Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO EXPONENCIAL

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1 PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS... 2 FUNÇÃO EXPONENCIAL... 5 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS RESPOSTAS REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro Matemática de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG Campus Ouro Preto durante o triênio Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO EXPONENCIAL

2 PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS Já vimos, no tópico anterior, duas propriedades das potências e agora vamos recitá-las e acrescentar outras cinco: I a n = ( 1 a ) n Ex.2: Calcular o valor da expressão Resolução: = = 5 (1+ 2)+(1 2) = 5 2 = 25 R: O valor da expressão é 25. II a m m n = a n Ex. 3: Calcular o valor da expressão III a m a n = a m+n IV (a n ) m = a n m Resolução: V a m = am n an = = VI VII (a b) n = a n b n ( a b ) n = an b n 3 = 210 ( ) 10 3 = = = = 2 3 = 8 3 = = VIII a n m m = a n IX a n = 1 a n Obs.: Neste material, consideraremos apenas as potências de base positiva. 1) Calcule: a) 2 3 Ex.1: Calcular o valor da expressão [ ] 1 Resolução: [ ] 1 = = [ ] = = ( ) = 10 9 b) ( 1 3 ) 4 R: O valor da expressão é CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG CAMPUS OURO PRETO

3 c) ( 5) 3 m) 4 x 4² x 4 = n) 4 x 4 x 4= o) m⁰ x m x m³ = p) 15 x 15³ x 15⁴x 15 = d) (0,1) 2 3) Reduza a uma só potência: a) 5⁴ : 5² = b) 8⁷ : 8³ = c) 9⁵ : 9² = e) ( 1 6 )5 d) 4³ : 4² = e) 9⁶ : 9³ = f) 9⁵ : 9 = g) 5⁴ : 5³ = 2) Reduza a uma só potência: a) 4³ x 4 ²= b) 7⁴ x 7⁵ = c) 2⁶ x 2²= d) 6³ x 6 = e) 3⁷ x 3² = f) 9³ x 9 = g) 5 x 5² = h) 7 x 7⁴ = i) 6 x 6 = j) 3 x 3 = l) 9² x 9⁴x 9 = h) 6⁶ : 6 = i) a⁵ : a³ = j) m² : m = k) x⁸ : x = l) a⁷ : a⁶ = 4) Reduza a uma só potência: a) (5⁴)² = b) (7²)⁴ = c) (3²)⁵ = d) (4³)² = e) (9⁴)⁴ = f) (5²)⁷ = MATEMÁTICA I 3 FUNÇÃO EXPONENCIAL

4 g) (6³)⁵ = h) (a²)³ = i) (m³)⁴ = j) (m³)⁴ = k) (x⁵)² = l) (a³)⁰ = m) (x⁵)⁰ = 5) Associe V ou F a cada afirmativa a seguir conforme seja Verdadeira ou Falsa: ( ) = 1 ( ) = 6 10 ( ) = ) Complete as tabelas com os valores das potências de 2: 2 1 = 2 1 = 2 2 = 2 2 = 2 3 = 2 3 = 2 4 = 2 4 = 2 5 = 2 5 = 2 6 = 2 6 = 2 7 = 2 7 = 2 8 = 2 8 = 2 9 = 2 9 = 2 10 = 2 10 = 7) Determine o valor da expressão ( ) = 1 2 ( ) = 9 8 ( ) ( ) = = ( ) π 7 3 = 1 π 3 7 8) Sendo a = e b = , qual o valor do quociente de a por b? ( ) (π + 3) 2 = π ( ) (3 5 ) 2 = 3 7 ( ) (2 3 ) 4 = 2 34 ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 209 Exercícios R1, 6 e 7 CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

5 FUNÇÃO EXPONENCIAL Uma função é dita EXPONENCIAL quando a incógnita x aparece como expoente de uma base real. Ex.1:Consideremos a função f(x) = 2 x definida num domínio formado exclusivamente por números naturais (D = N). Assim, a tabela abaixo indica alguns pontos que estão localizados no gráfico. x f(x) = 2 x f(x) 3 f(x) = f(x) = f(x) = f(x) = f(x) = f(x) = f(x) = x f(x) = 2 x f(x) 0 f(x) = f(x) = f(x) = f(x) = Ex.2: Vamos agora ampliar o domínio para o conjunto dos números inteiros D = Z. Então, além dos pontos anteriores, vamos acrescentar outros. Aproveitamos para lembrar uma das propriedades das potências: Ex.3: Vamos ampliar ainda mais o domínio e agora consideraremos todos os números racionais e irracionais (D = R). Na próxima página está o gráfico de f: R R definida por f(x) = 2 x. Antes porém, vamos relembrar mais uma propriedade das potências, agora com expoentes racionais: a n m m = a n a n = 1 a n MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO EXPONENCIAL

6 b) f ( 1 ) f(1) f(2) 2 c) (f(1) f ( 1 2 )) 2 d) f( 1) f( 2) f( 1)+f( 2) 9) Dada a função f(x) = 5 x, calcule: a) f(3) f(0) f(2) f( 4) CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

7 10) No plano abaixo está pontilhado o gráfico da função f(x) = 2 x. Utilize o mesmo plano para construir gráfico de 11) Construa o gráfico de f(x) = 3 x. (Obs.: no plano está pontilhado o gráfico de f(x) = 2 x ) f(x) = ( 1 2 )x Qual o domínio e a imagem da função f(x) = ( 1 2 )x? MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO EXPONENCIAL

8 12) Construa o gráfico de f(x) = ( 3 2 )x (Obs.: no plano está pontilhado o gráfico de f(x) = 2 x ) 13) Construa o gráfico de f(x) = 2 x 1. (Obs.: no plano está pontilhado o gráfico de f(x) = 2 x ) CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

9 14) Construa o gráfico de f(x) = 2 x 1. (Obs.: no plano está pontilhado o gráfico de f(x) = 2 x ) 15) Dada f(x) = 10 x calcule o valor de cada uma das duas expressões a seguir: a) f(n 1) f(n) f(n+1)+f(n) b) f(n+3)+10f(n) f(n 1) MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO EXPONENCIAL

10 16) Curva de Aprendizagem é um conceito criado por psicólogos que constataram a relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência possuída por este indivíduo. Um exemplo de Curva de aprendizagem é dado pela expressão: Q = e 0,5t em que: Q é a quantidade de peças produzidas mensamente por um funcionários t é a quantidade de meses de experiência e vale 2,7183 (Número de Euler). a) De acordo com esta expressão, quantas peças um funcionário com dois meses de experiência deverá produzir mensalmente? EQUAÇÕES EXPONENCIAIS a x = b Uma equação é chamada Exponencial quando apresenta a incógnita no expoente de ao menos uma potência. Se conseguimos escrever o número b em termos de uma potência de a, então caímos e uma expressão do tipo a x = a k e, assim, a única solução da equação será x = k Em cada um dos exemplos a seguir, vamos resolver a equação exponencial apresentada. b) E um funcionário sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzi mensalmente? Ex.1: Resolução 2 x = x = x = 2 7 x = 7 S = { 7 } Ex. 2: Resolução 3 x = 1 27 c) Compare as respostas dos itens a e b e veja se há coerência na resposta. 3 x = x = 3 3 x = 3 S = { 3 } CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG CAMPUS OURO PRETO

11 Ex.3: Resolução: 9 x = 3 17) 3 x = 81 9 x = 3 (3 2 ) x = x = x = 1 2 x = ) 5 2x = 5 S = { 1 4 } Ex.4: Resolução: 3 x2 +6 = 3 3x+4 19) ( 1 2 )x = 8 3 x2 +6 = 3 3x+4 x = 3x + 4 x 2 3x 2 = 0 x 1 = 1 e x 2 = 2 S = {1; 2} Ex.5: Resolução: 36 x 5 = ( 1 6 ) 2x+1 20) 10 x = 1 36 x 5 = ( 1 2x+1 6 ) 6 2(x 5) = 6 1(2x+1) 2x 10 = 2x 1 4x = 9 x = 9 4 S = { 9 4 } 21) 0,1 x = 0,01 Nos exercícios 17 a 36, resolva cada uma das equações exponenciais indicadas e dê o conjunto solução. MATEMÁTICA I 11 FUNÇÃO EXPONENCIAL

12 22) 4 2x = 1 27) 6 x2 2x+1 = 1 23) (2 x ) x = 16 28) 8 x2 +2 = 16 x ) 3 2x 1 = ) 2 x+3 = ) 3 x2 1 = 9 x+1 26) 4 x = 2 3 CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG CAMPUS OURO PRETO

13 30) a x2 2 1 = 1 33) 3 x 5 x = 0 34) 2 2x 4 x2 = 0 31) 2 x+1 = ) 9 2 x = 4 3 x 32) 2 x = 6 x 36) 2 4 x 3 9 x = 0 MATEMÁTICA I 13 FUNÇÃO EXPONENCIAL

14 Existem alguns casos em que, ao resolver equações exponenciais, precisamos lançar mão de alguns artifícios de resolução. Veja nos exemplos a seguir: Ex.1: Resolver a equação 2 x + 2 x x 1 = 6 Resolução Sabemos que: 2 x+1 = 2 x 2 1 = 2 2 x e que 2 x 1 = 2 x 2 1 = 1 2 2x, Assim, substituindo na equação, temos: 2 x + 2 x x 1 = 6 2 x x x = 6 Agora vamos fazer 3 x = k, então k 2 4k + 3 = 0 k 1 = 1 e k 2 = 3 Finalmente, para encontrar o valor de x, fazemos: 3 x = k 3 x = 1 x = 0 Assim: S = {0; 1} ou 3 x = 3 x = 1 Nos exercícios 37 a 45, resolva cada uma das equações exponenciais indicadas e dê o conjunto solução. 37) 6 2 x x 2 x = 4 3 Fazendo 2 x = k, encontramos: k + 2 k k = 6 3k 2 = 6 k = 4 Como 2 x = k, então 2 x = 4 2 x = 2 2 Logo:S = {2} x = 2 Ex.2: Resolver a equação 9 x 4 3 x + 3 = 0 Resolução Sabemos que: 9 x = (3 2 ) x = 3 2x = (3 x ) 2 Substituindo na equação, temos: (3 x ) x + 3 = 0 CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG CAMPUS OURO PRETO

15 38) 3 x x + 9 = 0 41) 100 x x + 10 = 0 39) 5 x x 3 5 x = 0 42) 4 x 2 x+2 = ) 5 2 x x x + 2 x x+2 = 86 43) 6 x + 6 x = 2 MATEMÁTICA I 15 FUNÇÃO EXPONENCIAL

16 44) 2 2x x = 0 Nos exercícios 46 a 49, resolva os sistemas e dê o conjunto solução 46) { 2x+y = 16 2 x y = 4 45) 2x +2 x 2 x 2 x = 3 47) { 32x 3 y 1 = 3 3 x 3 1 y = 1 CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG CAMPUS OURO PRETO

17 48) { (10x ) y = x 10 y = INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Denominamos equações exponenciais as sentenças do tipo: a x > b a x < b a x b a x b Onde a e b são números reais e conhecidos com a > 0 e a 1 e x é a incógnita. Se conseguirmos expressar o b sob a forma de uma potência de base a então podemos reescrever as sentenças acima da seguinte forma: a x > a α a x < a α a x a α a x a α x + y = 2 49) { 3 2 x + 2 y = A resolução destas inequações baseiase na propriedade de crescimento/decrescimento da função exponencial. Assim: I) Se a > 1 a x > a α x > α II) Se 0 < a < 1 a x > a α x < α Ex.1: Resolver a inequação 4 x > 1 2. Resolução: O primeiro passo é expressar os dois membros da desigualdade com a mesma base 4 x > 1 2 (22 ) x > x > 2 1 ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 219 Exercícios R1 a R8 Como a > 1, então 2x > 1 Assim: S = { 1 2 } x > 1 2 MATEMÁTICA I 17 FUNÇÃO EXPONENCIAL

18 Ex.2: Resolver a inequação ( 1 2 )x2 +2 > ( 1 2 )3x. Resolução: os dois mebros da sentença já estão escritos na mesma base, então temos apenas que comparar os expoentes. Como a base está entre 0 e 1 (0 < a < 1), então temos que inverter o sinal de desigualdade, assim: x < 3x x 2 3x + 2 < 0 S = {x R 1 < x < 2} Ex.3: Qual o domínio da função abaixo? f(x) = 3 x 1 52) 3 x ) 9 x 27 Resolução: Para existir a função f em R, devemos ter que: 3 x x 1 3 x 3 0 x 0 Logo o domínio da função é {x R x 0} ou simplesmente R +. 54) 4 x 1 < 32 Nos exercícios 50 a 70, resolva cada uma das inequações exponenciais indicadas e dê o conjunto solução. 50) 3 x > 0 51) 5 x > 25 CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG CAMPUS OURO PRETO

19 55) 7 2x 1 58) 1 2 < 2x < 2 56) ( 2 2 ) x < 1 59) 1 10 x ) ( 2) x > 4 60) ( 1 3 )x > 3 2x MATEMÁTICA I 19 FUNÇÃO EXPONENCIAL

20 61) 4 2x+1 < 2 3x+2 64) 2 x2 +6 < 128 x 62) (2 3 ) x 1 ( 1 2 )2 x 65) 10 x2 10 x+2 63) ( 3) x ) (0,5) x2 +2x ) 9 4 x2 > 1 CÁSSIO VIDIGAL 20 IFMG CAMPUS OURO PRETO

21 68) 2 x < 3 x 71) Resolva as inequações a) a 2x+1 > 1 para 0 < a < 1 69) 4 x 3 x b) a x2 1 > 0 para a > 1 70) 3 2 x 2 3 x > 0 72) Determine o domínio de cada uma das funções a seguir: a) f(x) = 1 2 x MATEMÁTICA I 21 FUNÇÃO EXPONENCIAL

22 b) f(x) = x 3 x 3 RESPOSTAS c) f(x) = 7 2 x 1 d) f(x) = 2 x2 1 01) a) 1 8 c) e) b) 81 d) ) V; F; V; F; F; V; F; V; F; F; F 06) 07) ) = = 2 2 = = 2 3 = = 2 4 = = 2 5 = = 2 6 = = 2 7 = = 2 8 = = 2 9 = = 2 10 = = ) a) 5 c) ) ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 222 Exercícios 31 a 34 Pág. 223 Exercícios 1 a 14 CÁSSIO VIDIGAL 22 IFMG CAMPUS OURO PRETO

23 11) 15) a) ) a) Aproximadamente 552 b) 300 c) Quanto maior o tempo de experiência, mais peças são produzidas. 17) S = {4} b) ) 13) b) 5 5 d) ) S = { 1 2 } 19) S = { 3} 20) S = {0} 21) S = {2} 22) S = {0} 23) S = {2; 2} 24) S = {0} 25) S = { 5} 26) S = { 3 2 } 27) S = {0} 14) Dom.: R Im.: R + 28) S = {0; 4 3 } 29) S = { 1; 3} 30) S = {± 2} 31) S = {4} 32) S = { } 33) S = {0} 34) S = {0; 1} 35) S = {2} 36) S = { 1 2 } MATEMÁTICA I 23 FUNÇÃO EXPONENCIAL

24 37) S = { 2} 62) S = {x R x 1 2 } 38) S = {2} 39) S = 40) S = {3} 41) S = {0; 1} 42) S = {3} 43) S = {0} 44) S = { 1; 2} 45) S = { 1 2 } 46) S = {(3, 1)} 47) S = {( 1 3, 4 3 )} 48) S = {(2, 3), (3, 2)} 49) S = {(6, 2)} 50) R 51) S = {x R x > 2} 52) S = {x R x 3} 53) 54) S = {x R x 3 2 } S = {x R x < 7 2 } 55) S = {x R x 0} 56) S = {x R x > 0 } 57) S = {x R x > 4 } 58) S = {x R 1 < x < 1} 59) S = {x R 0 x 2 } 60) S = {x R x < 0} 63) S = {x R x > 1} 64) S = {x R 1 < x < 6 } 65) S = {x R x 1 ou x 2 } 66) S = {x R 3 ou x 1 } 67) S = {x R 2 < x < 2 } 68) S = {x R x > 0} 69) S = {x R x 0 } 70) S = {x R x < 1 } 71) a) S = {x R x < 1 2 } b) S = {x R x < 1 ou x > 1 } 72) a) D = R b) D = {x R x > 1 } c) D = R d) D = R REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA MACHADO, Antônio dos Santos; Matemática: temas e metas, Voluma 1 Conjuntos Numéricos e Funções. São Paulo, Atual, PAIVA, Manoel ; Matemática; Volume 1. São Paulo, Moderna, Link para o vídeo sugerido: Pág o-exponencial/ 61) S = {x R x < 0} CÁSSIO VIDIGAL 24 IFMG CAMPUS OURO PRETO