, 4) à origem do sistema. 65

65 Módulo III - 3º ano GEOMETRIA ANALÍTICA II MATEMÁTICA - MÓDULO III A RETA EQUAÇÃO GERAL Dados dois pontos distintos A (x1, y1) e B (x2, y2), consideremos um ponto P (x, y) genérico da reta AB. Se A, B e P são colineares, então: x y 1 x1 y1 1 = 0 x2 y2 1 Observe que x 1, y 1, x 2, y 2 não são variáveis, são números reais dados. As únicas variáveis são x e y, coordenadas do ponto P. Desenvolvendo o determinante, temos: ou xy 1 - xy 2 + x 2 y - x 1 y + x 1 y 2 - x 2 y 1 = 0 x (y 1 y 2 ) + y (x 2 x 1 ) + x 1 y 2 - x 2 y 1 = 0 a b c Substituindo pelos números reais a = y 1 y 2, b = x 2 x 1 e c = x 1 y 2 x 2 y 1, temos: ax + by + c = 0 66

66 Módulo III - 3º ano Essa expressão é chamada equação geral da reta que passa pelos dois pontos A e B. Dessa forma, dada uma reta AB qualquer do plano cartesiano, a ela fica associada uma equação do tipo ax + by + c = 0 e, reciprocamente, demonstra-se que toda equação do tipo ax + by + c = 0 (a, b, c IR e a 0 ou b 0) representa uma reta. E XERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A (5, 2) e B (-1, 3): Solução Dos dados do problemas temos: x1 = 5, y1 = 2, x2 = -1 e y2 = 3 Substituindo em: x y 1 x y 1 x 1 y 1 1 = = 0 x 2 y Resolvendo: - x 6y + 17 = 0 (equação geral da reta que passa pelos pontos A e B) 2. Verifique se os pontos P (2, -1) e Q (-3, 5) pertencem à reta r, de equação x + 3y + 1 = 0: Solução Um ponto pertence a uma reta quando as suas coordenadas satisfazem a equação dessa reta. Assim, para verificar se um ponto pertence ou não a uma reta, devemos substituir as coordenadas desse ponto pelo x e pelo y da equação da reta dada. Para o ponto P (2, -1): x = 2 e y = -1 Substituindo em x + 3y + 1 = 0: (-1) + 1 = 0 67

67 Módulo III - 3º ano Logo, P r. Para o ponto Q (-3, 5): x = -3 e y = 5 Substituindo em x + 3y + 1 = 0: Logo, Q r. INTERSEÇÃO DE RETAS Se duas retas são concorrentes, têm, portanto, um único ponto em comum, cujas coordenadas satisfazem simultaneamente a ambas as equações dessas retas. Para determinarmos esse ponto de intersecção, basta resolver o sistema formado pelas equações dessas retas. Exemplo: Determine o ponto de intersecção das retas de equações 2x 3y 8 = 0 e 5x + 2y 1 = 0. Montando o sistema e resolvendo pelo método da adição: 2x 3y = 8 x 5 10x 15y = 40 5x + 2y = 1 x-2-10x 4y = y = 38 y = -2 Substituindo y = -2 em 2x 3y = 8, temos: 2x 3. (-2) = 8 2x + 6 =8 x=1 Assim, o ponto de intersecção é (1, -2). PARALEL AS CONDIÇÃO DE PARALELISMO A condição necessária e suficiente para que duas retas r e s não verticais sejam paralelas entre si é que tenham o mesmo coeficiente angular. Em linguagem matemática: r // s m r = m s 68

68 Módulo III - 3º ano E XERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Verifique se as retas r e s são paralelas, sendo r: 3x + 7y 9 = 0 e s: 6x + 14y 10 = 0: Solução Determinando o coeficiente angular de r e s: mr = - a = - 3 b 7 ms = - a = - 6 = - 3 b 14 7 Como mr = ms, então r // s. E XERCÍCIOS RESOLVIDOS 2. Verifique se as retas r e s são paralelas, sendo r: 3x + 7y 9 = 0 e s: 6x + 14y 10 = 0: Solução Determinando o coeficiente angular de r e s: mr = - a = - 3 b 7 ms = - a = - 6 = - 3 b 14 7 Como mr = ms, então r // s. E XERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Verifique se as retas r e s abaixo são paralelas em cada um dos seguintes casos: a) r : 6x + 7y + 3 = 0 e s: 12x + 14y 21 = 0 b) r: 5x + 3y 10 = 0 e s: 5x 10y 10 = 0 PERPENDICUL ARES CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO A condição necessária e suficiente para que duas retas r e s não verticais sejam perpendiculares entre si é que o produto dos seus coeficientes angulares seja igual a 1. Em linguagem matemática: r s mr. ms = -1 69

69 Módulo III - 3º ano E XERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Verifique se as retas r: 2x 7y + 10 = 0 e s: 14x + 4y 9 = 0 são perpendiculares: Solução Calculando mr e ms, temos: mr = - a = -2 = 2 b -7 7 ms = - a = -14 = - 7 b 4 2 Como mr. ms = = -1, então r s. 7 2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Verifique se as retas r e s abaixo são perpendiculares em cada um dos seguintes casos: a) r: 3x 2y + 7 = 0 e s: 8x + 12y 15 = 0 b) r: x + 7y 10 = 0 e s: y = 7x

70 Módulo III - 3º ano A CIRCUNFERÊNCIA EQUAÇÃO REDUZIDA Considere o seguinte problema: Dada uma circunferência de centro C (a, b) e raio r, determine a equação dessa circunferência. Da mesma forma que, dada uma reta do plano cartesiano, a ela fica associada uma equação do tipo ax + by + c = 0, queremos determinar uma equação de modo que as coordenadas de todo ponto da circunferência satisfaçam a essa equação. Sabemos que um ponto genérico P (x, y) do ponto cartesiano pertence à circunferência de centro C (a, b) quando a distância entre o ponto e a circunferência é igual ao raio. Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos, temos: Essa expressão é chamada equação reduzida da circunferência de centro C (a, b) e raio r. Dessa forma, dada uma circunferência qualquer do plano cartesiano de centro C (a, b) e raio r, a ela fica associada uma equação do tipo (x a) 2 + (y b) 2 = r 2. Exemplos: A equação da circunferência de centro C (2, 5) e raio r = 5 é (x 2) 2 + (y 5) 2 = 5 2. A equação da circunferência de centro C (-3, 0) e raio r = 7 é (x + 3) 2 + (y 0) 2 = 72 ou (x + 3) 2 + y 2 = 49. A equação da circunferência de centro C (0, 0) e raio r = 1 é x 2 + y 2 = 1. Reciprocamente, demonstra-se que toda equação do tipo (x a) 2 + (y b) 2 = r 2, com r > 0, representa uma circunferência do plano cartesiano de centro C (a, b) e raio r. 71

71 Módulo III - 3º ano Exemplos: (x + 3) 2 + (y 2) 2 = 9 representa uma circunferência de centro C (-3, 2) e raio r = 3. x 2 + (y + 5) 2 = 5 representa uma circunferência de centro (0, 5) e raio r = 5. E XERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Escreva a equação da circunferência de centro C e raio r nos seguintes casos: a) C (3, 2) e r = 7 b) C (-1, 4) e r = 3 c) C (-4, -3) e r = 1 d) C (3, 0) e r = 6 2. Determine o centro C (a, b) e o raio r das circunstâncias de equações: a) (x 4) 2 + (y 5) 2 = 9 b) (x 3) 2 + (y + 1) 2 = 25 c) x 2 + y 2 = 2 d) x 2 + (y 5) 2 = 7 72

72 Módulo III - 3º ano POLINÔMIO FUNÇÃO POLINOMINAL Chamamos de função polinomial qualquer função de IR em IR definida por: P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n a 0 Onde: - os coeficientes a n, a n-1,..., a 0 são números reais; - os expoentes n, n 1, n 2,..., 0 são números naturais; - a expressão algébrica P (x) = a n x n + a n-1 x n a 0 Os termos desse polinômio são: a n x n, a n-1 x n-1,..., a 0. Exemplos de funções polinômiais de IR em IR: Função quadrática: P (x) = 3x 2 4x + 8 a 2 = 3, a 1 = -4, a 0 = 8 P(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 f (x) = x 2 + x a 2 = 1, a 1 = 1, a 0 = 0 (com a 2 0) y = 5x 2-9 a 2 = 5, a 1 = 0, a 0 = -9 Função do 1º grau: P (x) = 7x 7 a 1 = 7, a 0 = -4 P (x) = a 1 x + a 0 f (x) = 5x (com a1 0) a 1 = 5, a 0 = 0 73

73 Módulo III - 3º ano E XERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Quais das expressões definem funções polinomiais em IR em IR? Explique. a) P (x) = x 3 4x 2 + 7x 8 Solução Esta expressão define uma função polinomial, pois os coeficientes são números reais e os expoentes são números naturais. b) P (x) x x + 7 Solução Não define uma função polinomial, pois o expoente 2 não é um número natural. c) P (x) x 3 + 5x2 + x Solução 3 Não define uma função polinomial, pois o expoente 3 não é um número natural e o coeficiente -9 não é um número real Destaque em cada polinômio os termos e os coeficientes: a) P (x) = 5x 4 7x 3 + x 2 x + 8 Solução termos: 5x 4, -7x 3, x 2, -x, 8 coeficientes: 5, -7, 1, -1, 8 b) f (x) = x 2 - x Solução termos: x 2, - x, 3 4 coeficientes: 1, - 1,

74 Módulo III - 3º ano E XERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Assinale com x as expressões que definem funções polinomiais de IR em IR: a) P (x) = 3x 2 + 4x 2 ( ) b) P (x) = x x + 2 ( ) 3 c) P (x) = x + 8x 5 ( ) d) P (x) = 8x 3-7 x 2 + 4x 1 ( ) 5 e) P (x) = x + x ( ) 2. Destaque os termos e os coeficientes do seguinte polinômio: P (x) = x 5 + 4x 4 x x 2 + x GRAU DE UM POLINÔMIO O grau de um polinômio P (x) = a n x n + a n-1 x n a 0 que tenha pelo menos um coefi- ciente não nulo será p se e somente se ap 0 e todos os coeficientes com índices maiores que p forem nulos. Indica-se o grau de P (x) pelo símbolo: gr (P) Exemplos: P (x) = 5x 4 2x 3 + 4x + 8 gr (P) = 4 2 F (x) = 0x 4x gr (F) = 1 A (x) = 7 que é o mesmo que A (x) = 7x 0 fi gr (A) = 0 E XERCÍCIOS RESOLVIDOS Solução se m 0 gr (P) = 4 se m = 0 gr (P) = 3 75

75 Módulo III - 3º ano E XERCÍCIOS PROPOSTOS Complete: a) Se a 0, então o grau de P (x) = ax 3 + 7x 2 x + 8 é... b) Se b = 0, então o grau de F (x) = bx 2 3x + 4 é... c) Se m 3, então o grau de T (x) = (m 3) x + 8 é... d) Se n = -1, então o grau de R (x) = (n + 1) x 2 10 é... VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO O valor numérico de um polinômio P (x), para x = a, é o número real que se obtém substituindo o x pelo a. Exemplo: Calcule o valor numérico de P (x) = x 2 3x 4 nos seguintes casos: para x = 1 P (1) = = -6 para x = 4 P (4) = = 0 para x = -1 P (-1) = (-1) 2 3 ( -1) 4 = 0 Observação: Chama-se raiz ou zero da função polinomial o valor de x para o qual P (x) = 0; assim, se P (a) = 0, então a é uma raiz ou um zero da função. No exemplo dado P (x) = x 2 3x 4, os números 4 e 1 são raízes de P (x), pois P (4) = 0 e P (-1) = 0. E XERCÍCIOS RESOLVIDOS Dado o polinômio P (x) = x 3 2x 2 x + 2, quais dos números 1, 0, 1, 2 e 3 são raízes desse polinômio? Solução Vamos calcular o valor numérico desse polinômio para cada um dos números dados: para x = -1 P (-1) = (-1) 3 2 (-1) 2 (-1) + 2 = 0. Como P (-1) = 0, então 1 é uma raiz desse polinômio. para x = 0 P (0) = = 2 Como P (0) 0, então 0 não é uma raiz desse polinômio. para x = 1 P (1) = = 0 Como P (1) = 0, então 1 é uma raiz desse polinômio. 76

76 Módulo III - 3º ano para x = 2 P (2) = = 0 Como P (2)= 0, então 2 é uma raiz desse polinômio. para x = 3 P (3) = = 8 Como P (3) 0, então 3 não é uma raiz desse polinômio. Resposta: São raízes os números 1, 1 e 2. 77

77 Módulo III - 3º ano GEOMETRIA ESPACIAL PONTO RETA PLANO Temos, intuitivamente, uma noção de ponto, reta e plano. Assim, grãos de areia, céu estrelado, o pingo do i nos dão uma idéia de ponto; fios esticados, a intersecção de duas paredes, uma idéia de reta; e as paredes de uma sala, uma idéia de plano. Esses entes geométricos, ponto, reta e plano, intuitivos, sem definição, são conceitos primitivos da geometria. Indicação: a) para o ponto usamos uma letra latina maiúscula (A, B, C,... Z); b) para a reta usamos uma letra latina minúscula (a, b, c,... z); c) para o plano usamos uma letra grega minúscula (a, b, g...). POSTUL ADOS OU AXIOMAS As proposições como verdadeiras sem serem demonstradas chamam-se postulados e eles estabelecem as relações básicas entre ponto, reta e plano. P 0 : Existem infinitos pontos, infinitas retas e infinitos planos. P 1 : Numa reta existem infinitos pontos e fora dele também. P 2 : Num plano existem infinitos pontos e fora dele também. P 3 : Por um ponto passam infinitas retas. P 4 : Dois pontos distintos determinam uma única reta. P 5 : Três pontos não alinhados determinam um único plano. P 6 : Entre dois pontos distintos de uma reta existe sempre um outro ponto da reta. P 7 : Se os dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, esta reta está contida neste plano. P 8 : Um ponto qualquer de uma reta divide-se em duas semi-retas. P 9 : Uma reta qualquer de um plano divide-o em dois semiplanos. 78

78 Módulo III - 3º ano E XERCÍCIOS Coloque V ou F: a) Por dois pontos distintos passa uma única reta. ( ) b) Por uma reta passa um único plano. ( ) c) Três pontos quaisquer determinam um único plano. ( ) d) Por um ponto fora de uma reta passa uma única reta paralela à reta dada. ( ) e) Numa reta existem apenas dois pontos. ( ) f) Num plano há infinitas retas. ( ) g) A reta é um conjunto de pontos. ( ) h) Três pontos não-colineares determinam um único plano. ( ) i) Dois pontos distintos são sempre colineares. ( ) j) Por um ponto dado passa uma única reta. ( ) POSIÇÕES RELATIVAS DE D UA S RETAS No espaço, duas retas distintas podem ser coplanares ou reversas. Retas coplanares: quando existe um plano que contém as duas retas. Exemplos: Observe: As retas paralelas não têm ponto em comum e as concorrentes têm um único ponto em comum, porém ambas são coplanares. Retas reversas: quando não existe um plano que contém as duas. Exemplo: Observe: As retas reversas, da mesma forma que as paralelas, não têm ponto em comum, porém as reversas são não-coplanares, isto é, não estão no mesmo plano. 79

79 Módulo III - 3º ano Outros exemplos: Na figura abaixo temos: As retas AB e BC são concorrentes em B. As retas CD e GH são paralelas. As retas ED e DH são concorrentes em D. As retas AF e CD são reversas, pois não existe um plano que as contenha. As retas BC e ED são paralelas. As retas CG e ED são reversas, pois não existe um plano que as contenha. E XERCÍCIOS 1. Complete usando paralelas, concorrentes ou reversas : a) Duas retas distintas coplanares podem ser... b) Se duas retas não têm ponto em comum e são não-coplanares, então elas são... c) Se duas retas não têm ponto em comum e são coplanares, então elas são... d) Se duas retas têm um único ponto em comum, então elas são... e) Se duas retas não têm ponto em comum, elas podem ser Observe o cubo abaixo e coloque V ou F: a) r e s são paralelas. ( ) b) r e t são concorrentes. ( ) c) t e u são paralelas. ( ) d) p e s são concorrentes. ( ) e) t e s são concorrentes. ( ) f) t e q são reversas. ( ) g) s e m são reversas. ( ) h) t e s são reversas. ( ) 80

80 Módulo III - 3º ano Retas perpendiculares e retas ortogonais Duas retas concorrentes são perpendiculares quando formam quatro ângulos retos: Indica-se: r s Duas retas são ortogonais se existir uma reta paralela a uma delas e perpendicular à outra: Sendo s // s e s r, então r e s são ortogonais. Indica-se: r s Observe que r e s são ortogonais porque existe uma reta s tal que s //s e s r. Outros exemplos: No cubo temos: t é perpendicular a r. Indica-se: t r. u é perpendicular a s. Indica-se: u s. t é ortogonal a s. Indica-se: t s. q é ortogonal a r. Indica-se: q r. E XERCÍCIOS Observando o cubo do exemplo anterior, coloque V ou F: a) q s. ( ) b) v q. ( ) c) u n. ( ) d) q m. ( ) e) u m. ( ) f) v e n são paralelas. ( ) g) v e u são reversas. ( ) h) t e s são reversas. ( ) i) r e s são concorrentes. ( ) j) q e t são reversas. ( ) 81

81 Módulo III - 3º ano POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA E UM PLANO Dados uma reta e um plano, poderemos ter uma das seguintes posições relativas: a) Reta contida no plano Quando todos os pontos da reta pertencem também ao plano. r a r =r b) Reta e plano concorrentes Quando a reta e o plano possuem um único ponto e em comum. r ={P} c) Reta paralela ao plano Quando a reta e o plano não têm ponto em comum. r // r = POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS PL ANOS Dados dois pontos distintos, poderemos ter uma das seguintes posições relativas: a) Planos secantes ou concorrentes Quando possuem uma única reta em comum. =i b) Planos paralelas Quando os dois planos não têm ponto em comum. 82 // =

82 Módulo III - 3º ano GEOMETRIA MÉTRICA PRISMA Definição Seja a figura abaixo, onde: e são dois planos paralelos. p é um polígono contido em a. r é uma reta que fura a no ponto F. Se considerarmos, nesta figura, todos os segmentos paralelos a r, tais que uma extremidade é um ponto no polígono p e a outra extremidade é um ponto no plano b, temos um sólido geométrico chamado prisma. ELEMENTOS DO PRISMA Os polígonos ABCDE e A B C D E são as bases. Os lados AB, BC, CD, DE, EA, A B, B C, C D, D É, E A das bases, são as arestas das bases. Os paralelogramos AA BB, BB CC, CC DD, DD EE, EE AA são as faces laterais. Os segmentos AA, BB, CC, DD, EE, paralelos a r, são as arestas laterais. A distância entre a e b, planos das bases, é a altura (h). E XERCÍCIOS PROPOSTOS Observe os prismas e complete: 1) a) As bases são ABC e... b) As arestas das bases são... c) As arestas laterais são... 83

83 Módulo III - 3º ano Nota: Este prisma é chamado prisma triangular, pois as bases são triângulos. 2) a) As arestas da base são... b) As faces laterais são... c) As bases são... Nota: Este prisma é chamado prisma quadrangular, pois as bases são quadriláteros. 3) a) As bases são... b) As faces laterais são... c) As arestas laterais são... Nota: Este prisma é chamado prisma pentagonal, pois as bases são pentágonos. PRISMA RETO E PRISMA OBLÍQUO Quando as arestas laterais de um prisma são perpendiculares aos planos das bases, o prisma é reto, quando não são, o prisma é oblíquo. 84 Observe: Se um prisma é reto, as faces laterais são retângulos.

84 Módulo III - 3º ano PRISMA REGUL AR Um prisma reto é regular quando as bases são polígonos regulares. Exemplos: É importante notar que se um prisma é regular, as arestas são perpendiculares aos planos das bases, e as bases são polígonos regulares; consequentemente, as faces laterais são retêngulos congruentes entre si. E XERCÍCIOS PROPOSTOS Coloque V ou F: a) Um prisma chama-se pentagonal quando as arestas de cada base são em número 5. ( ) b) Se um prisma é reto, as arestas não são congruentes entre si. ( ) c) num prisma oblíquo, a medida da altura é igual à medida de uma aresta lateral. ( ) d) Um prisma triangular tem quatro faces laterais. ( ) e) Um cubo é um prisma regular. ( ) f) Todo prisma regular é reto. ( ) g) Todo prisma tem apenas duas bases. ( ) h) Um prisma triangular tem no total 6 arestas. ( ) i) Um prisma pentagonal tem 5 faces laterais. ( ) j) Se as bases de um prisma são quadrados, as faces laterais são necessariamente retângulos. ( ) k) Se as bases de um prisma reto são quadrados, as faces laterais são necessariamente retângulos. ( ) CASOS PARTICULARES DE PRISMAS QUADRANGUL ARES Paralelepípedo é um prisma quadrangular cujas bases são paralelogramos. 85

85 Módulo III - 3º ano PARALELEPÍPEDOS ESPECIAIS Paralelepípedo reto-retângulo é o prisma reto cujas bases são retângulos. Cubo é o paralelepípedo reto-retângulo cujas bases e faces laterais são quadrados. Assim, todas as arestas são congruentes entre si. DIAGONAL DE UM PARALELEPÍPEDO RETO-RETÂNGULO Seja o paralelepípedo reto-retêngulo de dimensões a, b e c. Sendo: I d diagonal da base diagonal do prisma E aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos ABC e BHC, temos: no _ ABC I 2 = a 2 + b 2 I no _ BHC d 2 = I 2 + c 2 II Substituindo I em II : d 2 = a 2 + b 2 + c 2 ou d = a 2 + b 2 + c 2 Caso particular Sendo o cubo um paralelepípedo reto-retângulo onde todas as arestas são congruentes entre si, então a diagonal do cubo será dada pela expressão: d = a 2 + a 2 + a 2 (onde a é a aresta do cubo) ou d = 3a 2 ou d = a 3 86

86 Módulo III - 3º ano ÁRE A TOTAL DE UM PARALELEPÍPEDO RETO-RETÂNGULO A área total (S) da superfície externa de um paralelepípedo reto-retângulo é a soma das áreas de 6 retângulos 2 a 2 congruentes. Seja o paralelepípedo reto-retêngulo abaixo de dimensões a, b e c. S = ab + ab + bc + bc + ac + ac ou: S = 2ab + 2bc + 2ac ou ainda: S = 2 (ab + bc + ac) Caso particular A área total de um cubo de aresta a é igual a: S = a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 + a 2 ou S cubo = 6a 2 VOLUME DE UM PARALELEPÍPEDO RETO-RETÂNGULO O volume de um prisma é igual ao produto da área da base (S b ) pela altura (h), ou seja: V prisma = S b. h Assim, dado um paralelepípedo reto-retângulo cuja área da base é Sb = a. b e b a altura h = c, então o seu volume será igual a: V paralelepípedo = a. b. c reto-retângulo 87

87 Módulo III - 3º ano Caso particular O volume de um cubo de arestas a é igual a: V cubo = a 3 Resumindo Sendo a, b e c as dimensões de um paralelepípedo reto-retângulo e sendo a a aresta de um cubo, temos: A diagonal do paralelepípedo reto-retângulo é igual a: d = a 2 + b 2 + c 2 A diagonal do cubo é igual a: a = a 3 A área total do paralelepípedo reto-retângulo é igual a: S = 2 (ab + bc + ac) A área total do cubo é igual a: S = 6a2 O volume do paralelepípedo reto-retângulo é igual a: V = a. b. c O volume do cubo é igual a: V = a 3 88

88 Módulo III - 3º ano E XERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Dado um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 3m, 4m e 5m, calcule: a) a sua diagonal (d): b) a sua área total (s): c) o seu volume (V). Solução a) d = a 2 + b 2 + c 2 Sendo a = 3, b = 4 e c = 5: d= = 50 = = 5 2 m b) S = 2 (ab + bc + ac) S = 2 (( ) = = 94 m 2 c) V = a. b. c V = = 60 = 60 m 3 2. Se o volume de um cubo é igual a V = 8 cm3, calcule: a) a sua aresta (a); b) a sua área total (S). Solução a) V = a 3 Sendo V = 8: 8 = a 3 ou a 3 = 8 a = 3 8= = 2cm b) S = 6. a 2 S = = 6. 4 = 24 cm 2 89

89 Módulo III - 3º ano 3. Um paralelepípedo reto-retângulo tem área da base igual a S b = 18 cm 2 e volume V = 36 cm 3. Calcule a sua altura: Solução O volume de um prisma é V = S b. h, onde S b h área da base altura Sendo V = 36 e S b = 18, então: 36 = 18 h h = 2 cm E XERCÍCIOS 1. Qual a diagonal de um paralelepípedo reto-retêngulo de dimensões 2 cm, 7 cm, 8 cm? 2. Qual o volume de um cubo de aresta a = 6 m? 3. Dado um paralelepípedo reto-retêngulo de dimensões 3 cm, 10 cm, 12 cm, calcule o seu volume e a sua área total. 4. Se o volume de um cubo é V = 27 m 3, calcule a sua aresta e a sua área total. 5. Se a área total de um cubo é S = 150 m 2, calcule a sua aresta e o seu volume. PIRÂMIDE Definição Seja a figura abaixo, onde: é um plano. p é um polígono contido em. V é um ponto não pertencente a. Se considerarmos nesta figura todos os segmentos, tais que um extremo é um ponto do polígono p e o outro é o ponto V, temos um sólido geométrico chamado pirâmide. ELEMENTOS DA PIRÂMIDE O ponto V é o vértice. 90

90 Módulo III - 3º ano O polígono ABCDE é a base. Os lados AB, BC, CD, DE e EA da base são as arestas da base. Os triângulos AVB, BVC, CVD, DVE e EVA são as faces laterais. Os segmentos AV, BV, CV, DV e EV são as arestas laterais. A distância entre o vértice e o plano da base é a altura (h). Nota: Da mesma forma que os prismas, as pirâmides também podem ser classificadas em triangulares, quadrangulares, pentagonais, etc., de acordo com a base. Exemplos: PIRÂMIDE REGUL AR Uma pirâmide é regular quando a base é um polígono regular e a altura é igual à distância do vértice ao centro da base. Numa pirâmide regular, temos: - as arestas laterais são congruentes; - as faces laterais são triângulos isósceles congruentes entre si. Observe a pirâmide pentagonal regular: VR = h (altura VM (opótema da pirâmide) Note que o apótema (VM) da pirâmide é a altura do triângulo isósceles AVB. 91

91 Módulo III - 3º ano E XERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Complete, dando o nome dos elementos da pirâmide quadrangular regular: a) O quadrado ABCD é... b) Os segmentos AB, BC, CD e AD são... c) Os segmentos AV, DV, CV e BV são... d) O segmento VM é... e) O segmento VT é Coloque V ou F: a) Se um prisma é triangular, então a sua base é um triângulo. ( ) b) Um prisma quadrangular tem no total 4 arestas. ( ) c) Um prisma pentagonal tem 5 faces laterais. ( ) d) Em um prisma trinagular regular, todas as faces são triângulos.( ) Volume de uma pirâmide O volume de uma pirâmide é dado pela expressão: V pirâmide = Sb. h onde Sb h área da base altura E XERCÍCIOS RESOLVIDOS Uma pirâmide quadrangular regular de altura h = 4 m tem a aresta da base medindo 6m. calcule: a) o seu volume (V); b) o seu apótema; c) a sua área total (S). a) V = S b. h 3 S b = 6. 6 = 36 m 2 Sendo V = = 48 m 3 h=4m 3 b) Apótema VM =? No _ retângulo VPM, aplicando o teorema de Pitágoras: VM 2 = VM = 5 m 92

92 Módulo III - 3º ano c) A área total (S) da superfície externa de uma pirâmide é a soma da área da base (Sb) com a área lateral. (Sl): S b S= S b + S l onde Sb = 6. 6 = 36 m 2 área da base Sl área lateral S l é igual a quatro vezes a área de cada triângulo: Sl = 4 x b. h 2 b=6m Sendo Sl = 4 x 6. 5 = 60 m 2 h = VM = 5 m 2 S = 36 m m 2 = 96 m 2 E XERCÍCIOS 1. Calcule o volume de uma pirâmide quadrangular regular de altura igual a 8 cm e aresta da base 2 cm. 2. Uma pirâmide hexagonal regular tem a área da base igual a 12 m 2 e altura 5m. calcule o seu volume. 3. Calcule o apótema de uma pirâmide quadrangular regular de altura 10 cm e aresta da base 4. Qual o apótema de uma pirâmide regular cuja aresta lateral mede 10 cm e a aresta da abse 12 cm? 5. Determine a altura e o volume de uma pirâmide quadrangular regular cuja área da base mede 36 cm 2 e o apótema 5 cm. CILINDRO CIRCULAR Definição Seja a figura abaixo, onde: e são dois planos paralelos. C é um círculo de centro O, raio r, contido em t é uma reta que fura a no ponto F. Se considerarmos nesta figura todos os segmentos paralelos a t, tais que uma extremidade é um ponto do círculo C e a outra um ponto no plano, temos um sólido geométrico chamado cilindro circular. 93

93 Módulo III - 3º ano ELEMENTOS DO CILINDRO Os círculos de centro O e O e raio r são as bases. Os segmentos paralelos a t com extremos nas circunferências das bases são as geratrizes. A distância entre e, planos das bases, é a altura (h). CILINDRO RETO E CILINDRO OBLÍQUO Quando as geratrizes são perpendiculares aos planos das bases, o cilindro é reto; quando não são, o cilindro é oblíquo. CILINDRO EQÜILÁTERO Um cilindro reto é eqüilátero quando a altura é igual ao dobro do raio das bases: E XERCÍCIOS PROPOSTOS Coloque V ou F: a) Um cilindro é reto quando g = h. ( ) b) Um cilindro é oblíquo quando g > h. ( ) c) O segmento que une os centros das bases de um cilindro é paralelo às geratrizes. ( ) d) Círculo é o mesmo que circunferência. ( ) 94

94 Módulo III - 3º ano ÁRE A TOTAL DE UM CILINDRO RETO A área total (S) da superfície externa de um cilindro reto é a soma das áreas das bases com a área lateral: S = 2 S h + S l onde S b S l área da base área lateral Seja o cilindro reto da altura h, com bases de raio r: S b = π r 2 área do círculo de raio r S l = 2 π rh área de um retângulo de dimensões 2p r, comprimento da circunferência, e h Assim: S = 2 π r π rh ou S = 2 π r (r + h) VOLUME DO CILINDRO O volume do cilindro é igual ao produto da área da base (Sb) pela altura (h). Sendo S b = π r 2, então: V cilindro = π r 2 h Resumindo: Sendo h a altura de um cilindro reto de raio da base r, temos: 95

95 Módulo III - 3º ano A área da base é igual a: S b = π r 2 A área lataral é igual a: S l = 2 π rh A área total é igual a : S=2 π r (r + h) O volume á igual a: V = π r 2 h E XERCÍCIOS 1. Dado um cilindro reto de altura h = 10 cm e raio da base 4 cm, calcule: a) a área da base (Sb); b) a área lateral (Sl); c) a área total (S). 2. determine a área total e o volume de um cilindro reto de altura 3 m e diâmetro da base 2 m. 3. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume de um cilindro eqüilátero (h = 2 r) cujo raio da base é igual a 5 dm. 4. Se a área da base de um cilindro rero é S b = 36 π cm 2, calcule o raio da base desse cilindro. 5. Um cilindro eqüilátero tem área da base S b = 25 π cm 2. Calcule o seu volume. CONE CIRCULAR Definição Seja a figura abaixo, onde: C é um círculo de centro O, raio r, contido num plano. V é um ponto não pertencente a. 96

96 Módulo III - 3º ano Se considerarmos nesta figura todos os segmentos, tais que uma extremidade é um ponto do círculo e a outra é o ponto V, temos um sólido geométrico chamado cone circular. ELEMENTOS DO CONE O ponto V é o vértice. O círculo de centro O e raio r é a base. Os segmentos com uma extremidade na circunferência da base e a outra no ponto V são as geratrizes. A distância entre o vértice e o plano da base é a altura (h). A reta OV é o eixo. CONE RETO E CONE OBLÍQUO Quando o eixo é perpendicular ao plano da base, o cone é reto; quando não, o cone é oblíquo. Nota: Num cone reto, as geratrizes são todas congruentes entre si, e sendo g a geratriz, h a altura e r o raio da base, aplicando a relação de Pitágoras, temos: g 2 = h 2 + r 2 CONE EQÜILÁTERO Um cone reto é eqüilátero quando a geratriz é igual ao dobro do raio da base. Aplicando a relação de Pitágoras: (2r) 2 = h 2 + r 2 h=r 3 4r 2 r 2 = h 2 h 2 = 3r 2 97

97 Módulo III - 3º ano VOLUME DE UM CONE O volume de um cone é dado pela expressão: Sb = p r 2 Vcone = S b. h Sendo 3 h altura área da base V = π r 2. h 3 E XERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Calcule a medida da geratriz (g) de um cone reto, de altura h = 4 m e raio da base r = 3 m: Solução g 2 = h 2 + r 2 g = h 2 + r 2 Sendo h = 4 e r = 3: g = = 25 = 5 m 2. Num cone eqüilátero, o raio da base mede 5 m. pergunta-se qual o valor da altura? Solução Sendo r = 5: h = r 3 h = 5 3m 3 E XERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Quanto mede a geratriz de um cone reto de altura h = 12 m e raio da base r = 5 m? 2. Determine a altura (h) de um cone reto cuja geratriz é g = 13 cm e o raio da base r = 12 cm. 3. Calcule a altura de um cone eqüilátero cujo raio da base é r = 27 cm. 4. Qual o volume de um cone reto de altura h = 6 m e raio da base r = 2 m? 5. Calcule o volume de um cone eqüilátero, sabendo-se que o raio da base é r = 6 cm. 98

98 Módulo III - 3º ano ESFERA Dado um ponto O e um segmento r, chama-se esfera de centro O e raio r o conjunto de todos os pontos P do espaço, de modo que a medida do segmento OP é menor ou igual a r. 99